BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng a và mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] . Tùy theo số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:
- Đường thẳng a và mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] không có điểm chung, tức là:
\[a\cap \left( \alpha \right)=\varnothing \Leftrightarrow a//\left( \alpha \right)\].
- Đường thẳng a và mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] chỉ có một điểm chung, tức là:
\[a\cap \left( \alpha \right)=A\Leftrightarrow \] a cắt \[\left( \alpha \right)\] tại A.
- Đường thẳng a và mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] có hai điểm chung, tức là:
\[a\cap \left( \alpha \right)=\left\{ A,B \right\}\Leftrightarrow a\subset \left( \alpha \right)\].
2. Tính chất
Định lí 1:
Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] và d song song với một đường thẳng d’ nằm trong \[\left( \alpha \right)\] thì d song song với \[\left( \alpha \right)\] .
Định lí 2:
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] . Nếu mặt phẳng \[\left( \beta \right)\] chứa a và cắt \[\left( \alpha \right)\] theo giao tuyến b thì \[b//a\] .
Hệ quả:
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Định lí 3:
Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Cách giải:
- Cách 1: Chứng minh \(\left\{ \begin{array}{l} d//\Delta \\ \Delta \subset \left( \alpha \right) \end{array} \right. \Rightarrow d//\left( \alpha \right)\)
- Cách 2: Chứng minh \(\left\{ \begin{array}{l} \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = d\\ \left( \beta \right) \cap \left( \alpha \right) = a\\ \left( \gamma \right) \cap \left( \alpha \right) = b\\ a//b \end{array} \right. \Rightarrow d//\left( \alpha \right)\)
Dạng 2. Xác định thiết diện song song với đường thẳng
Cách giải:
Áp dụng tính chất \(\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha \right)//d\\ d \subset \left( \beta \right)\\ M \in \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = d'//d,M \in d'\) để tìm giao tuyến của \[\left( \alpha \right)\] với hình đa diện. Từ đó suy ra thiết diện cắt bởi mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] .
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (trang 63 SGK Hình học 11)
a) Do các tứ giác \[ABCD\] và \[ABEF\] là các hình bình hành
\[\Rightarrow O\] là trung điểm của \[AC;BD\]và \[O'\] là trung điểm của \[AE;BF\]. (tính chất hình bình hành).
Xét \[\Delta BFD\] có \[OO\] là đường trung bình nên \[OO'//DF\]
Mà \[DF\subset \left( ADF \right)\]\[\Rightarrow OO'//\left( ADF \right)\]
Xét \[\Delta AEC\] có \[OO'\] là đường trung bình nên \[OO'//EC\]
Mà \[EC\subset \left( BCE \right)\Rightarrow OO'//\left( BCE \right)\].
b)
Gọi I là trung điểm của \[AB\].
Ta có M là trọng tâm \[\Delta ABD\]\[\Rightarrow \frac{IM}{ID}=\frac{1}{3}\].
Lại có, \[N\] là trọng tâm \[\Delta ABE\]\[\Rightarrow \frac{IN}{IE}=\frac{1}{3}\].
Xét \[\Delta IDE\] có \[\frac{IM}{ID}=\frac{IN}{IE}=\frac{1}{3}\]
\[\Rightarrow MN//DE\] mà \[ED\subset \left( CEFD \right)\]
\[\Rightarrow MN//\left( CEFD \right)\] hay \[MN//\left( CEF \right)\].
Bài 2. (trang 63 SGK Hình học 11)
a) Vì \[\left( \alpha \right)//AC\] nên \[\left( \alpha \right)\cap \left( ABC \right)=d//AC\]
Mà \[M\in \left( ABC \right)\cap \left( \alpha \right)\].
\[\Rightarrow d\] là đường thẳng qua M, song song với AC và cắt BC tại N.
Chứng minh tương tự ta có:
\[\left( \alpha \right)\cap \left( ABD \right)=MQ\] là đường thẳng qua M song song với \[BD(Q\in AD)\].
\[\left( \alpha \right)\cap \left( BCD \right)=NP\] là đường thẳng qua N song song với \[BD(P\in CD)\].
\[\left( \alpha \right)\cap \left( ACD \right)=QP\].
b)Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {MNPQ} \right) \cap \left( {ACD} \right) = PQ\\ AC//\left( {MNPQ} \right)\\ AC \subset \left( {ACD} \right) \end{array} \right. \Rightarrow PQ//AC\)
\[\Rightarrow \] Tứ giác \[MNPQ\] có các cạnh đối song song với nhau
\[\Rightarrow \] Tứ giác \[MNPQ\] là hình bình hành.
Bài 3. (trang 63 SGK Hình học 11)
+ Ta có: \[\left( \alpha \right)//AB\]
\[\Rightarrow \] giao tuyến \[\left( \alpha \right)\] và \[\left( ABCD \right)\] là đường thẳng qua \[O\] và song song với \[AB\].
Qua O kẻ \[MN//AB\,\,\left( M\in BC,N\in AD \right)\]\[\Rightarrow \left( \alpha \right)\cap \left( ABCD \right)=MN\].
Ta có \[\left( \alpha \right)//SC\]
\[\Rightarrow \] giao tuyến của \[\left( \alpha \right)\] và \[\left( SBC \right)\] là đường thẳng qua M và song song với \[SC\].
Qua M kẻ \[MQ//SC\,\,\left( Q\in SB \right)\]\[\Rightarrow \left( \alpha \right)\cap \left( SBC \right)=MQ\]
Ta có \[\left( \alpha \right)//AB\]
\[\Rightarrow \] giao tuyến của \[\left( \alpha \right)\] và \[\left( SAB \right)\] là đường thẳng qua Q và song song với \[AB\].
Qua Q kẻ \[QP//AB\,\,\left( P\in SA \right)\]\[\Rightarrow \left( \alpha \right)\cap \left( SAD \right)=PN\].
Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi \[\left( \alpha \right)\] là tứ giác \[MNPQ\].
Ta có: \[PQ//AB\] và \[NM//AB\]\[\Rightarrow PQ//NM\]
Do đó, tứ giác \[MNPQ\] là hình thang.
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa đường thẳng và mặt phẳng song song toán học 11, toán 11 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất