Ôn tập chương 5. Thống kê

ÔN TẬP CHƯƠNG V. THỐNG KÊ

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT

1. Giả sử dãy n số liệu thống kê đã cho có k giá trị khác nhau ( \[ k\le n \] ). Gọi \[ {{x}_{i}} \] là một giá trị bất kì trong k giá trị đó. Ta có:

Số lần suất hiện giá trị \[ {{x}_{i}} \] trong dãy số liệu đã cho được gọi là tần số của giá trị đó, kí hiệu là \[ {{n}_{i}} \] .

Số \[{{f}_{i}}=\frac{{{n}_{i}}}{n}\]được gọi là tần suất của giá trị \[ {{x}_{i}} \] 

2. Giả sử dãy n số liệu thống kê đã cho được phân bố vào k lớp (k

Số \[ {{n}_{i}} \] các số liệu thống kê thuộc lớp i được gọi là tần số của lớp đó.

Số \[{{f}_{i}}=\frac{{{n}_{i}}}{n}\]được gọi là tần suất của lớp thứ i.

Chú ý: Trong bảng phân bố tần suất, tần suất được tính ở dưới dạng tỉ số phần trăm.

2. BIỂU ĐỒ

1. Biểu đồ tần suất hình cột:

Cách vẽ:

• Vẽ hai đường thẳng vuông góc. Trên đường thẳng nằm ngang (dùng làm trục số) ta đánh dáu các khoảng xác định lớp.

• Tại mỗi khoảng ta dựng lên một hình cột chữ nhật, với đáy là khoảng đó, còn chiều cao bằng tần suất của lớp mà khoảng đó xác định

2. Đường gấp khúc tần suất

Cách vẽ: Ta vẽ hai đường thẳng vuông góc ( như hình vễ biểu đồ hình cột). Trên mặt phẳng tọa độ xác định các điểm (ci+1; fi+1), i = 1, 2, 3,…, n sau đó vẽ các đoạn thẳng nối các điểm (ci, fi) với các điểm (ci+1; fi+1), i = 1, 2, 3,…, n ta thu được một đường gấp khúc. Đường gấp khúc này gọi là đường gấp khúc tần suất.

3. Biểu đồ hình quạt:

Cách vẽ: vẽ hình tròn, chia hình tròn thành những hình quạt, mỗi lớp tương ứng với một hình quạt mà diện tích của nó tỉ lệ với tần suất của lớp đó.

3. SỐ TRUNG BÌNH CỘNG. SỐ TRUNG VỊ. MỐT

1. Số trung bình cộng : Kí hiệu: \[ \overline{X} \] 

rung bình cộng của các số liệu thống kê được tính theo công thức:

\[ \overline{\text{x}}=\frac{1}{\text{n}}\left( {{\text{n}}_{1}}{{\text{x}}_{1}}+{{\text{n}}_{2}}{{\text{x}}_{2}}+\ldots +{{\text{n}}_{\text{k}}}{{\text{x}}_{\text{k}}} \right)={{\text{f}}_{1}}{{\text{x}}_{1}}+{{\text{f}}_{2}}{{\text{x}}_{2}}+\ldots +{{\text{f}}_{\text{k}}}{{\text{x}}_{\text{k}}} \] (1)

Trường hợp Bảng phân bố tần suất và tần số ghép lớp:

\[\overline{\text{x}}=\frac{1}{\text{n}}\left( {{\text{n}}_{1}}{{\text{c}}_{1}}+{{\text{n}}_{2}}{{\text{c}}_{2}}+\ldots +{{\text{n}}_{\text{k}}}{{\text{c}}_{\text{k}}} \right)={{\text{f}}_{1}}{{\text{c}}_{1}}+{{\text{f}}_{2}}{{\text{c}}_{2}}+\ldots +{{\text{f}}_{\text{k}}}{{\text{c}}_{\text{k}}}\] (2)

ci, fi, ni là giá trị đại diện của lớp thứ i.

Ý nghĩa của số trung bình:

Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu. Nó là một số đặc trưng quan trọng của mẫu số liệu.

2. Số trung vị:Kí hiệu: Me

Khi các số liệu trong mẫu có sự chênh lệnh rất lớn đối với nhau thì số trung bình khó có thể đại diện cho các số liệu trong mẫu. Có một chỉ số khác thích hợp hơn trong trường hợp này. Đó là số trung vị.

Định nghĩa: Giả sử ta có dãy n số liệu được sắp xếp thành dãy không giảm (hoặc không tăng). Khi đó, số trung vị (của các số liệu thống kê đã cho) kí hiệu là Me là :

+ Số đứng giữa dãy nếu số phần tử N lẻ: \[ {{\text{M}}_{e}}={{x}_{\frac{N}{2}+1}} \] 

+ Trung bình cộng của hai số đứng giữa dãy nếu số phần tử N chẵn:

\[ {{M}_{e}}=\frac{1}{2}\left( {{x}_{\frac{N}{2}}}+{{x}_{\frac{N}{2}+1}} \right) \] 

3. Mốt: Kí hiệu: Mo

Mốt của bảng phân bố tần số là giá trị (xi) có tần số (ni ) lớn nhất và được kí hiệu là Mo.

Chú ý: Có hai giá trị tần số bằng nhau và lớn hơn tần số các giá trị khác thì ta nói trường hợp này có hai Mốt, kí hiệu Mo1,Mo2 .

4. Chọn đại diện cho các số liệu thống kê:

a) Trường hợp các số liệu thông kê cùng loại và số lượng thống kê đủ lớn (n ≥ 30) thì ta ưu tiên chọn số trung bình làm đại diện cho các số liệu thống kê ( về quy mô và độ lớn).

b) Trường hợp không tính được giá trị trung bình thì ta chọn số trung vị hoặc mốt làm đại diện cho các số liệu thống kê ( về quy mô và độ lớn).

c) Không nên dùng số trung bình để đại diện cho các số liệu thống kê trong các trường hợp sau (có thể dùng số trung vị hoặc mốt):

+ Số các số liệu thống kê quá ít (n ≤ 10).

+ Giữa các số liệu thống kê có sự chênh lệc quá lớn.

+ Đường gấp khúc tần suất không đối xứng, (và nhiều trường hợp khác)

4. PHƯƠNG SAI. ĐỘ LỆCH CHUẨN

1. Phương sai: Kí hiệu \[ \text{s}_{\text{x}}^{2} \] 

Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất

\(\mathrm{s}_{\mathrm{x}}^{2}=\frac{1}{n}\left[\mathrm{n}_{1}\left(\mathrm{x}_{1}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}+\mathrm{n}_{2}\left(\mathrm{x}_{2}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}+\ldots+\mathrm{n}_{\mathrm{k}}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{k}}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}\right] \)

\(=\mathrm{f}_{1}\left(\mathrm{x}_{1}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}+\mathrm{f}_{2}\left(\mathrm{x}_{2}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}+\ldots+\mathrm{f}_{\mathrm{k}}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{k}}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}\)

Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp

\(\mathrm{s}_{\mathrm{x}}^{2}=\frac{1}{n}\left[\mathrm{n}_{1}\left(\mathrm{c}_{1}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}+\mathrm{n}_{2}\left(\mathrm{c}_{2}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}+\ldots+\mathrm{n}_{\mathrm{k}}\left(\mathrm{c}_{\mathrm{k}}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}\right]\)

\(=\mathrm{f}_{1}\left(\mathrm{c}_{1}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}+\mathrm{f}_{2}\left(\mathrm{c}_{2}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}+\ldots+\mathrm{f}_{\mathrm{k}}\left(\mathrm{c}_{\mathrm{k}}-\overline{\mathrm{x}}\right)^{2}\)

Trong đó lần lượt là tần số, tần suất, giái trị đại diện của lớp thứ i; n là số các số liệu thống kê; là số trung bình cộng của các số liệu thống kê đã cho

Chú ý: Có thể tính theo công thức sau: \[ s_{k}^{2}=\overline{{{x}^{2}}}-{{(\bar{x})}^{2}} \] .

Trong đó

\[ \overline{{{\text{x}}^{2}}}=\frac{1}{n}\left[ {{\text{n}}_{1}}\text{x}_{1}^{2}+{{\text{n}}_{2}}\text{x}_{2}^{2}+\ldots +{{\text{n}}_{\text{k}}}\text{x}_{\text{k}}^{2} \right]={{\text{f}}_{1}}\text{x}_{1}^{2}+{{\text{f}}_{2}}\text{x}_{2}^{2}+\ldots +{{\text{f}}_{\text{k}}}\text{x}_{\text{k}}^{2} \] 

(đối với bảng phân bố tần số, tần suất)

hoặc

\[ \overline{{{\text{x}}^{2}}}=\frac{1}{n}\left[ {{\text{n}}_{1}}\text{c}_{1}^{2}+{{\text{n}}_{2}}\text{c}_{2}^{2}+\ldots +{{\text{n}}_{\text{k}}}\text{c}_{\text{k}}^{2} \right]={{\text{f}}_{1}}\text{c}_{1}^{2}+{{\text{f}}_{2}}\text{c}_{2}^{2}+\ldots +{{\text{f}}_{\text{k}}}\text{c}_{\text{k}}^{2} \] 

(đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp)

Ý nghĩa phương sai

Phương sai được sử dụng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình).

Khi hai dãy số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có số trung bình bằng nhau hoặc xấp xỉ nhau, dãy có phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với số trung bình) của các số liệu thống kê càng bé.

2. Độ lệch chuẩn:

Khi chú ý đơn vị đo ta thấy phương sai sx2 có đơn vị đo là bình phương của đơn vị đo được nghiên cứu ( đơn vị đo nghiên cứu là cm thì sx2 là cm2), để tránh tình trạng này ta dùng căn bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn.

Độ lệch chuẩn, kí hiệu là sx

\[ {{\text{S}}_{\text{x}}}=\sqrt{\text{s}_{\text{x}}^{2}} \] 

Ý nghĩa độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn cũng dùng đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình). Khi cần chú ý đến đơn vị đo ta dùng độ lệch chuẩn để đánh giá vì độ lệch chuẩn có cùng đơn vị đó với dấu hiệu X được nghiên cứu.

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Lập bảng phân bố tần số, tần suất và bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp.

Phương pháp: Dựa vào dữ kiện đề bài, lập bảng phân bố tần số, tần suất theo công thức đã tóm tắt ở phần lý thuyết.

Dạng 2. Vẽ biểu đồ.

Phương pháp: Đã nêu các dạng biểu đồ ở phần tóm tắt lý thuyết.

Dạng 3. Tính trung bình cộng, trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn.

Phương pháp: Sau khi có bảng phân bố tần số, tần suất, sử dụng công thức tính đã nêu ở phần tóm tắt lý thuyết để giải bài toán.

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1 (trang 128 SGK Đại Số 10):

Lời giải

a) Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp

Bước 1: Chia số liệu thành các lớp thích hợp hoặc theo yêu cầu.

Bước 2: Tìm tần số của mỗi lớp. (Đếm xem trong dãy số liệu có bao nhiêu số thuộc mỗi lớp).

Bước 3: Tính tần suất của mỗi lớp (lấy tần số chia cho tổng các số liệu).

b) Lập bảng phân bố tần số ghép lớp

Bước 1: Chia số liệu thành các lớp thích hợp hoặc theo yêu cầu.

Bước 2: Tìm tần số của mỗi lớp. (Đếm xem trong dãy số liệu có bao nhiêu số thuộc mỗi lớp).

Bài 2 (trang 129 SGK Đại Số 10):

Lời giải

Để tính được các số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn, trước hết ta cần lập bảng phân bố (tần số, tần suất, tần số ghép lớp hoặc tần suất ghép lớp).

* Đối với bảng phân bố tần số:

Số trung bình cộng:

\[ \bar{x}=\frac{1}{N}\cdot \left( {{x}_{1}}\cdot {{n}_{1}}+{{x}_{2}}\cdot {{n}_{2}}+{{x}_{3}},{{n}_{3}}+\ldots +{{x}_{k}},{{n}_{k}} \right) \] 

Phương sai:

\[{{s}^{2}}=\frac{1}{N}\cdot \left( {{n}_{1}}\cdot {{\left( {{x}_{1}}-\bar{x} \right)}^{2}}+{{n}_{2}}\cdot {{\left( {{x}_{2}}-\bar{x} \right)}^{2}}+{{n}_{3}}\cdot {{\left( {{x}_{3}}-\bar{x} \right)}^{2}}+\ldots +{{n}_{k}}\cdot {{\left( {{x}_{k}}-\bar{x} \right)}^{2}} \right)\]

Độ lệch chuẩn:

\[ s=\sqrt{{{s}^{2}}} \] 

* Đối với bảng phân bố tần suất:

Số trung bình cộng:

\[ \bar{x}={{x}_{1}}\cdot {{f}_{1}}+{{x}_{2}}\cdot {{f}_{2}}+{{x}_{3}}\cdot {{f}_{3}}+\ldots +{{x}_{k}}\cdot {{f}_{k}} \] 

Phương sai:

\[ {{s}^{2}}={{f}_{1}}\cdot {{\left( {{x}_{1}}-\bar{x} \right)}^{2}}+{{f}_{2}}\cdot {{\left( {{x}_{2}}-\bar{x} \right)}^{2}}+{{f}_{3}}\cdot {{\left( {{x}_{3}}-\bar{x} \right)}^{2}}+\ldots +{{f}_{k}}\cdot {{\left( {{x}_{k}}-\bar{x} \right)}^{2}} \] 

Độ lệch chuẩn:

\[ s=\sqrt{{{s}^{2}}} \] 

* Đối với bảng phân bố tần số ghép lớp:

Số trung bình cộng:

\[ \bar{x}=\frac{1}{N}\cdot \left( {{c}_{1}}\cdot {{n}_{1}}+{{c}_{2}}\cdot {{n}_{2}}+{{c}_{3}}{{n}_{3}}+\ldots +{{c}_{k}}\cdot {{n}_{k}} \right) \] 

Phương sai:

\[ {{s}^{2}}=\frac{1}{N}\cdot \left( {{n}_{1}}\cdot {{\left( {{c}_{1}}-\bar{x} \right)}^{2}}+{{n}_{2}}\cdot {{\left( {{c}_{2}}-\bar{x} \right)}^{2}}+{{n}_{3}}\cdot {{\left( {{c}_{3}}-\bar{x} \right)}^{2}}+\ldots +{{n}_{k}}\cdot {{\left( {{c}_{k}}-\bar{x} \right)}^{2}} \right) \] 

Độ lệch chuẩn:

\[ s=\sqrt{{{s}^{2}}} \] 

* Đối với bảng phân bố tần suất ghép lớp:

Số trung bình cộng:

\[ x={{c}_{1}}\cdot {{f}_{1}}+{{c}_{2}}\cdot {{f}_{2}}+{{c}_{3}}\cdot {{f}_{3}}+\ldots +{{c}_{k}}\cdot {{f}_{k}} \] 

Phương sai:

\[ {{s}^{2}}={{f}_{1}}\cdot {{\left( {{c}_{1}}-\bar{x} \right)}^{2}}+{{f}_{2}}\cdot {{\left( {{c}_{2}}-\bar{x} \right)}^{2}}+{{f}_{3}}\cdot {{\left( {{c}_{3}}-\bar{x} \right)}^{2}}+\ldots +{{f}_{k}}\cdot {{\left( {{c}_{k}}-\bar{x} \right)}^{2}} \] 

Độ lệch chuẩn:

\[ s=\sqrt{{{s}^{2}}} \] 

* Để tìm số trung vị (Me) ta sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự nhỏ dần (hoặc lớn dần) rồi lấy số chính giữa (nếu số lượng số liệu lẻ) hoặc trung bình cộng của hai số ở giữa (nếu số lượng số liệu chẵn)

* Để tìm mốt của dãy số liệu, ta xem xét xem số nào có tần số lớn nhất thì số liệu đó là mốt của dãy.

Bài 3 (trang 129 SGK Đại Số 10):

Lời giải

a) Bảng phân bố tần số và tần suất:

b) Nhận xét: Hầu hết các gia đình có từ 1 đến 3 con.

Số gia đình có 2 con là nhiều nhất.

c) Số trung bình cộng:

\[ \bar{x}=\frac{0.8+13.1+19.2+13.3+6.4}{59}=1,93 \] 

Mốt: M0 = 2 (có tần số lớn nhất bằng 19).

Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm:

0; 0; 0; …; 0; 1; 1; ….; 1; 2; 2; …; 2; 3; 3; …; 3; 4; 4; …; 4

Có 59 số liệu nên số trung vị là số thứ 30 trong dãy trên.

Số thứ 30 là 2 nên số trung vị Me = 2.

Bài 4 (trang 129 SGK Đại Số 10):

Lời giải

a) Bảng phân bố tần số và tần suất:

b) Bảng phân bố tần số và tần suất:

c) Biểu đồ tần suất hình cột:

- Đường gấp khúc tần suất

d) Biểu đồ tần số

- Đường gấp khúc tần số

e) * Xét bảng phân bố ở câu a)

- Số trung bình:

\[ \overline{{{x}_{1}}}=\frac{1.632,5+2.637,5+3.642,5+6.647,5+12.652,5}{24}\approx 648 \] 

- Phương sai:

\(s_{1}^{2}=\frac{1}{24} \cdot\left[\begin{array}{l}1 .(632,5-648)^{2}+2 .(637,5-648)^{2}+3 .(642,5-648)^{2} \\ +6 .(647,5-648)^{2}+12 .(652,5-648)^{2}\end{array}\right] \approx 33,167\)

- Độ lệch chuẩn:

\[ {{s}_{1}}=\sqrt{s_{1}^{2}}=\sqrt{33,167}\approx 5,76 \] 

* Xét bảng phân bố ở câu b):

- Số trung bình:

\[ \overline{{{x}_{2}}}=\frac{5.640+9.644+1.648+12.652}{27}\approx 647 \] 

- Phương sai:

\(s_{2}^{2}=\frac{1}{27} \cdot\left[\begin{array}{l}5(640-647)^{2}+9 .(644-647)^{2} \\ +1 .(648-647)^{2}+12 .(652-647)^{2}\end{array}\right] \approx 23,2\)

- Độ lệch chuẩn:

\[ {{s}_{2}}=\sqrt{s_{2}^{2}}=\sqrt{23,2}\approx 4,82 \] 

Nhận thấy s2 < s1 nên nhóm cá thứ hai có khối lượng đồng đều hơn.

Bài 5 (trang 130 SGK Đại Số 10):

Lời giải

- Mức lương bình quân của các cán bộ và nhân viên công ty là số trung bình của bảng lương:

- Số trung bình:

\( \begin{align} & \bar{x}=\frac{1}{12}.(20910+21410+20350+76000+20110+21130 \\ & +20350+21410+20960+20060+21360+125000)=34087,5 \\ \end{align} \)

Sắp xếp các số liệu theo dãy tăng dần:

20060; 20110; 20350; 20350; 20910; 20960; 21130; 21360; 21410; 21410; 76000; 125000.

Số trung vị: Me = (20960 + 21130)/2 = 21045.

Ý nghĩa: Số trung vị đại diện cho mức lương trung bình của nhân viên (vì trong trường hợp này chênh lệch giữa các số liệu quá lớn nên không thể lấy mức lương bình quân làm giá trị đại diện).

Bài 6 (trang 130 SGK Đại Số 10):

Lời giải

a) Ta có x1 = 1 có tần số n1 = 2100 (lớn nhất)

⇒ Mốt của bảng phân bố đã cho là: Mo = 1

b) Trong sản xuất, nhà máy nên ưu tiên cho mẫu số 1.

Bài tập trắc nghiệm

Bài 7 (trang 130 SGK Đại Số 10):

Lời giải

Chọn đáp án (C).

Giải thích:

Ta có: x2 = 3 có tần số n2 = 15 là lớn nhất

Do đó mốt của bảng số liệu là 3 (triệu đồng).

Bài 8 (trang 131 SGK Đại Số 10):

Lời giải

Chọn B

Giải thích :

Sắp xếp các tuổi trên thành dãy không giảm :

18, 18, …, 18, 19, 19, …., 19, 20, 20, …, 20, 21, 21, …., 21, 22, 22, …, 22.

Dãy trên có 169 số nên số trung vị là số thứ 85 trong dãy trên.

Số thứ 85 trong dãy là 20.

Bài 9 (trang 131 SGK Đại Số 10):

Lời giải

Chọn (C) vì:

\[ \bar{x}=\frac{21+23+24+25+22+20}{6}=22,5 \] 

Bài 10 (trang 131 SGK Đại Số 10):

Lời giải

Chọn (D)

- Số trung bình:

\[ \bar{x}=\frac{1+2+3+4+5+6+7}{7}=4 \] 

- Phương sai:

\({{s}^{2}}=\frac{1}{7}\cdot \left( \begin{array}{*{35}{l}} {{(1-4)}^{2}}+{{(2-4)}^{2}}+{{(3-4)}^{2}} \\ +{{(4-4)}^{2}}+{{(5-4)}^{2}} \\ +{{(6-4)}^{2}}+{{(7-4)}^{2}} \\ \end{array} \right)=\frac{9+4+1+0+1+4+9}{7}=4\text{ } \)

Bài 11 (trang 131 SGK Đại Số 10):

Lời giải

Chọn (A)

Giải thích:

Tổng khối lượng nhóm thứ nhất: 50.10 = 500 (kg)

Tổng khối lượng nhóm thứ hai: 38.15 = 570 (kg)

Tổng khối lượng nhóm thứ ba: 40.25 = 1000 (kg)

Tổng khối lượng cả ba nhóm : 500 + 570 + 1000 = 2070 (kg)

Tổng số người cả ba nhóm: 10 + 15 + 25 = 50

Khối lượng trung bình của cả ba nhóm học sinh: 2070 : 50 = 41,4 (kg)

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa ôn tập chương 5 toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất