BÀI 3: ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
- \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\operatorname{s}i\text{nx}}{x}=1\]
- Hàm số \[y=\sin x;y=\cos x\] có đạo hàm tại mọi \[x\in \mathbb{R}\]
- Hàm số \[y=\tan x\] có đạo hàm tại mọi \[x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
- Hàm số \[y=\cot x\] có đạo hàm tại mọi \[x\ne k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
- Bảng đạo hàm
| \[\left( cx \right)'=c,c\] là hằng số | \[\left( cu \right)'=cu'\] (c là hằng số) | \[\left( \tan x \right)'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\] | \[\left( \tan u \right)'=\frac{u'}{{{\cos }^{2}}u}\] |
| \[\left( {{x}^{m}} \right)'=m{{x}^{m-1}}\] | \[\left( {{u}^{m}} \right)'=m{{u}^{m-1}}u'\] | \[\left( \cot x \right)'=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\] | \[\left( \cot u \right)'=-\frac{u'}{{{\sin }^{2}}u}\] |
| \[\left( \frac{1}{x} \right)'=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\] | \[\left( \frac{1}{u} \right)'=-\frac{u'}{{{u}^{2}}}\] | \[\left( \sin x \right)'=\cos x\] | \[\left( \sin u \right)'=u'.\cos u\] |
| \[\left( \sqrt{x} \right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\] | \[\left( \sqrt{u} \right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\] | \[\left( \cos x \right)'=-\sin x\] | \[\left( \cos u \right)'=-u'.\sin u\] |
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tính đạo hàm
Cách giải:
Áp dụng các công thức và quy tắc tính đạo hàm
Dạng 2. Giải các phương trình, bất phương trình liên quan đến đạo hàm
Cách giải:
- Tính \[y'=f'\left( x \right)\]
- Thay \[y'=f'\left( x \right)\] vào phương trình, bất phương trình đã cho và áp dụng các kiến thức về giải phương trình, bất phương trình đã học.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. SGK Đại số 11 trang 168
a) \[y=\frac{x-1}{5x-2}\Rightarrow y'=\frac{5x-2-5\left( x-1 \right)}{{{\left( 5x-2 \right)}^{2}}}=\frac{3}{{{\left( 5x-2 \right)}^{2}}}\]
b) \[y=\frac{2x+3}{7-3x}\Rightarrow y'=\frac{2\left( 7-3x \right)+3\left( 2x+3 \right)}{{{\left( 7-3x \right)}^{2}}}=\frac{23}{{{\left( 7-3x \right)}^{2}}}\]
c) \[y=\frac{{{x}^{2}}+2x+3}{3-4x}\Rightarrow y'=\frac{\left( 2x+2 \right)\left( 3-4x \right)+4\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)}{{{\left( 3-4x \right)}^{2}}}=\frac{-4{{x}^{2}}+6x+18}{{{\left( 3-4x \right)}^{2}}}\]
d) \[y=\frac{{{x}^{2}}+7x+3}{{{x}^{2}}-3x}\Rightarrow y'=\frac{\left( 2x+7 \right)\left( {{x}^{2}}-3x \right)-\left( 2x-3 \right)\left( {{x}^{2}}+7x+3 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-3x \right)}^{2}}}\] \[\Leftrightarrow y'=\frac{2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-21x-\left( 2{{x}^{3}}+11{{x}^{2}}-15x-9 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-3x \right)}^{2}}}\]
\[\Leftrightarrow y'=\frac{-10{{x}^{2}}-6x+9}{{{\left( {{x}^{2}}-3x \right)}^{2}}}\]
Bài 2. SGK Đại số 11 trang 168
a) \[y=\frac{{{x}^{2}}+x+2}{x-1}\left( x\ne 1 \right)\]
\[\Rightarrow y'=\frac{\left( 2x+1 \right)\left( x-1 \right)-\left( {{x}^{2}}+1+2 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-2x-3}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\]
\[\Rightarrow y'<0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3<0;x\ne 1\Leftrightarrow -1
b) \[y=\frac{{{x}^{2}}+1}{x+1}\left( x\ne -1 \right)\]
\[\Rightarrow y'=\frac{2x\left( x+1 \right)-\left( {{x}^{2}}+3 \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+2x-3}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\]
\[\Rightarrow y'\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-3\ge 0;x+1\ne 0\Leftrightarrow x\le -3;x\ge 1\]
c) \[y=\frac{2x-1}{{{x}^{2}}+x+4}\]
\[\Rightarrow y'=\frac{2\left( {{x}^{2}}+x+4 \right)-\left( 2x+1 \right)\left( 2x-1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+x+4 \right)}^{2}}}=\frac{2{{x}^{2}}+2x+8-\left( 4{{x}^{2}}-1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+x+4 \right)}^{2}}}=\frac{-2{{x}^{2}}+2x+9}{{{\left( {{x}^{2}}+x+4 \right)}^{2}}}\]
\[\Rightarrow y'>0\Leftrightarrow -2{{x}^{2}}+2x+9>0\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{19}}{2}
Bài 3. SGK Đại số 11 trang 169
a) \[y=5\sin x-3\cos x\]
\[\Rightarrow y'=5\cos x+3\sin x\]
b) \[y=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}\]
\[\Rightarrow y'=\frac{\left( \cos x-\sin x \right)\left( \sin x-\cos x \right)-\left( \sin x+\cos x \right)\left( \cos x+\sin x \right)}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}}\]
\[\Leftrightarrow y'=\frac{-{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}-{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}}\]
\[\Leftrightarrow y'=-\frac{2}{{{\left( \sin x-\cos x \right)}^{2}}}\]
c) \[y=x.\cot x\]
\[\Rightarrow y'=\cot x+x.\frac{-1}{{{\sin }^{2}}x}=\cot x-\frac{x}{{{\sin }^{2}}x}\]
d) \[y=\frac{\sin x}{x}+\frac{x}{\sin x}\]
\[\Rightarrow y'=\frac{x\cos x-\sin x}{{{x}^{2}}}+\frac{\sin x-x\cos x}{{{\sin }^{2}}x}\]
\[\Rightarrow y'=\left( x\cos x-\sin x \right)\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)\]
e) \[y=\sqrt{1+2\tan x}\]
\[\Rightarrow y'=\frac{\left( 1+2\tan x \right)'}{2\sqrt{1+2\tan x}}=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x\sqrt{1+2\tan x}}\]
f) \[y=\sin \sqrt{1+{{x}^{2}}}\]
\[\Rightarrow y'=\left( \sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)'\cos \sqrt{1+{{x}^{2}}}=\frac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}.\cos \sqrt{1+{{x}^{2}}}\]
Bài 4. SGK Đại số 11 trang 169
a) \[y=\left( 9-2x \right)\left( 2{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+1 \right)\]
\[\Rightarrow y'=\left( 9-2x \right)'\left( 2{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+1 \right)+\left( 9-2x \right)\left( 2{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+1 \right)'\]
\[=-2\left( 2{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+1 \right)+\left( 9-2x \right)\left( 6{{x}^{2}}-18x \right)\]
\[=-16{{x}^{3}}+108{{x}^{2}}-162x-2\]
b) \[y=\left( 6\sqrt{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( 7x-3 \right)\]
\[\Rightarrow y'=\left( 6\sqrt{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)'\left( 7x-3 \right)+7\left( 6\sqrt{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\]
\[=\left( \frac{3}{\sqrt{x}}+\frac{2}{{{x}^{3}}} \right)\left( 7x-3 \right)+7\left( 6\sqrt{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\]
\[=-\frac{6}{{{x}^{3}}}+\frac{7}{{{x}^{2}}}+63\sqrt{x}-\frac{9}{\sqrt{x}}\]
c) \[y=\left( x-2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}\]
\[\Rightarrow y'=\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\left( x-2 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)'\]
\[=\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\left( x-2 \right).\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\]
\[=\frac{2{{x}^{2}}-2x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\]
d) \[y={{\tan }^{2}}x-\cot {{x}^{2}}\]
\[\Rightarrow y'=2\tan x.\left( \tan x \right)'-\left( \cot {{x}^{2}} \right)'\]
\[=2\tan x.\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{2x}{{{\sin }^{2}}{{x}^{2}}}\]
\[=\frac{2\tan x}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{2x}{{{\sin }^{2}}{{x}^{2}}}\]
e) \[y=\cos \frac{x}{1+x}\]
\[\Rightarrow y'={{\left( \frac{x}{1+x} \right)}^{'}}.\left( -\sin \frac{x}{1+x} \right)\]
\[=-\frac{1+x-x}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}.\sin \frac{x}{1+x}\]
\[=-\frac{1}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}.\sin \frac{x}{1+1}\]
Bài 5. SGK Đại số 11 trang 169
\[f\left( x \right)={{x}^{2}}\Rightarrow f'\left( x \right)=2x\Rightarrow f'\left( 1 \right)=2\]
\[\varphi \left( x \right)=4x+\sin \frac{\pi x}{2}\Rightarrow \varphi '\left( x \right)=4+\frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi x}{2}\Rightarrow \varphi '\left( 1 \right)=4\]
\[\Rightarrow \frac{f'\left( 1 \right)}{\varphi '\left( 1 \right)}=\frac{1}{2}\]
Bài 6. SGK Đại số 11 trang 169
a) \[y={{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x+3{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x\]
\[={{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x+3{{\left( \frac{1}{2}.2\sin x.\cos x \right)}^{2}}\]
= \[{{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x+\frac{3}{4}{{\sin }^{2}}2x\]
\[\Rightarrow y'=6{{\sin }^{5}}x.\cos x-6{{\cos }^{5}}x.\sin x+3\sin 2x.\cos 2x\]
\[=3\sin 2x.{{\sin }^{4}}x-3\sin 2x.{{\cos }^{4}}x+3\sin 2x.\cos 2x\]
\[=3\sin 2x\left( {{\sin }^{4}}x-{{\cos }^{4}}x+\cos 2x \right)\]
\[=3\sin 2x\left[ \left( {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)\left( {{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x \right)+\cos 2x \right]\]
\[=3\sin 2x\left( -\cos 2x+\cos 2x \right)\] =0
b) \[y={{\cos }^{2}}\left( \frac{\pi }{3}-x \right)+{{\cos }^{2}}\left( \frac{\pi }{3}+x \right)+{{\cos }^{2}}\left( \frac{2\pi }{3}-x \right)+{{\cos }^{2}}\left( \frac{2\pi }{3}+x \right)-2{{\sin }^{2}}x\] \[\Rightarrow y'=2\cos \left( \frac{\pi }{3}-x \right)\sin \left( \frac{\pi }{3}-x \right)-2\cos \left( \frac{\pi }{3}+x \right).\sin \left( \frac{\pi }{3}+x \right)+2\cos \left( \frac{2\pi }{3}-x \right)\sin \left( \frac{2\pi }{3}-x \right)-2\cos \left( \frac{2\pi }{3}+x \right)\sin \left( \frac{2\pi }{3}+x \right)-4\sin x.\cos x\]
\[=\sin \left( \frac{2\pi }{3}-2x \right)-\sin \left( \frac{2\pi }{3}+2x \right)+\sin \left( \frac{4\pi }{3}-2x \right)-\sin \left( \frac{4\pi }{3}+2x \right)-2\sin 2x\]
\[=2\cos \frac{2\pi }{3}\sin \left( -2x \right)+2\cos \frac{4\pi }{3}\sin \left( -2x \right)-2\sin 2x\]
\[=\sin 2x+\sin 2x-2\sin 2x=0\]
Bài 7. SGK Đại số 11 trang 169
a) \[f\left( x \right)=3\cos x+4\sin x+5x\]
\[\Rightarrow f'\left( x \right)=-3\sin x+4\cos x+5\]
\[f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow -3\sin x+4\cos x+5=0\]
\[\Leftrightarrow 3\sin x-4\cos x=5\]
\[\Leftrightarrow \frac{3}{5}\sin x-\frac{4}{5}\cos x=1\] (*)
Đặt \[\cos \alpha =\frac{3}{5};\sin \alpha =\frac{4}{5}\]
\[\left( * \right)\Leftrightarrow \sin x.\cos \alpha -\cos x.\sin \alpha =1\]
\[\Leftrightarrow \sin \left( x-\alpha \right)=1\]
\[\Leftrightarrow x-\alpha =\frac{\pi }{2}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
\[\Leftrightarrow x=\alpha +\frac{\pi }{2}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
b) \[f\left( x \right)=1-\sin \left( \pi +x \right)+2\cos \left( \frac{2\pi +x}{2} \right)=1+\sin x-2\cos \frac{x}{2}\]
\[\Rightarrow f'\left( x \right)=\cos x+2.\frac{1}{2}.\sin \frac{x}{2}=\cos x+\sin \frac{x}{2}\]
\[f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \cos x+\sin \frac{x}{2}=0\]
\[\Leftrightarrow 1-2{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}=0\]
\[\Leftrightarrow \sin \frac{x}{2}=1;\sin \frac{x}{2}=-\frac{1}{2}\]
\[\Leftrightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{x}{2}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi ;\frac{x}{2}=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
\[\Leftrightarrow x=\pi +k4\pi ;x=-\frac{\pi }{3}+k4\pi ;x=\frac{7\pi }{3}+k4\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)\]
Bài 8. SGK Đại số 11 trang 169
a) \[f\left( x \right)={{x}^{3}}+x-\sqrt{2}\Rightarrow f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+1\]
\[g\left( x \right)=3{{x}^{2}}+x+\sqrt{2}\Rightarrow g'\left( x \right)=6x+1\]
\[\Rightarrow f'\left( x \right)>g'\left( x \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+1>6x+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x>0\Leftrightarrow x>2;x<0\]
b) \[f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+\sqrt{3}\Rightarrow f'\left( x \right)=6{{x}^{2}}-2x\]
\[g\left( x \right)={{x}^{3}}+\frac{{{x}^{2}}}{2}-\sqrt{3}\Rightarrow g'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+x\]
\[\Rightarrow f'\left( x \right)>g'\left( x \right)\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}-2x>3{{x}^{2}}+x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x>0\Leftrightarrow x>1;x<0\]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa đạo hàm của hàm số lượng giác toán học 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất