ican
Giải SGK Toán 11
Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học

Giải bài tập sách giáo khoa phương pháp quy nạp toán học lớp 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất.

Ican

BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Gọi \[P\left( n \right)\] là một mệnh đề chứa biến \[n\left( n\in {{N}^{*}} \right)\]. Chứng minh \[P\left( n \right)\] đúng với mọi số tự nhiên \[n\left( n\in {{N}^{*}} \right)\]

Phương pháp quy nạp toán học

- Bước 1: Chứng minh \[P\left( n \right)\] đúng với \[n=1\].

- Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \[P\left( n \right)\] đúng với \[n=k\ge 1\], chứng minh \[P\left( n \right)\] cũng đúng khi \[n=k+1\].

Chú ý:

Đối với bài toán chứng minh \[P\left( n \right)\] đúng với mọi \[n\ge p\] với p là số tự nhiên cho trước thì:

- Bước 1: Chứng minh \[P\left( n \right)\] đúng với \[n=p\].

- Bước 2: Với \[k\ge p\] là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \[P\left( n \right)\] đúng với \[n=k\] , chứng minh \[P\left( n \right)\] cũng đúng khi \[n=k+1\].


B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng bài: Chứng minh tính đúng đắn của mệnh đề bằng phương pháp quy nạp toán học

Cách giải:

Áp dụng lần lượt các bước của phương pháp.

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1. (SGK Đại số 11 trang 82)

a)

+ Với \[n=1\] ta có : \[2=2\] (luôn đúng)

+ Đặt \[{{S}_{n}}=2+5+8+...+3n-1\]

Giả sử đẳng thức đúng với \[n=k\ge 1\] , tức là :

\[{{S}_{k}}=2+5+8+3k-1=\frac{k\left( 3k+1 \right)}{2}\]

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với \[n=k+1\] , tức là :

\[{{S}_{k+1}}=2+5+8+...+3\left( k+1 \right)-1=\frac{\left( k+1 \right)\left[ 3\left( k+1 \right)+1 \right]}{2}\]

Thật vậy :

\[{{S}_{k+1}}=2+5+8+...+3k-1+3\left( k+1 \right)-1\]

\[={{S}_{k}}+3\left( k+1 \right)-1\]

\[=\frac{k\left( 3k+1 \right)}{2}+3\left( k+1 \right)-1\]

\[=\frac{k\left( 3k+1 \right)+6\left( k+1 \right)-2}{2}\]

\[=\frac{3{{k}^{2}}+7k+4}{2}\]

\[=\frac{\left( k+1 \right)\left( 3k+4 \right)}{2}\]

\[=\frac{\left( k+1 \right)\left[ 3\left( k+1 \right)+1 \right]}{2}\]

\[\Rightarrow \] Điều phải chứng minh.

b)

+ Với \[n=1\] ta có : \[\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\] (luôn đúng)

+ Đặt \[{{S}_{n}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{{{2}^{n}}}\]

Giả sử đẳng thức đúng với \[n=k\ge 1\] , tức là :

\[{{S}_{k}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{{{2}^{k}}}=\frac{{{2}^{k}}-1}{{{2}^{k}}}\]

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với \[n=k+1\] , tức là :

\[{{S}_{k}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{{{2}^{k+1}}}=\frac{{{2}^{k+1}}-1}{{{2}^{k+1}}}\]

Thật vậy :

\[{{S}_{k+1}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{{{2}^{k}}}+\frac{1}{{{2}^{k+1}}}\]

\[={{S}_{k}}+\frac{1}{{{2}^{k+1}}}\]

\[=\frac{{{2}^{k}}-1}{{{2}^{k}}}+\frac{1}{{{2}^{k+1}}}\]

\[=\frac{{{2}^{k+1}}-2+1}{{{2}^{k+1}}}\]

\[=\frac{{{2}^{k+1}}-1}{{{2}^{k+1}}}\]

\[\Rightarrow \] Điều phải chứng minh.

c)

+ Với \[n=1\] ta có : \[1=1\] (luôn đúng)

+ Đặt \[{{S}_{n}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}}\]

Giả sử đẳng thức đúng với \[n=k\ge 1\] , tức là :

\[{{S}_{k}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{k}^{2}}=\frac{k\left( k+1 \right)\left( 2k+1 \right)}{6}\]

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với \[n=k+1\] , tức là :

\[{{S}_{k+1}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{\left( k+1 \right)}^{2}}=\frac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( 2\left( k+1 \right)+1 \right)}{6}\]

Thật vậy :

\[{{S}_{k+1}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{k}^{2}}+{{\left( k+1 \right)}^{2}}\]

\[={{S}_{k}}+{{\left( k+1 \right)}^{2}}\]

\[=\frac{k\left( k+1 \right)\left( 2k+1 \right)}{6}+{{\left( k+1 \right)}^{2}}\]

\[=\frac{k\left( k+1 \right)\left( 2k+1 \right)+6{{\left( k+1 \right)}^{2}}}{6}\]

\[=\frac{\left( k+1 \right)\left[ k\left( 2k+1 \right)+6\left( k+1 \right) \right]}{6}\]

\[=\frac{\left( k+1 \right)\left( 2{{k}^{2}}+7k+6 \right)}{6}\]

\[=\frac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( 2k+3 \right)}{6}\]

\[=\frac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left[ 2\left( k+1 \right)+1 \right]}{6}\]

\[\Rightarrow \] Điều phải chứng minh.

Bài 2. (SGK Đại số 11 trang 82)

a)

Đặt \[{{A}_{n}}={{n}^{3}}+3{{n}^{2}}+5n\]

+ Với \[n=1\] , ta có \[9\vdots 3\] (luôn đúng)

+ Giả sử với \[n=k\ge 1\] , ta luôn có :

\[{{A}_{k}}=\left( {{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+5k \right)\vdots 3\]

Ta cần chứng minh, với \[n=k+1\] thì \[{{A}_{k+1}}\vdots 3\]

Thật vậy :

\[{{A}_{k+1}}={{\left( k+1 \right)}^{3}}+3{{\left( k+1 \right)}^{2}}+5\left( k+1 \right)\]

\[={{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+3k+1+3\left( {{k}^{2}}+2k+1 \right)+5k+5\]

\[={{k}^{3}}+6{{k}^{2}}+14k+9\]

\[=\left( {{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+5k \right)+3{{k}^{2}}+9k+9\]

\[=\left( {{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+5k \right)+3\left( {{k}^{2}}+3k+3 \right)\]

Vì \[{{A}_{k}}=\left( {{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+5k \right)\vdots 3\] và \[3\left( {{k}^{2}}+3k+3 \right)\vdots 3\] nên \[{{A}_{k+1}}\vdots 3\]

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b)

Đặt \[{{A}_{n}}={{4}^{n}}+15n-1\]

Với \[n=1\] ta có \[18\vdots 9\] ( luôn đúng)

Giả sử với \[n=k\ge 1\] , ta luôn có : \[{{A}_{k}}=\left( {{4}^{k}}+15k-1 \right)\vdots 9\] (1)

Ta cần chứng minh, với \[n=k+1\] thì \[{{A}_{k+1}}\vdots 9\]

Thạt vậy \[{{A}_{k+1}}={{4}^{k+1}}+15\left( k+1 \right)-1\]

\[={{4.4}^{k}}+15k+14\]

\[=\left( {{4}^{k}}+15k-1 \right)+\left( {{3.4}^{k}}+15 \right)\]

\[=\left( {{4}^{k}}+15k-1 \right)+3.\left( {{4}^{k}}+5 \right)\]

Xét \[\left( {{4}^{k}}+5 \right)\vdots 3\]

+ Với \[k=1\] ta có \[9\vdots 3\] ( luôn đúng)

+ Giả sử với \[n=k\ge 1\] ta luôn có \[\left( {{4}^{n}}+5 \right)\vdots 3\]

Ta cần chứng minh, với \[k=u+1\] thì \[\left( {{4}^{u+1}}+5 \right)\vdots 3\]

Thật vậy \[{{4}^{u+1}}+5={{4.4}^{u}}+5=\left( {{4}^{u}}+5 \right)+{{3.4}^{u}}\]

Vì \[\left( {{4}^{u}}+5 \right)\vdots 3\] và \[{{3.4}^{u}}\vdots 3\] nên \[\left( {{4}^{u+1}}+5 \right)\vdots 3\] (2)

Từ (1) và (2) \[\Rightarrow {{A}_{k+1}}\vdots 9\]

Vậy ta có điều phải chứng minh.

c)

Đặt \[{{A}_{n}}={{n}^{3}}+11n\]

Với \[n=1\] ta có \[12\vdots 6\] (luôn đúng)

Giả sử với \[n=k\ge 1\] ta luôn có : \[{{A}_{k}}=\left( {{k}^{3}}+11k \right)\vdots 6\]

Ta cần chứng minh, với \[n=k+1\] thì \[{{A}_{k+1}}\vdots 6\]

Thật vậy \[{{A}_{k+1}}={{\left( k+1 \right)}^{3}}+11\left( k+1 \right)\]

\[={{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+3k+1+11k+11\]

\[={{k}^{3}}+3{{k}^{2}}+14k+12\]

\[=\left( {{k}^{3}}+11k \right)+3{{k}^{2}}+3k+12\]

\[=\left( {{k}^{3}}+11k \right)+3.\left( {{k}^{2}}+k+4 \right)\]

\[=\left( {{k}^{3}}+11k \right)+3\left[ k.\left( k+1 \right)+4 \right]\]

Vì \[{{A}_{k}}=\left( {{k}^{3}}+11k \right)\vdots 6\] và \[\left[ k\left( k+1 \right)+4 \right]\vdots 2\Rightarrow 3\left[ k.\left( k+1 \right)+4 \right]\vdots 6\]

\[\Rightarrow {{A}_{k+1}}\vdots 6\]

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 3. (SGK Đại số 11 trang 82)

a)

Với \[n=2\] ta có \[9>7\] ( luôn đúng)

Giả sử với \[n=k\ge 2\] ta luôn có \[{{3}^{k}}>3k+1\]

Ta cần chứng minh với \[n=k+1\] thì \[{{3}^{k+1}}>3\left( k+1 \right)+1\]

Thật vậy \[{{3}^{k+1}}={{3.3}^{k}}>3\left( k+1 \right)\]

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {3^{k + 1}} > 9k + 3\\ \Leftrightarrow {3^{k + 1}} > 3\left( {k + 1} \right) + 1 + 6k - 1\left( * \right) \end{array}\)

Vì \[k\ge 2\] nên \[6k-1\ge 11\]

\[\left( * \right)\Leftrightarrow {{3}^{k+1}}>3\left( k+1 \right)+1+11>3\left( k+1 \right)+1\]

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b)

Với \[n=2\] ta có \[8>7\] ( luôn đúng)

Giả sử với \[n=k\ge 2\] ta luôn có \[{{2}^{k+1}}>2k+3\]

Ta cần chứng minh với \[n=k+1\] thì \[{{2}^{k+2}}>2\left( k+1 \right)+3\]

Thật vậy \[{{2}^{k+2}}={{2}^{k+1}}.2>2.\left( 2k+3 \right)\]

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {2^{k + 2}} > 4k + 6\\ \Leftrightarrow {2^{k + 2}} > 2\left( {k + 1} \right) + 3 + 2k + 1\left( * \right) \end{array}\)

Vì \[k\ge 2\] nên \[2k+1\ge 5\]

\[\left( * \right)\Leftrightarrow {{2}^{k+2}}>2\left( k+1 \right)+3+5>2\left( k+1 \right)+3\]

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 4. (SGK Đại số 11 trang 83)

a)

\(\begin{array}{l} {S_1}_` = \frac{1}{{2.1}} = \frac{1}{2}\\ {S_2} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} = \frac{2}{3}\\ {S_3} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} = \frac{3}{4} \end{array}\)

b)

Dự đoán \[{{S}_{n}}=\frac{n}{n+1}\]

Với \[n=1\] ta có \[{{S}_{1}}=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\] ( luôn đúng)

Giả sử đẳng thức đúng với \[n=k\ge 1\] tức là \[{{S}_{k}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{k\left( k+1 \right)}=\frac{k}{k+1}\]

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với \[n=k+1\] tức là :

\[{{S}_{k+1}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}=\frac{k+1}{k+2}\]

Thật vậy \[{{S}_{k+1}}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}\]

\(\begin{array}{l} = {S_k} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\\ = \frac{k}{{k + 1}} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\\ = \frac{{k\left( {k + 2} \right) + 1}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{{k + 1}}{{k + 2}} \end{array}\)

Bài 5. (SGK Đại số 11 trang 83)

+ Với \[n=4\] ta có tứ giác có hai đường chéo hay \[\frac{4\left( 4-3 \right)}{2}=2\] đường chéo.

Vậy khẳng định đúng với \[n=4\] .

+ Giả sử khẳng định đúng với \[n=k\ge 4\] , tức là :

Số đường chéo của đa giác \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{k}}\] có k cạnh là \[\frac{k\left( k-3 \right)}{2}\]

Ta cần chứng minh khẳng định đúng với \[n=k+1\] , tức là

Đa giác \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{k+1}}\] có \[k+1\] cạnh có số đường chéo là \[\frac{\left( k+1 \right)\left[ \left( k+1 \right)-3 \right]}{2}\]

Nối \[{{A}_{1}}{{A}_{k}}\] , ta có đa giác \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{k}}\] có số đường chéo là \[\frac{k\left( k-3 \right)}{2}\] .

Nối \[{{A}_{k+1}}\] với các điểm \[{{A}_{2}},{{A}_{3}},...,{{A}_{k-1}}\] ta được \[k-2\] đường chéo và \[{{A}_{1}}{{A}_{k}}\] là đường chéo

\[\Rightarrow \] Tổng số đường chéo của đa giác \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{k+1}}\] là :

\(\begin{array}{l} \frac{{k\left( {k - 3} \right)}}{2} + \left( {k - 2} \right) + 1\\ = \frac{{{k^2} - k - 2}}{2}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k - 2} \right)}}{2}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 1} \right) - 3} \right]}}{2} \end{array}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa phương pháp quy nạp toán học lớp 11, toán 11 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất.

Đánh giá (242)
ican
  • Một thương hiệu của 
    ICAN
  • ICAN
  • ICAN © 2023, All Rights Reserved.

  • Trụ sở Hồ Chí Minh: B0003 C/C Sarina, Khu đô thị Sala, Khu phố 3, Đường Hoàng Thế Thiện, Phường An Lợi Đông, TP. Thủ Đức

  • Văn phòng Hà Nội: Tòa nhà 25T2 Đường Hoàng Đạo Thúy, Phường Trung Hòa, Quận Cầu Giấy