ican
Giải SGK Toán 11
Bài 3: Nhị thức Newton

Nhị thức Newton

Giải bài tập sách giáo khoa bài tập nhị thức niu tơn lớp 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất.

Ican

BÀI 3: NHỊ THỨC NEWTON

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Công thức nhị thức Niu-tơn

\[{{\left( a+b \right)}^{n}}={{C}_{n}}^{0}{{a}^{n}}+{{C}_{n}}^{1}{{a}^{n-1}}b+\ldots +{{C}_{n}}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}+\ldots +{{C}_{n}}^{n-1}a{{b}^{n-1}}+{{C}_{n}}^{n}{{b}^{n}}\left( 1 \right)\]

\[{{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}\]

2. Hệ quả

  • Với \[a=b=1\], ta có: \[{{2}^{n}}={{C}_{n}}^{0}+{{C}_{n}}^{1}+\ldots +{{C}_{n}}^{n}\].
  • Với \[a=1;b=1\], ta có: \[0={{C}_{n}}^{0}{{C}_{n}}^{1}+\ldots +{{\left( 1 \right)}^{k}}{{C}_{n}}^{k}+\ldots +\left( 1 \right){{C}_{n}}^{n}.\]

3. Chú ý

Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1):

  • Số các hạng tử là \[n+1\];
  • Tổng số mũ của \[a\] và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức:

\[\left( n-k \right)+k=n\]

  • Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.
  • Số hạng tổng quát của nhị thức là: \[{{T}_{k+1}}=C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}\] (Đó là số hạng thứ \[k+1\] trong khai triển \[{{\left( a+b \right)}^{n}}\] )

4. Tam giác Pascal trong khai triển nhị thức Newton

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Tìm số hạng, hệ số chứa \[{{x}^{\alpha }}\] trong khai triển

Cách giải:

  • Viết khai triển \[~{{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}\];
  • Biến đổi khai triển thành \[{{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{A}.{{x}^{f(k)}}\] ;
  • Số hạng chứa \[{{x}^{\alpha }}\] tương ứng với số hạng chứa \[k\] thỏa mãn \[f\left( k \right)=\alpha \] .
  • Từ đó suy ra số hạng cần tìm.

Dạng 2. Ứng dụng của nhị thức Newton trong các bài toán liên quan đến \[C_{n}^{k}\] .

Cách giải:

  • Chọn một khai triển \[{{\left( a+x \right)}^{n}}\] phù hợp với \[a\] là hằng số.
  • Sử dụng các phép biến đổi đại số hoặc lấy đạo hàm, tích phân.
  • Dựa vào điều kiện bài toán, thay \[x\] bởi một giá trị cụ thể.

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1. (SGK Đại số 11 trang 57)

a) \[{{\left( a+2b \right)}^{2}}\]

\[=C_{5}^{0}{{a}^{5}}+C_{5}^{1}{{a}^{4}}.2b+C_{5}^{2}{{a}^{3}}{{\left( 2b \right)}^{2}}+C_{5}^{3}{{a}^{2}}{{\left( 2b \right)}^{3}}+C_{5}^{4}a{{\left( 2b \right)}^{4}}+C_{5}^{5}{{\left( 2b \right)}^{5}}\]

\[=C_{5}^{0}{{a}^{5}}+2C_{5}^{1}{{a}^{4}}b+{{2}^{2}}C_{5}^{2}{{a}^{3}}{{b}^{2}}+{{2}^{3}}C_{5}^{3}{{a}^{2}}{{b}^{3}}+{{2}^{4}}C_{5}^{4}a{{b}^{4}}+{{2}^{5}}C_{5}^{5}{{b}^{5}}\]

b) \[{{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}\]

\[=C_{6}^{0}{{a}^{6}}+C_{6}^{1}{{a}^{5}}\left( -\sqrt{2} \right)+C_{6}^{2}{{a}^{4}}{{\left( -\sqrt{2} \right)}^{2}}+C_{6}^{3}{{a}^{3}}{{\left( -\sqrt{2} \right)}^{3}}+C_{6}^{4}{{a}^{2}}{{\left( \sqrt{2} \right)}^{4}}+C_{6}^{5}a{{\left( -\sqrt{2} \right)}^{5}}+C_{6}^{6}{{\left( -\sqrt{2} \right)}^{6}}\]

\[=C_{6}^{0}{{a}^{6}}-\sqrt{2}C_{6}^{1}{{a}^{5}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}C_{6}^{2}{{a}^{4}}-{{\left( \sqrt{2} \right)}^{3}}C_{6}^{3}{{a}^{3}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{4}}C_{6}^{4}{{a}^{2}}-{{\left( \sqrt{2} \right)}^{5}}C_{6}^{5}a+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{6}}C_{6}^{6}\]

c) \[{{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{13}}\]

\[=C_{13}^{0}{{x}^{13}}+C_{13}^{1}{{x}^{12}}\left( -\frac{1}{x} \right)+C_{13}^{2}{{x}^{11}}{{\left( -\frac{1}{x} \right)}^{2}}+...+C_{13}^{12}x{{\left( -\frac{1}{x} \right)}^{12}}+C_{13}^{13}{{\left( -\frac{1}{x} \right)}^{13}}\]

\[=C_{13}^{0}{{x}^{13}}-C_{13}^{1}{{x}^{11}}+C_{13}^{2}{{x}^{9}}-...+C_{13}^{12}\frac{1}{{{x}^{11}}}-C_{13}^{13}\frac{1}{{{x}^{13}}}\]

Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 58)

\[{{\left( x+\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{6}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{x}^{k}}{{\left( \frac{2}{{{x}^{2}}} \right)}^{6-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{x}^{3k-12}}{{.2}^{6-k}}}\]

Ta có : \[3k-12=3\Leftrightarrow k=5\]

Vậy hệ số của \[{{x}^{3}}\] là \[2.C_{6}^{5}\]

Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 58)

\[{{\left( 1-3x \right)}^{n}}\]

\[=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{1}^{k}}.{{\left( -3x \right)}^{n-k}}}\]

\[=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -3 \right)}^{n-k}}C_{n}^{k}{{x}^{n-k}}}\]

Theo bài ra ta có :

\[n-k=2;{{\left( -3 \right)}^{n-k}}C_{n}^{k}=90\]

\[\Leftrightarrow k=n-2;{{\left( -3 \right)}^{2}}C_{n}^{k}=90\]

\[\Rightarrow C_{n}^{k}=10\Leftrightarrow C_{n}^{n-2}=10\]

\[\Leftrightarrow \frac{n!}{2!\left( n-2 \right)!}=10\]

\[\Leftrightarrow n\left( n-1 \right)=20\]

\[\Leftrightarrow n=-4\] (loại); \[n=5\]

Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 58)

\[{{\left( {{x}^{3}}+\frac{1}{x} \right)}^{8}}=\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{x}^{3k}}{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{8-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{8}{C_{8}^{k}{{x}^{4k-8}}}\]

Ta có : \[4k-8=0\Leftrightarrow k=2\]

Vậy số hạng không chứa x là \[C_{8}^{2}\] .

Bài 5. (SGK Đại số 11 trang 58)

\[{{\left( 3x-14 \right)}^{17}}\]

\[=C_{17}^{0}{{\left( 3x \right)}^{17}}+C_{17}^{1}{{\left( 3x \right)}^{16}}.\left( -4 \right)+C_{17}^{2}{{\left( 3x \right)}^{15}}.{{\left( -4 \right)}^{2}}+C_{17}^{3}{{\left( 3x \right)}^{14}}.{{\left( -4 \right)}^{3}}+...+C_{17}^{16}3x.{{\left( -4 \right)}^{16}}+C_{17}^{17}{{\left( -4 \right)}^{17}}\]

\[={{3}^{17}}C_{17}^{0}{{x}^{17}}-{{3}^{16}}.4C_{17}^{1}{{x}^{16}}+{{3}^{15}}{{.4}^{2}}C_{17}^{2}{{x}^{15}}-{{3}^{14}}{{.4}^{3}}C_{17}^{3}{{x}^{14}}+...+{{3.4}^{16}}C_{17}^{16}x-{{4}^{17}}C_{17}^{17}\]

Chọn \[x=1\] ta có :

\[{{3}^{17}}C_{17}^{0}-{{3}^{16}}.4C_{17}^{1}+{{3}^{15}}{{.4}^{2}}C_{17}^{2}-{{3}^{14}}{{.4}^{3}}C_{17}^{3}+...+{{3.4}^{16}}C_{17}^{16}-{{4}^{17}}C_{17}^{17}={{\left( 3.1-4 \right)}^{17}}=-1\]

Bài 6. (SGK Đại số 11 trang 58)

a) \[{{11}^{10}}={{\left( 10+1 \right)}^{10}}\]

\[=C_{10}^{0}{{.10}^{10}}+C_{10}^{1}{{.10}^{9}}.1+C_{10}^{2}{{.10}^{8}}{{.1}^{2}}+...+C_{10}^{9}{{.10.1}^{9}}+C_{10}^{10}{{.1}^{10}}\]

\[=C_{10}^{0}{{.10}^{10}}+C_{10}^{1}{{.10}^{9}}+C_{10}^{2}{{.10}^{8}}+...+C_{10}^{9}.10+C_{10}^{10}\]

\[\Rightarrow {{11}^{10}}-1=C_{10}^{0}{{.10}^{10}}+C_{10}^{1}{{.10}^{9}}+C_{10}^{2}{{.10}^{8}}+...+C_{10}^{9}.10+C_{10}^{10}-1\]

\[=C_{10}^{0}{{.10}^{10}}+C_{10}^{1}{{.10}^{9}}+C_{10}^{2}{{.10}^{8}}+...+C_{10}^{9}.10\]

\[\Rightarrow \left( C_{10}^{0}{{.10}^{10}}+C_{10}^{1}{{.10}^{9}}+C_{10}^{2}{{.10}^{8}}+...+C_{10}^{8}{{.10}^{2}}+10.10 \right)\vdots 100\]

\[\Rightarrow \left( {{11}^{10}}-1 \right)\vdots 100\]

b) \[{{101}^{100}}={{\left( 100+1 \right)}^{100}}\]

\[=C_{100}^{0}{{.100}^{100}}+C_{100}^{1}{{.100}^{99}}+C_{100}^{2}{{.100}^{98}}+...+C_{100}^{98}{{.100}^{2}}+C_{100}^{99}.100+C_{100}^{100}\]

\[\Rightarrow {{101}^{100}}-1=C_{100}^{0}{{.100}^{100}}+C_{100}^{1}{{.100}^{99}}+C_{100}^{2}{{.100}^{98}}+...+C_{100}^{98}{{.100}^{2}}+C_{100}^{99}.100\]

\[\Rightarrow \left( C_{100}^{0}{{.100}^{100}}+C_{100}^{1}{{.100}^{99}}+C_{100}^{2}{{.100}^{98}}+...+C_{100}^{98}{{.100}^{2}}+100.100 \right)\vdots 10000\]

\[\Rightarrow \left( {{101}^{100}}-1 \right)\vdots 10000\]

c) \[{{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{100}}=C_{100}^{0}+C_{100}^{1}\sqrt{10}+C_{100}^{2}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{2}}+C_{100}^{3}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{3}}+...+C_{100}^{99}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{99}}+C_{100}^{100}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{100}}\]

\[{{\left( 1-\sqrt{10} \right)}^{100}}=C_{100}^{0}-C_{100}^{1}\sqrt{10}+C_{100}^{2}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{2}}-C_{100}^{3}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{3}}+...-C_{100}^{99}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{99}}+C_{100}^{100}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{100}}\]

\[\Rightarrow {{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{100}}-{{\left( 1-\sqrt{10} \right)}^{100}}=2\left( C_{100}^{1}\sqrt{10}+C_{100}^{3}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{3}}+C_{100}^{5}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{5}}+...+C_{100}^{97}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{97}}+C_{100}^{99}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{99}} \right)\] \[=2\sqrt{10}\left( C_{100}^{1}+C_{100}^{3}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{2}}+C_{100}^{5}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{4}}+...+C_{100}^{97}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{96}}+C_{100}^{99}{{\left( \sqrt{10} \right)}^{98}} \right)\]

\[=2\sqrt{10}.P\]

\[\Rightarrow \sqrt{10}\left[ {{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{100}}-{{\left( 1-\sqrt{10} \right)}^{100}} \right]=\sqrt{10}.2\sqrt{10}.P=20P\]

\[\Rightarrow \sqrt{10}\left[ {{\left( 1+\sqrt{10} \right)}^{100}}-{{\left( 1-\sqrt{10} \right)}^{100}} \right]\] là số nguyên.

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa bài tập nhị thức niu tơn lớp 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất.

Đánh giá (397)
ican
  • Một thương hiệu của 
    ICAN
  • ICAN
  • ICAN © 2023, All Rights Reserved.

  • Trụ sở Hồ Chí Minh: B0003 C/C Sarina, Khu đô thị Sala, Khu phố 3, Đường Hoàng Thế Thiện, Phường An Lợi Đông, TP. Thủ Đức

  • Văn phòng Hà Nội: Tòa nhà 25T2 Đường Hoàng Đạo Thúy, Phường Trung Hòa, Quận Cầu Giấy