ican
Giải SGK Toán 11
Bài 7: Ôn tập cuối năm (trang 125-126)

Ôn tập cuối năm (hình học)

Ican

BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM

GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1. (SGK hình học 11 trang 125) 

a) \({T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{A'}} = 3\\ {y_{A'}} = 2 \end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {3;2} \right)\)

Tương tự  $${{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( B \right)=B'\Rightarrow B'\left( 2;4 \right)$$

                  $${{T}_{\overrightarrow{v}}}\left( C \right)=C'\Rightarrow C'\left( 4;5 \right)$$

b) Đ\(_{Ox}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{A'}} = 1\\ {y_{A'}} = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {1; - 1} \right)\)

Tương tự Đ$$_{Ox}\left( B \right)=B'\Rightarrow B'\left( 0;-3 \right)$$

                  Đ$$_{Ox}\left( C \right)=C'\Rightarrow C'\left( 2;-4 \right)$$

c) Đ$$_{I}\left( A \right)=A'\Leftrightarrow \overrightarrow{IA'}=-\overrightarrow{IA}\Rightarrow A'\left( 3;1 \right)$$

Tương tự Đ$$_{I}\left( B \right)=B'\Rightarrow B'\left( 4;-1 \right)$$

                  Đ$$_{I}\left( C \right)=C'\Rightarrow C'\left( 2;-2 \right)$$

d) \({Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{A'}} = - {y_A} = - 1\\ {y_{A'}} = {x_A} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 1;1} \right)\)

Tương tự $${{Q}_{\left( O;{{90}^{0}} \right)}}\left( B \right)=B'\Rightarrow B'\left( -3;0 \right)$$

                  $${{Q}_{\left( O;{{90}^{0}} \right)}}\left( C \right)=C'\Rightarrow C'\left( -4;2 \right)$$

e) $$A\xrightarrow{{{D}_{Oy}}}{{A}_{1}}\xrightarrow{{{V}_{\left( O;-2 \right)}}}{{A}_{2}}$$

Đ\(_{Oy}\left( A \right) = {A_1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{{A_1}}} = - {x_A} = - 1\\ {y_{{A_1}}} = {y_A} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow {A_1}\left( { - 1;1} \right)\)

\({V_{\left( {O; - 2} \right)}}\left( {{A_1}} \right) = {A_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{{A_2}}} = k{x_{{A_1}}} = 2\\ {y_{{A_2}}} = k{x_{{A_1}}} = - 2 \end{array} \right. \Rightarrow {A_2}\left( {2; - 2} \right)\)

Tương tự $$B\xrightarrow{{{D}_{Oy}}}{{B}_{1}}\left( 0;3 \right)\xrightarrow{{{V}_{\left( O;-2 \right)}}}{{B}_{2}}\left( 0;-6 \right)$$

                  $$C\xrightarrow{{{D}_{Oy}}}{{C}_{1}}\left( -2;4 \right)\xrightarrow{{{V}_{\left( O;-2 \right)}}}{{C}_{2}}\left( 4;-8 \right)$$

Bài 2. (SGK hình học 11 trang 125)

a) Ta có G là trọng tâm $$\Delta ABC$$

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {GA'} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GA} \\ \overrightarrow {GB'} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GB} \\ \overrightarrow {GC'} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {GC} \end{array} \right. \Rightarrow {F_{\left( {G; - \frac{1}{2}} \right)}}\) biến $$A;B;C$$ tương ứng thành $$A';B';C'\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$$

b) A’ là trung điểm BC$$\Rightarrow OA'\bot BC$$

Mà $$B'C'//BC\Rightarrow OA'\bot B'C'$$

Tương tự $$\Rightarrow OB'\bot A'C'$$

$$\Rightarrow O$$ là trực tâm của $$\Delta A'B'C'\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$$

Mà $$H$$là trực tâm của $$\Delta ABC\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$$

Từ $$\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\Rightarrow {{F}_{\left( G;-\frac{1}{2} \right)}}\left( H \right)=O\Rightarrow \overrightarrow{GO}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GH}$$

$$\Rightarrow O;G;H$$ thẳng hàng.

c) Gọi $$O'={{F}_{\left( G;-\frac{1}{2} \right)}}\left( O \right)\Rightarrow \overrightarrow{GO'}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GO}$$

Mà $$\overrightarrow{GO}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GH}\Rightarrow \overrightarrow{OG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{GH}$$

Cộng vế - vế ta có \[\overrightarrow{OO'}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{GH}-\overrightarrow{GO} \right)=\frac{1}{2}\overrightarrow{OH}\]

$$\Rightarrow O'$$ là trung điểm $$OH$$.

d) Ta có $$A'';B'';C''$$ lần lượt là trung điểm $$AH;BH;CH$$

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {HA''} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HA} \\ \overrightarrow {HB''} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HB} \\ \overrightarrow {HC''} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HC} \end{array} \right. \Rightarrow {V_{\left( {H;\frac{1}{2}} \right)}}\) biến $$A;B;C$$ tương ứng thành $$A'';B'';C''$$

Ta có $$\widehat{CB{{A}_{1}}}=\widehat{{{A}_{1}}AC}$$ (cùng chắn cung $$\overset\frown{{{A}_{1}}C}$$)

          $$\widehat{CB{{B}_{1}}}=\widehat{{{A}_{1}}AC}$$ (cùng phụ  $$\widehat{ACB}$$)

\[\Rightarrow \widehat{CB{{A}_{1}}}=\widehat{CB{{B}_{1}}}\Rightarrow BC\] là phân giác của \[\widehat{HB{{A}_{1}}}\]

Mà $$BC$$ là đường cao của $$\Delta HB{{A}_{1}}$$

$$\Rightarrow \Delta HB{{A}_{1}}$$ cân tại B.

$$\Rightarrow {{A}_{1}}$$ là trung điểm $$H{{A}_{1}}$$

Chứng minh tương tự ta có $${{B}_{1}};{{C}_{1}}$$ lần lượt là trung điểm $$H{{B}_{1}};H{{C}_{1}}$$

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {H{A_1}'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {H{A_1}} \\ \overrightarrow {H{B_1}'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {H{B_1}} \\ \overrightarrow {H{C_1}'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {H{C_1}} \end{array} \right. \Rightarrow {V_{\left( {H;\frac{1}{2}} \right)}}\) biến $${{A}_{1}};{{B}_{1}};{{C}_{1}}$$ tương ứng thành $${{A}_{1}}';{{B}_{1}}';{{C}_{1}}'$$

e) Gọi $${{A}_{2}};{{B}_{2}};{{C}_{2}}$$ lần lượt là các điểm đối xứng với $$A;B;C$$ qua tâm $$O$$.

Ta có $$\widehat{BC{{A}_{2}}}=\widehat{{{A}_{1}}AC}$$ (cùng phụ  $$\widehat{ACB}$$)

Mà $$\widehat{CB{{B}_{1}}}=\widehat{{{A}_{1}}AC}$$ (chứng minh ý d)

\[\Rightarrow \widehat{BC{{A}_{2}}}=\widehat{CB{{B}_{1}}}\Rightarrow BH//C{{A}_{2}}\]

Mặt khác, \[\widehat{CB{{A}_{2}}}=\widehat{BC{{C}_{1}}}\](cùng phụ  $$\widehat{ABC}$$)

$$\Rightarrow HC//B{{A}_{2}}$$

$$\Rightarrow BHC{{A}_{2}}$$ là hình bình hành.

Mà $$A'$$ là trung điểm của $$BC\Rightarrow A'$$ là trung điểm của $$H{{A}_{2}}$$

Chứng minh tương tự ta có $$B';C'$$ lần lượt là trung điểm của $$H{{B}_{2}};H{{C}_{2}}$$

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {HA'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {H{A_2}} \\ \overrightarrow {HB'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {H{B_2}} \\ \overrightarrow {HC'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {H{C_2}} \end{array} \right. \Rightarrow {V_{\left( {H;\frac{1}{2}} \right)}}\) biến $${{A}_{2}};{{B}_{2}};{{C}_{2}}$$ tương ứng thành $$A';B';C'$$

$$\Rightarrow A';B';C';A'';B'';C'';{{A}_{1}}';{{B}_{1}}';{{C}_{1}}'$$ lần lượt là ảnh của \({{A}_{2}};{{B}_{2}};{{C}_{2}};A;B;C;{{A}_{1}};{{B}_{1}};{{C}_{1}}\) qua $${{V}_{\left( H;\frac{1}{2} \right)}}$$

Mà \({{A}_{2}}; {{ B }_{2}};{{C}_{2}};A;B;C;{{A}_{1}};{{B}_{1}};{{C}_{1}}\in \left( O \right)\)

$$\Rightarrow A';B';C';A'';B'';C'';{{A}_{1}}';{{B}_{1}}';{{C}_{1}}'\in \left( O' \right)$$ là ảnh của $$\left( O \right)$$qua $${{V}_{\left( H;\frac{1}{2} \right)}}$$.

Bài 3. (SGK hình học 11 trang 126)

a) Gọi $$N=EM\cap CD$$

Ta có $$CD//AB\Rightarrow \frac{ND}{MA}=\frac{NE}{ME}=\frac{NC}{MB}$$

Vì $$MA=MB\Rightarrow ND=NC\Rightarrow N$$ là trung điểm CD.

$$\Rightarrow G\in EN\Rightarrow E;G;M$$ thẳng hàng.

$$\Rightarrow S;E;M;G\in \left( \alpha  \right)$$

Gọi $$O=EM\cap BD$$

Ta có $$CD//AB\Rightarrow \frac{O'N}{O'M}=\frac{ND}{MB}\Rightarrow \frac{ON}{OM}=\frac{O'N}{O'M}$$

Mà $$O;O'$$ nằm giữa $$M,N\Rightarrow O\equiv O'$$

$$\Rightarrow AC;BD;EM$$ đồng quy tại O.

$$\Rightarrow O$$ thuộc ba mặt phẳng $$\left( SAC \right);\left( SBD \right);\left( \alpha  \right)$$

Mặt khác, $$S$$thuộc ba mặt phẳng $$\left( SAC \right);\left( SBD \right);\left( \alpha  \right)$$

$$\Rightarrow \left( \alpha  \right)$$ cắt hai mặt phẳng $$\left( SAC \right);\left( SBD \right)$$ theo cùng một giao tuyến là đường thẳng $$d\equiv SO$$

b) Ta có $$E=AD\cap BC\Rightarrow E\in \left( SAD \right)\cap \left( SBC \right)$$

Mà $$S\in \left( SAD \right)\cap \left( SBC \right)$$

$$\Rightarrow \left( SAD \right)\cap \left( SBC \right)=SE$$

c) Gọi \(I = AC' \cap BD' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} I \in AC' \subset \left( {SAC} \right)\\ I \in BD' \subset \left( {SBD} \right) \end{array} \right.\)

Mà \[\left( SAC \right)\cap \left( SBD \right)=d\Rightarrow I\in d\]

Bài 4. (SGK hình học 11 trang 126)

Trong $$\Delta ACC'$$ có: $$AM=MC';AE=EC\Rightarrow ME$$ là đường trung bình trong $$\Delta ACC'$$

$$\Rightarrow ME//CC';ME=\frac{1}{2}CC'$$

Chứng minh tương tự ta có $$NF//DD';NF=\frac{1}{2}DD'$$.

Mà $$CC'//DD';CC'=DD'$$

$$\Rightarrow MNFE$$ là hình bình hành $$\Rightarrow MN=FE$$

Bài 5. (SGK hình học 11 trang 126)

Kẻ $$FG//AB\left( G\in CC' \right)$$

Ta có $$\left( EFB \right)\cap \left( ABB'A' \right)=AB$$

$$\left( EFB \right)\cap \left( BCC'B' \right)=BG$$

$$\left( EFB \right)\cap \left( CDD'C' \right)=GF$$

$$\left( EFB \right)\cap \left( ADD'A' \right)=FA$$

$$\Rightarrow $$Thiết diện là tứ giác $$ABGF$$

Mặt khác, $$AB//FG;AB=FG\Rightarrow ABGF$$ là hình bình hành.

Mà $$AB\bot \left( BCC'B' \right)\Rightarrow AB\bot BG\Rightarrow ABGF$$ là hình chữ nhật.

Gọi $$J=CE\cap AD;I=FJ\cap AA'$$

Ta có $$\left( EFC \right)\cap \left( ABCD \right)=CE$$

$$\left( EFC \right)\cap \left( ABB'A' \right)=EI\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$$

$$\left( EFC \right)\cap \left( ADD'A' \right)=IF$$

$$\left( EFC \right)\cap \left( CDD'C' \right)=FC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$$

$$\Rightarrow $$Thiết diện là tứ giác $$CEIF$$

Ta có $$\left( ABB'A' \right)//\left( CDD'C' \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$$

Từ $$\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\Rightarrow EI//FC\Rightarrow CEIF$$ là hình thang.

Gọi $$M=C'F\cap CD;N=ME\cap AD;Q=ME\cap BC;P=QC'\cap BB'$$

Ta có $$\left( EFC' \right)\cap \left( ABCD \right)=NE$$

$$\left( EFC' \right)\cap \left( ABB'A' \right)=EP$$

$$\left( EFC' \right)\cap \left( ADD'A' \right)=FN$$

$$\left( EFC' \right)\cap \left( CDD'C' \right)=C'F$$

$$\left( EFC' \right)\cap \left( BCC'B' \right)=PC'$$

$$\Rightarrow $$Thiết diện là ngũ giác $$EPC'FN$$

Ta có $$\left( ABB'A' \right)//\left( CDD'C' \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$$

Từ $$\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\Rightarrow EI//FC\Rightarrow CEIF$$ là hình thang.

Kẻ $$EM//AB'\Rightarrow M$$ là trung điểm BB’.

Ta có $$MK//BC'$$(với MK là đường trung bình của $$\Delta BB'C'$$

            $$BC'//AD'$$

$$\Rightarrow MK//AD'\Rightarrow \left( MEK \right)//\left( AB'D' \right)$$

Ta có $$MF$$ là đường trung bình của hình chữ nhật $$BDD'B'\Rightarrow MF//B'D'\Rightarrow MF//\left( AB'D' \right)$$

Mà $$M\in \left( MEK \right);\left( MEK \right)//\left( AB'D' \right)$$

$$\Rightarrow MF\subset \left( MEK \right)\Rightarrow \left( MEK \right)\equiv \left( EFK \right)\Rightarrow \left( EFK \right)//\left( AB'D' \right)$$

Kẻ $$KN//B'D';FH//AD'$$

$$\Rightarrow N;H\in \left( EFK \right)$$

$$\Rightarrow $$Thiết diện cắt bởi $$\left( EFK \right)$$ là lục giác $$EMKNFH$$.

Vì $$E;M;K;N;F;H$$ lần lượt là trung điểm của $$AB;BB';B'C';C'D';DD';AD$$ nên $$EMKNFH$$ là lục giác đều.

Bài 6. (SGK hình học 11 trang 126)

a) Gọi $$I=BC'\cap B'C$$

Trong $$\left( ABC'D' \right)$$, kẻ $$IK\bot BD'\,\,\,\,\left( 1 \right)$$

Ta có \[AB\bot \left( BCC'B' \right)\Rightarrow AB\bot B'C\]

Mà \[BC'\bot B'C\Rightarrow B'C\bot \left( ABC'D' \right)\Rightarrow B'C\bot IK\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\]

Từ $$\left( 1 \right);\left( 2 \right)\Rightarrow IK$$ là đường vuông góc chung của BD’ và B’C.

b) Ta có \[C'D'\bot \left( BCC'B' \right)\Rightarrow C'D'\bot BC'\Rightarrow \Delta BD'C'\] vuông tại C’.

Xét $$\Delta BIK\sim \Delta BD'C'\left( g.g \right)$$

$$\Rightarrow \frac{IK}{D'C'}=\frac{BI}{BD'}\Rightarrow IK=\frac{BI.D'C'}{BD'}$$

Mà $$BI=\frac{BC'}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$$  

   \(\begin{array}{l} BD' = \sqrt {C'{B^2} + C'D{'^2}} = a\sqrt 3 \\ D'C' = a\\ \Rightarrow IK = \frac{{a\sqrt 6 }}{6} \end{array}\)

Bài 7. (SGK hình học 11 trang 126)

a) Ta có $$SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot BC$$

Mà $$AB\bot BC$$ (do ABCD là hình thang vuông tại A và B)

$$\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB\Rightarrow \widehat{SBC}={{90}^{0}}$$

Gọi $$M$$ là trung điểm $$AD\Rightarrow AM=a$$

Vì $$AM//BC;AM=BC\left( =AB \right)$$ nên tứ giác ABCM là hình thoi.

$$\Rightarrow CM=a=\frac{AD}{2}\Rightarrow \Delta ACD$$ vuông tại $$C\Rightarrow DC\bot AC$$

Mà $$DC\bot SA\left( SA\bot \left( ABCD \right) \right)$$

$$\Rightarrow DC\bot \left( SAC \right)\Rightarrow DC\bot SC\Rightarrow \widehat{SCD}={{90}^{0}}$$

b) Ta có $$AB\bot SA;AB\bot AD\Rightarrow AB\bot \left( SAD \right)\Rightarrow AB\bot SD\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$$

Mặt khác, $$DC\bot \left( SAC \right)\Rightarrow DC\bot AC'$$

Mà $$SC\bot AC'\Rightarrow AC'\bot \left( SCD \right)\Rightarrow AC'\bot SD\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$$

Lại có, $$AD'\bot SD\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$$

Từ $$\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)\Rightarrow AD';AC';BC$$ cùng nằm trên mặt phẳng $$\left( \alpha  \right)$$ qua A và vuông góc với SD.

c) Gọi $$K=AB\cap CD$$

Ta có $$\left( \alpha  \right)\cap \left( ABCD \right)=AB$$

$$\left( \alpha  \right)\cap \left( SCD \right)=C'D'$$

$$\left( ABCD \right)\cap \left( SCD \right)=CD$$

$$\Rightarrow AB;C'D';CD$$ đồng quy tại K hay \[C'D'\] luôn đi qua điểm K cố định khi S chạy  trên $$Ax$$.

 

Đánh giá (286)
ican
  • Một thương hiệu của 
    ICAN
  • ICAN
  • ICAN © 2023, All Rights Reserved.

  • Trụ sở Hồ Chí Minh: B0003 C/C Sarina, Khu đô thị Sala, Khu phố 3, Đường Hoàng Thế Thiện, Phường An Lợi Đông, TP. Thủ Đức

  • Văn phòng Hà Nội: Tòa nhà 25T2 Đường Hoàng Đạo Thúy, Phường Trung Hòa, Quận Cầu Giấy