BÀI 5: KHOẢNG CÁCH
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Cho điểm \[O\] và đường thẳng \[a\] . Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[O\] trên a. Khi đó, \[d\left( O;a \right)=OH\] .
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Cho điểm \[O\] và mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] . Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[O\] trên \[\left( \alpha \right)\] . Khi đó, \[d\left( O;\left( \alpha \right) \right)=OH\] .
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
- Cho \[a//\left( \alpha \right)\]. Khoảng cách giữa đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] là khoảng cách từ một điểm bất kì của \[a\] đến \[\left( \alpha \right)\] .
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
3. Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Định nghĩa:
- Đường thẳng \[\Delta \] cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.
- Nếu đường vuông góc chung \[\Delta \] cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Cách xác định đường vuông góc chung:
- Xác định mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] chứa đường thẳng \[a\] và song song với đường thẳng \[b\]
- Xác định \[b'\] là hình chiếu của \[b\] trên \[\left( \alpha \right)\]
- Gọi \[M=a\cap b'\] và \[\left( \beta \right)\] là mặt phẳng đi qua điểm \[M\] và chứa đường thẳng \[b\] .
Trong mặt phẳng \[\left( \beta \right)\] , kẻ \[MN\bot b\left( N\in b \right)\] .
- Khi đó, \[MN\] là đoạn vuông góc chung \[a\] và \[b\] hay \[d\left( a,b \right)=MN\]
Nhận xét:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Cách giải:
- Cách 1:
+, Kẻ \[MH\bot \Delta \left( H\in \Delta \right)\]
+, Khi đó, \[d\left( M;\Delta \right)=MH\]
- Cách 2:
+, Giả sử \[MN\cap \Delta =I\] . Khi đó, \[\frac{d\left( M;\Delta \right)}{d\left( N;\Delta \right)}=\frac{MI}{NI}=k\]
+, Ta có \[d\left( M;\Delta \right)=k.d\left( N;\Delta \right)\]
Dạng 2. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cách giải:
- Cách 1:
+, Xác định mặt phẳng \[\left( \beta \right)\] chứa \[M\] và vuông góc với \[\left( \alpha \right)\]
theo giao tuyến là đường thẳng \[\Delta \]
+, Kẻ \[MH\bot \Delta \left( H\in \Delta \right)\]
+, Khi đó, \[d\left( M;\left( \alpha \right) \right)=MH\]
- Cách 2:
+, Kẻ \[\Delta \] qua \[M\] và song song với \[\left( \alpha \right)\] . Khi đó, \[d\left( M;\left( \alpha \right) \right)=d\left( \Delta ;\left( \alpha \right) \right)\]
+, Chọn \[N\in \Delta \] khi đó \[d\left( M;\left( \alpha \right) \right)=d\left( \Delta ;\left( \alpha \right) \right)=d\left( N;\left( \alpha \right) \right)\]
- Cách 3:
+, Giả sử \[MN\cap \left( \alpha \right)=I\] . Khi đó, \[\frac{d\left( M;\left( \alpha \right) \right)}{d\left( N;\left( \alpha \right) \right)}=\frac{MI}{NI}=k\]
+, Ta có \[d\left( M;\left( \alpha \right) \right)=k.d\left( N;\left( \alpha \right) \right)\]
Dạng 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cách giải:
- Cách 1: Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \[a\] và \(b\) thông qua khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng.
+, Xác định mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] chứa đường thẳng \[b\] và song song với \[a\] .
+, Khi đó, \[d\left( a,b \right)=d\left( a,\left( \alpha \right) \right)=d\left( M,\left( \alpha \right) \right)=MH\]
- Cách 2: Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \[a\] và \[b\] .
Cách xác định 1.
+, Xác định mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] vuông góc với đường thẳng \[a\] tại \[H\]
+, Xác định \[b'\] là hình chiếu của \[b\] trên \(\left( \alpha \right)\)
+, Trong mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] , kẻ \[HK\bot b'\left( K\in b' \right);KN//a\left( N\in a \right);NM//KH\left( M\in a \right)\]
+, Khi đó, \[MN\] là đoạn vuông góc chung của \[a\] và \[b\] hay \[d\left( a,b \right)=MN\]
Cách xác định 2.
+, Xác định mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] chứa đường thẳng \[a\] và song song với đường thẳng \[b\]
+, Xác định \[b'\] là hình chiếu của \[b\] trên \[\left( \alpha \right)\]
+, Gọi \[M=a\cap b'\] và \[\left( \beta \right)\] là mặt phẳng đi qua điểm \[M\] và chứa đường thẳng \[b\] .
Trong mặt phẳng \[\left( \beta \right)\] , kẻ \[MN\bot b\left( N\in b \right)\] .
+, Khi đó, \[MN\] là đoạn vuông góc chung \[a\] và \[b\] hay \[d\left( a,b \right)=MN\]
- Cách 3. Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \[a\] và \[b\] thông qua khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
+, Xác định hai mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] và \[\left( \beta \right)\] song song với nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] .
+, Khi đó, \[d\left( a,b \right)=d\left( \left( \alpha \right),\left( \beta \right) \right)\]
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (SGK hình học 12 trang 119)
a) Sai
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
e) Sai
Bài 2. (SGK hình học 12 trang 119)
a) Gọi \[E=AH\cap BC\]
Ta có \(\left. \begin{array}{l} AE \bot BC\\ SA \bot BC\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right) \end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BC \bot SE\)
\[\Rightarrow K\in SE\Rightarrow AH,SK,BC\] đồng quy.
b) Gọi \[D=BK\cap SC,F=BH\cap AC\]
Ta có \(\left. \begin{array}{l} AE \bot BC\\ SA \bot BC\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right) \end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BC \bot SE\)
Mà \[BD\bot SC\Rightarrow SC\bot \left( BDF \right)\] hay \[SC\bot \left( BHK \right)\]
Vì \[BC\bot \left( SAE \right)\] nên \[BC\bot HK\]
\[SC\bot \left( BHK \right)\] nên \[SC\bot HK\]
\[\Rightarrow HK\bot \left( SBC \right)\]
c) Ta có
\(\left. \begin{array}{l} AE \bot BC\\ AE \bot SA \end{array} \right\} \Rightarrow AE\) là đường vuông góc chung của SA và BC
Bài 3. (SGK hình học 12 trang 119)
Ta có \[AB\bot \left( BCC'B' \right)\Rightarrow AB\bot BC'\]
\[\Rightarrow \Delta ABC'\] vuông tại \[B\]
Chứng minh tương tự ta có các tam giác vuông \[C'CA;ADC';AA'C;C'B'A;C'D'A\] .
\[\Rightarrow \Delta ABC'=\Delta C'CA=\Delta ADC'=\Delta AA'C=\Delta C'B'A=\Delta C'D'A\left( c.g.c \right)\]
\[\Rightarrow \] Các chiều cao tương ứng của các tam giác là bằng nhau.
\[\Rightarrow \] Khoảng cách từ các điểm \[B,C,D,A',B',D'\] đến đường chéo \[AC'\] là bằng nhau.
Trong \[\left( ABC' \right)\] , kẻ \[BK\bot AC'\left( K\in AC' \right)\]
Xét tam giác vuông \[ABC'\] có \[\frac{1}{B{{K}^{2}}}=\frac{1}{B{{A}^{2}}}+\frac{1}{C'{{B}^{2}}}=\frac{1}{B{{A}^{2}}}+\frac{1}{B'{{B}^{2}}+B'C{{'}^{2}}}=\frac{3}{2{{a}^{2}}}\]
\[\Rightarrow BK=\frac{a\sqrt{6}}{3}\]
Bài 4. (SGK hình học 12 trang 119)
a) Trong \[\left( ABCD \right)\] , kẻ \[BH\bot AC\left( H\in AC \right)\]
Ta có \[AA'\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow AA'\bot BH\Rightarrow BH\bot \left( ACC'A' \right)\]
\[\Rightarrow d\left( B;\left( ACC'A' \right) \right)=BH\]
\[\Delta ABC\] vuông tại B \[\Rightarrow \frac{1}{B{{H}^{2}}}=\frac{1}{B{{A}^{2}}}+\frac{1}{B{{C}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}\Rightarrow BH=\frac{ab}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\]
b) Ta có \(\left. \begin{array}{l} AC' \subset \left( {ACC'A'} \right)\\ BB'//\left( {ACC'A'} \right) \end{array} \right\}\)
\[\Rightarrow d\left( BB';AC' \right)=d\left( BB';\left( ACC'A' \right) \right)=d\left( B;\left( ACC'A' \right) \right)=BH=\frac{ab}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\]
Bài 5. (SGK hình học 12 trang 119)
a) Ta có \[CD\bot \left( BCC'B' \right)\Rightarrow CD\bot BC'\]
Mà \[B'C\bot BC'\Rightarrow BC'\bot \left( DCB' \right)\Rightarrow BC'\bot B'D\,\,\,\left( 1 \right)\]
Mặt khác, \(\left. \begin{array}{l} A'C' \bot B'D'\\ A'C' \bot BB' \end{array} \right\} \Rightarrow A'C' \bot \left( {BB'D'D} \right) \Rightarrow A'C' \bot B'D\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow B'D\bot \left( BA'C' \right)\]
b) Ta có \[\left( BA'C' \right)//\left( D'AC \right)\Rightarrow B'D//\left( D'AC \right)\]
Gọi \[O=AC\cap BD;H=B'D\cap D'O\]
\[O'=A'C'\cap B'D';G=B'D\cap BO'\]
\[\Rightarrow HG=d\left( \left( BA'C' \right);\left( D'AC \right) \right)\]
Mặt khác, \[BOD'O'\] là hình bình hành (do \[BO=D'O';BO//D'O'\] )
\[\Rightarrow O'G//D'H\Rightarrow \frac{B'O'}{B'D'}=\frac{B'G}{B'H}=\frac{1}{2}\] (định lí Ta-let trong \[\Delta B'HD'\] )
\[\Rightarrow HG=B'G\,\,\,\,\left( 3 \right)\]
Chứng minh tương tự ta có \[HG=DH\,\,\,\left( 4 \right)\]
Từ \[\left( 3 \right),\left( 4 \right)\Rightarrow DH=HG=GB'=\frac{1}{3}B'D\]
Ta có \[B'D=\sqrt{D'{{D}^{2}}+D'B{{'}^{2}}}=\sqrt{D'{{D}^{2}}+A'D{{'}^{2}}+A'B{{'}^{2}}}=a\sqrt{3}\]
\[\Rightarrow HG=\frac{a\sqrt{3}}{3}\]
c) Ta có \(\left. \begin{array}{l} BC' \subset \left( {BA'C'} \right)\\ CD' \subset \left( {ACD'} \right)\\ \left( {BA'C'} \right)//\left( {ACD'} \right) \end{array} \right\} \Rightarrow d\left( {BC';CD'} \right) = d\left( {\left( {BA'C'} \right);\left( {ACD'} \right)} \right) = HG = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Bài 6. (SGK hình học 12 trang 119)
Gọi \[I,J\] lần lượt là trung điểm \[AB,CD\] .
Ta có \[IJ\bot AB;IJ\bot CD\] .
Kẻ đường thẳng \[d\] qua \[I\] và song song với CD.
Trên d lấy E, F sao cho \[IE=IF=\frac{CD}{2}\] .
Ta có \[IJ\bot CD\]
Mà \[EF//CD\Rightarrow IJ\bot EF\]
Mà \[IJ\bot AB\Rightarrow IJ\bot \left( AEBF \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)\]
Mặt khác, \[CDFE\] là hình bình hành (do \[CD//EF;CD=EF\] )
\[\Rightarrow CE//DF//IJ\] (do \[IJ\] là đường trung bình của hình bình hành) \[\left( 2 \right)\]
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} CE \bot \left( {AEBF} \right)\\ DF \bot \left( {AEBF} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} CE \bot BE\\ DF \bot AF \end{array} \right. \Rightarrow \widehat {BEC} = \widehat {DFA} = {90^0}\)
Ta có \[\Delta AIF=\Delta BIE\left( c.g.c \right)\Rightarrow AF=BE\]
Xét hai tam giác vuông \[DFA\] và \[CEB\] ta có:
\(\left. \begin{array}{l} AF = BE\\ DF = CE \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta DFA = \Delta CEB \Rightarrow AD = BC\)
Chứng minh tương tự ta có \[AC=BD\] .
Bài 7. (SGK hình học 12 trang 120)
Gọi \[H\] là hình chiếu của S trên \[\left( ABC \right)\] .
Vì \[SABC\] là hình chóp tam giác đều nên H là trọng tâm \[\Delta ABC\] .
\[\Rightarrow d\left( S;\left( ABC \right) \right)=SH\]
Gọi M là trung điểm AB.
\[\Delta ABC\] đều cạnh bằng \[3a\Rightarrow CM=\frac{3a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow CH=\frac{2}{3}CM=a\sqrt{3}\]
\[\Delta SHC\] vuông tại H có:
\[S{{H}^{2}}=S{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}={{a}^{2}}\Rightarrow SH=a\] hay \[d\left( S;\left( ABC \right) \right)=a\]
Bài 8. (SGK hình học 12 trang 120)
Gọi \[M,N\] lần lượt là trung điểm \[AD,BC\] .
\[\Delta ABC=\Delta DBC\left( c.c.c \right)\Rightarrow AN=DN\] (đường trung tuyến ứng với cạnh tương ứng)
\[\Rightarrow \Delta AND\] cân tại \[N\Rightarrow MN\bot AD\]
Chứng minh tương tự ta có \[MN\bot BC\]
\[\Rightarrow d\left( AD;BC \right)=MN\]
\[\Delta ABC\] đều cạnh bằng \[a\Rightarrow AN=\frac{a\sqrt{3}}{2}\]
\[\Delta ANM\] vuông tại M có:
\[M{{N}^{2}}=A{{N}^{2}}-A{{M}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow MN=\frac{a\sqrt{2}}{2}\] hay \[d\left( AD;BC \right)=\frac{a\sqrt{2}}{2}\]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa khoảng cách hình học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất