BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Hai mặt phẳng \[\left( \alpha \right);\left( \beta \right)\] được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
2. Tính chất
Định lí 1:
Nếu mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] chứa hai đường thẳng cắt nhau \[a,b\] và \[a,b\] cùng song song với mặt phẳng \[\left( \beta \right)\] thì \[\left( \alpha \right)\] song song \[\left( \beta \right)\] .
Định lí 2:
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
Hệ quả 1:
Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] thì qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với \[\left( \alpha \right)\] .
Hệ quả 2:
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hệ quả 3:
Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] . Mọi đường thẳng đi qua A và song song với \[\left( \alpha \right)\] đều nằm trong mặt phẳng đi qua A và song song với \[\left( \alpha \right)\] .
Định lí 3:
Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
Hệ quả:
Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.
3. Định lí Ta – lét trong không gian
Định lí 4 (Định lí Ta-lét):
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
4. Hình lăng trụ và hình hộp
Định nghĩa hình lăng trụ:
Hình gồm đa giác \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}\ldots {{A}_{n}};\] \[{{A}_{1}}'{{A}_{2}}'\ldots {{A}_{n}}'\] và các hình bình hành \[{{A}_{1}}{{A}_{1}}'{{A}_{2}}'{{A}_{2}};\] \[{{A}_{2}}{{A}_{2}}'{{A}_{3}}'{{A}_{3}};...;\] \[{{A}_{n}}{{A}_{n}}'{{A}_{1}}'{{A}_{1}}\] được gọi là hình lăng trụ và được kí hiệu là \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}\ldots {{A}_{n}}.{{A}_{1}}'{{A}_{2}}'\ldots {{A}_{n}}'\]
Trong đó:
- Hai đa giác \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}\ldots {{A}_{n}};\] \[{{A}_{1}}'{{A}_{2}}'\ldots {{A}_{n}}'\] được gọi là hai mặt đáy của hình lăng trụ
- Các đoạn thẳng \[{{A}_{1}}{{A}_{1}}';{{A}_{2}}{{A}_{2}}';...;{{A}_{n}}{{A}_{n}}'\] được gọi là các cạnh bên của hình lăng trụ
- Các hình bình hành \[{{A}_{1}}{{A}_{1}}'{{A}_{2}}'{{A}_{2}};\] \[{{A}_{2}}{{A}_{2}}'{{A}_{3}}'{{A}_{3}};...;\] \[{{A}_{n}}{{A}_{n}}'{{A}_{1}}'{{A}_{1}}\] được gọi là các mặt bên của hình lăng trụ
- Các đỉnh của hai đa giác được gọi là các đỉnh của hình lăng trụ
Nhận xét:
- Các cạnh bên của hình lăng trụ song song và bằng nhau.
- Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
- Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.
- Tùy theo đa giác đáy, ta có hình lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác …
Định nghĩa hình hộp:
Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp.
Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật.
Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương.
5. Hình chóp cụt
Định nghĩa:
Cho hình chóp \[S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}\ldots {{A}_{n}}\]. Một mặt phẳng \[\left( P \right)\] không qua đỉnh, song song với mặt phẳng chứa đa giác đáy cắt các cạnh \[S{{A}_{1}},S{{A}_{2}},\ldots ,S{{A}_{n}}\]theo thứ tự tại \[A{{'}_{1}},A{{'}_{2}},\ldots ,A{{'}_{n}}\]. Hình tạo bởi thiết diện \[A{{'}_{1}}A{{'}_{2}}\ldots A{{'}_{n}}\] và đáy \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}\ldots {{A}_{n}}\] của hình chóp cùng với các mặt bên \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}A{{'}_{2}}A{{'}_{1}};{{A}_{2}}{{A}_{3}}A{{'}_{3}}A{{'}_{2}};\ldots ;{{A}_{n}}{{A}_{1}}A{{'}_{1}}A{{'}_{n}}\] gọi là hình chóp cụt.
Tính chất:
- Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.
- Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
- Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song
Cách giải:
- Cách 1: Chứng minh \(\left\{ \begin{array}{l} a//\left( \beta \right)\\ b//\left( \beta \right)\\ a \cap b = M\\ a,b \subset \left( \alpha \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\)
- Cách 2: Chứng minh \(\left\{ \begin{array}{l} a//a'\\ b//b'\\ a \cap b = M\\ a' \cap b' = M'\\ a,b \subset \left( \alpha \right)\\ a',b' \subset \left( \beta \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\)
Dạng 2. Xác định thiết diện song song với mặt phẳng
Cách giải:
- Cách 1: Nếu \[\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\] thì song song với mọi đường thẳng trong \[\left( \beta \right)\]. Bài toán trở thành tìm thiết diện song song với đường thẳng.
- Cách 2: Xác định \[d\subset \left( \beta \right)\] và xét các mặt phẳng trong hình đa diện chứa \[d\] . Khi đó, \[\left( \alpha \right)//d\] nên cắt các mặt phẳng chứa \[d\] (nếu có) theo các giao tuyến song song với \[d\] .
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (trang 71 SGK Hình học 11)
a) Giả sử \[\left( A'B'C' \right)\cap d=D'\]
\[\Rightarrow \left( A'B'C' \right)\cap \left( C'CD \right)=C'D'\].
Ta có \[AA'//CC'\subset \left( C'CD \right)\Rightarrow AA'//\left( C'CD \right)\].
Lại có \[AB//CD\subset \left( CC'D \right)\Rightarrow AB//\left( CC'D \right)\]
Trong \[\left( AA'B'B \right)\] có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {AA'//\left( {C'CD} \right)}\\ {AB//\left( {C'CD} \right)}\\ {AA' \cap AB = A} \end{array}} \right.\)\[\Rightarrow \left( AA'B'B \right)//\left( C'CD \right)\].
Mà \[\left( A'B'C' \right)\cap \left( AA'B'B \right)=A'B'\]
\[\Rightarrow \left( A'B'C' \right)\] cắt \[\left( C'CD \right)\] theo giao tuyến song song với \[A'B'\]
\[\Rightarrow C'D'//A'B'\].
b) Chứng minh tương tự câu a ta có \[B'C'//A'D'\].
Tứ giác \[A'B'C'D'\] có: \[B'C'//A'D'\] và \[C'D'//A'B'\]
\[\Rightarrow A'B'C'D'\] là hình bình hành.
Bài 2. (trang 71 SGK Hình học 11)
a) Do \[ABC.A'B'C'\] là hình lăng trụ nên ta có: \[BCC'B'\] là hình bình hành
Xét tứ giác \[BCC'B'\] có \[MB=MC;M'B'=M'C'\Rightarrow MM'\] là đường trung bình
\[\Rightarrow \text{MM}'//\text{BB}'//\text{CC}';MM'=\frac{BB'+CC'}{2}=BB'=CC'\]
Lại có: \[AA'//BB';AA'=BB'\]( tính chất hình lăng trụ)
\[\Rightarrow MM'//AA';MM'=AA'\]
\[\Rightarrow \] Tứ giác \[AMM'A'\]là hình bình hành
b) Trong \[\left( AMM'A' \right)\] gọi \[O=A'M\cap AM'\]
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} O \in AM' \subset \left( {AB'C'} \right)\\ O \in A'M \end{array} \right. \Rightarrow O = A'M \cap \left( {AB'C'} \right)\)
c)
Gọi \[K=AB'\cap BA'\], ta có :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {K \in AB' \subset \left( {AB'C'} \right)}\\ {K \in BA' \subset \left( {BA'C'} \right)} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {K \in \left( {AB'C'} \right)}\\ {K \in \left( {BA'C'} \right)} \end{array}} \right. \Rightarrow K \in \left( {AB'C'} \right) \cap \left( {BA'C'} \right)\)
Mà \[C'\in \left( AB'C' \right)\cap \left( BA'C' \right)\]
\[\Rightarrow \left( AB'C' \right)\cap \left( BA'C' \right)=KC'\].
Vậy d cần tìm là đường thẳng KC’
d) Trong \[\left( AB'C' \right)\], gọi \[C'K\cap AM'=G\].
\(\left\{ \begin{array}{l} G \in AM' \subset \left( {AM'M} \right) \Rightarrow G \in \left( {AM'M} \right)\\ G \in C'K \end{array} \right.\)
\[\Rightarrow G=C'K\cap \left( AM'M \right)\].
Vì \[ABB'A'\] là hình bình hành nên K là trung điểm \[AB'\] .
Xét \[\Delta AB'C'\] có G là giao điểm của 2 trung tuyến AM’ và C’K
\[\Rightarrow G\] là trọng tâm \[\Delta AB'C'\].
Bài 3. (trang 71 SGK Hình học 11)
a) Ta có \[A'D'//BC\] và \[A'D'=BC\]
\[\Rightarrow A'D'CB\] là hình bình hành
\[\Rightarrow A'B//D'C\], mà \[D'C\subset \left( B'D'C \right)\Rightarrow A'B//\left( B'D'C \right)\left( 1 \right)\]
Mặt khác, \[BB'//DD';BB'=DD'\]
\[\Rightarrow BDD'B'\]là hình bình hành
\[\Rightarrow BD//B'D'\], mà \[B'D'\subset \left( B'D'C \right)\Rightarrow BD//\left( B'D'C \right)\left( 2 \right)\]
\[A'B\subset \left( BDA' \right)\] và \[BD\subset \left( BDA' \right);A'B\cap BD=B\left( 3 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\] suy ra : \[\left( BDA' \right)//\left( B'D'C \right)\].
b) Gọi \[O=AC\cap BD\]
Ta có: \[O\in AC\subset \left( AA'C'C \right)\]\[\Rightarrow A'O\subset \left( AA'C'C \right)\].
Trong \[\left( AA'C'C \right)\], gọi \[A'O\cap AC'={{G}_{1}}\].
\[{{G}_{1}}\in A'O\subset \left( A'BD \right)\]\[\Rightarrow {{G}_{1}}\in AC'\cap \left( BDA' \right)\].
Trong \[\left( AA'C'C \right)\], gọi \[I=A'C\cap AC'\]
\[\Rightarrow A'I=IC\]\[\Rightarrow AI\] là trung tuyến của \[\Delta A'AC\]
\[\Rightarrow {{G}_{1}}=A'O\cap AC'\]là giao của hai trung tuyến AI và A’O của \[\Delta A'AC\]
\[\Rightarrow {{G}_{1}}\]là trọng tâm \[\Delta A'AC\]
\[\Rightarrow A'{{G}_{1}}=\frac{2}{3}A'O\]
\[\Rightarrow {{G}_{1}}\] cũng là trọng tâm \[\Delta A'BD\].
Vậy \[AC'\] đi qua trọng tâm \[{{G}_{1}}\] của \[\Delta A'BD\].
Chứng minh tương tự ta có \[AC'\] đi qua trọng tâm \[{{G}_{2}}\] của \[\Delta B'D'C\].
c) Vì \[{{G}_{1}}\] cũng là trọng tâm \[\Delta A'BD\]nên \[\frac{A{{G}_{1}}}{AI}=\frac{2}{3}\].
Vì I là trung điểm của AC’ nên \[AI=\frac{1}{2}AC'\]
\[\Rightarrow A{{G}_{1}}=\frac{1}{3}AC'\]
Chứng minh tương tự ta có : \[C'{{G}_{2}}=\frac{1}{3}AC'\]
\[\Rightarrow A{{G}_{1}}={{G}_{1}}{{G}_{2}}={{G}_{2}}C'=\frac{1}{3}AC'\].
d) \[\left( A'IO \right)\equiv \left( AA'C'C \right)\] nên thiết diện cần tìm chính là hình bình hành \[AA'C'C\].
Bài 4. (trang 71 SGK Hình học 11)
a) Ta có:
\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {\left( \alpha \right)//\left( {{\rm{ABCD}}} \right)}\\ {\left( {{\rm{SAB}}} \right) \cap \left( \alpha \right) = {{\rm{A}}_1}\;{{\rm{B}}_1}}\\ {\left( {{\rm{SAB}}} \right) \cap \left( {{\rm{ABCD}}} \right) = {\rm{AB}}} \end{array}} \right\} \Rightarrow {{\rm{A}}_1}\;{{\rm{B}}_1}//{\rm{AB}}\)
\[\Rightarrow {{A}_{1}}{{B}_{1}}\] là đường trung bình của tam giác \[SAB\].
\[\Rightarrow {{B}_{1}}\]là trung điểm của \[SB\].
Chứng minh tương tự ta có: \[{{C}_{1}};{{D}_{1}}\] lần lượt là trung điểm của \[SC,SD\].
b) Ta có \(\left. \begin{array}{l} \left( \alpha \right)//\left( \beta \right){\rm{ }}\left( {{\rm{//}}\left( {{\rm{ABCD}}} \right)} \right)\\ \left( {{\rm{SAB}}} \right) \cap \left( \alpha \right) = {{\rm{A}}_1}\;{{\rm{B}}_1}\\ \left( {{\rm{SAB}}} \right) \cap \left( \beta \right) = {{\rm{A}}_2}\;{{\rm{B}}_2} \end{array} \right\} \Rightarrow {{\rm{A}}_1}\;{{\rm{B}}_1}//{{\rm{A}}_2}\;{{\rm{B}}_2}\)
\[\Rightarrow {{A}_{2}}{{B}_{2}}\] là đường trung bình của hình thang \[{{A}_{1}}{{B}_{1}}BA\]
\[\Rightarrow {{B}_{2}}\] là trung điểm của B1B
\[\Rightarrow {{B}_{1}}{{B}_{2}}={{B}_{2}}B\]
Chứng minh tương tự ta có
\[{{C}_{2}}\] là trung điểm của \[{{C}_{1}}{{C}_{2}}\Rightarrow {{C}_{1}}{{C}_{2}}={{C}_{2}}C\]
\[{{D}_{2}}\] là trung điểm của \[{{D}_{1}}{{D}_{2}}\Rightarrow {{D}_{1}}{{D}_{2}}={{D}_{2}}D\].
c) Các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác \[ABCD\] là: \[{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}.ABCD\] và \[{{A}_{2}}{{B}_{2}}{{C}_{2}}{{D}_{2}}.ABCD\]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa hai mặt phẳng song song toán học 11, toán 11 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất