Ôn tập chương 3 đại số

ÔN TẬP CHƯƠNG 3

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối.

2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.

3. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x , y có dạng tổng quát là

ax + by = c (1)

trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0.

CHÚ Ý

a) Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x + 0y = c. Nếu c ≠ 0 thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu c = 0 thì mọi cặp số (xo; yo) đều là nghiệm.

b) Khi b ≠ 0, phương trình ax + by = c trở thành

\[ y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b} \] (2)

Cặp số (xo; yo) là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểmM(xo; yo) thuộc đường thẳng (2).

Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình của phương trình (1) là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

4. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y={{c}_{1}}  \\    {{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y={{c}_{2}}  \\ \end{array} \right. \) (3)

Trong đó x, y là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số.

Nếu cặp số (x0; y0) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì (x0; y0) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (3).

Giải hệ phương trình (3) là tìm tập nghiệm của nó.

5. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

ax + by + cz = d,

trong đó x, y, z là ba ẩn a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0.

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{\text{a}}_{1}}\text{x}+{{\text{b}}_{1}}\text{y}+{{\text{c}}_{1}}\text{z}={{\text{d}}_{1}}  \\    {{\text{a}}_{2}}\text{x}+{{\text{b}}_{2}}\text{y}+{{\text{c}}_{2}}\text{z}={{\text{d}}_{2}}  \\    {{\text{a}}_{3}}\text{x}+{{\text{b}}_{3}}\text{y}+{{\text{c}}_{3}}\text{Z}={{\text{d}}_{3}}  \\ \end{array} \right. \) (4)

Trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số.

Mỗi bộ ba số (xo; yo; zo) nghiệm đúng ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (4).

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm tập xác định của phương trình

Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f(x), g(x) cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài).

- Điều kiện để biểu thức

+ \[ \sqrt{(f(x))} \] xác định là f(x) ≥ 0

+ \[\frac{1}{f(x)}\]xác định là f(x) ≠ 0

+ \[\frac{1}{\sqrt{f(x)}}\]xác định là f(x) > 0

Dạng 2: Giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương

+ Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho.

+ Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.

+ Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.

Bình phương hai vế của phương trình (hai vế luôn cùng dấu) ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.

Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc nhất

Dạng 4: Giải và biện luận phương trình bậc hai

Giải và biện luận phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0

Bước 1. Biến đổi phương trình về đúng dạng ax2 + bx + c = 0

Bước 2. Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét 2 trường hợp:

- Trường hợp 1: a = 0, ta giải và biện luận ax + b = 0.

- Trường hợp 2: a ≠ 0. Ta lập Δ = b2 - 4ac. Khi đó:

+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt \[ {{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a} \]

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có 1 nghiệm (kép): x = -b/2a

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Bước 3. Kết luận.

Dạng 5: Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu giá trị tuyệt đối, bằng cách:

– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.

– Bình phương hai vế.

– Đặt ẩn phụ.

Dạng 6: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường

- Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không)

- Đặt ẩn phụ

Dạng 7: Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:

– Nâng luỹ thừa hai vế.

– Phân tích thành tích.

– Đặt ẩn phụ.

Dạng 8: Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0, (a ≠ 0) (*)

- Đặt t = x2 ≥ 0 thì (*) ⇔ at2 + bt + c = 0 .

Một số dạng phương trình bậc bốn quy về bậc hai

Loại 1. ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 với e/a =(d/b)2 ≠ 0

Phương pháp giải: Chia hai vế cho x2 ≠ 0, rồi đặt t = x + α/x ⇒ t2 = (x + α/x)2 với α = d/b

Loại 2. (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e với a + c = b + d

Phương pháp giải: [(x+a)(x+c)]⋅[(x+b)(x+d)] = e

⇔ [x2 + (a+c)x + ac]⋅[x2 + (b+d)x + bd] = e và đặt t = x2 + (a+c)x

Loại 3. (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = ex2 với a.b = c.d

Phương pháp giải: Đặt t = x2 + ab + ((a+b+c+d)/2)x thì phương trình

⇔ (t + ((a+b-c-d)/2)x)(t - ((a+b-c-d)/2)x) = ex2 (có dạng đẳng cấp)

Loại 4. (x+a)4 + (x+b)4 = c

Phương pháp giải: Đặt x = t-(a+b)/2 ⇒ (t + α)4 + (t - α)4 = c với α = (a-b)/2

Dạng 9: Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y={{c}_{1}}  \\    {{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y={{c}_{2}}  \\ \end{array} \right. \) (1)

Kí hiệu:

\(D=\left| \begin{array}{*{35}{l}} {{a}_{1}} & {{b}_{1}}  \\    {{a}_{2}} & {{b}_{2}}  \\ \end{array} \right|={{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}} \) ; \({{D}_{x}}=\left| \begin{array}{*{35}{l}}   {{c}_{1}} & {{b}_{1}}  \\    {{c}_{2}} & {{b}_{2}}  \\ \end{array} \right|={{c}_{1}}{{b}_{2}}-{{c}_{2}}{{b}_{1}};{{D}_{y}}=\left| \begin{array}{*{35}{l}}    {{a}_{1}} & {{c}_{1}}  \\    {{a}_{2}} & {{c}_{2}}  \\ \end{array} \right|={{a}_{1}}{{c}_{2}}-{{a}_{2}}{{c}_{1}} \)

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1 (trang 70 SGK Đại số 10):

Khi nào hai phương trình được gọi là tương đương ? Cho ví dụ.

Lời giải:

- Hai phương trình có cùng tập nghiệm thì tương đương nhau.

- Ví dụ hai phương trình:

x2 - 3x + 2 = 0 và (x - 1)(x - 2)(x2 + x + 1) = 0

là hai phương trình tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm là {1, 2}.

Bài 2 (trang 70 SGK Đại số 10):

Thế nào là phương trình hệ quả ? Cho ví dụ.

Lời giải:

Phương trình (a) có tập nghiệm là S1

Phương trình (b) có tập nghiệm là S2

Nếu S1 ⊂ S2 thì ta nói (b) là phương trình hệ quả của phương trình (a), kí hiệu: (a) ⇒ (b)

Ví dụ : Phương trình x + 1 = 0 có tập nghiệm là S1 = {–1}

phương trình x2 – x – 2 = 0 có tập nghiệm là S2 = {–1; 2}

Ta có: S1 ⊂ S2 nên phương trình x2 – x – 2 = 0 là phương trình hệ quả của phương trình x + 1 = 0, kí hiệu:

x + 1 = 0 ⇒ x2 – x – 2 = 0.

Bài 3 (trang 70 SGK Đại số 10):

Lời giải:

a) Điều kiện: x - 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5

\[ \sqrt{x-5}+x=\sqrt{x-5}+6 \] 

⇔ x = 6 (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy phương trình có nghiệm là: x = 6

b) Điều kiện xác định:

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  1-x\ge 0  \\    x-1\ge 0  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    x\le 1  \\    x\ge 1  \\ \end{array}\Leftrightarrow x=1 \right. \right. \)

Xét x = 1: VT (2) = 1; VP (2) = 2.

Vậy x = 1 không phải nghiệm của (2) nên phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

c)

Điều kiện xác định: x – 2 > 0 ⇔ x > 2.

Khi đó (3) \[ \Leftrightarrow {{x}^{2}}=8\Leftrightarrow x=-2\sqrt{2} \] (không t/m đkxđ)

hoặc \[ x=2\sqrt{2} \] (t/m đkxđ)

Vậy phương trình có nghiệm là: x = 2√2.

d) Điều kiện xác định:

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  2-x\ge 0  \\    x-3\ge 0  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    x\le 2  \\    x\ge 3  \\ \end{array}\Leftrightarrow x\in \varnothing  \right. \right. \)

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 4 (trang 70 SGK Đại số 10):

Lời giải:

a) \[ \frac{3x+4}{x-2}-\frac{1}{x+2}=\frac{4}{{{x}^{2}}-4}+3 \] (1)

ĐKXĐ: \[ x\ne 2 \] và \[x\ne -2\].

Quy đồng và bỏ mẫu chung ta được:

Phương trình (1) ⇔ (3x + 4)(x + 2) – (x – 2) = 4 + 3(x2 – 4)

⇔ 3x2 + 6x + 4x + 8 – x + 2 = 4 + 3x2 – 12

⇔ 9x = –18

⇔ x = –2 (không thỏa mãn đkxđ)

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) \[ \frac{3{{x}^{2}}-2x+3}{2x-1}=\frac{3x-5}{2} \] (2)

Điều kiện xác định: 2x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1/2.

Quy đồng và bỏ mẫu chung ta được:

Phương trình (2) ⇔ 2(3x2 – 2x + 3) = (2x – 1)(3x – 5)

⇔ 6x2 – 4x + 6 = 6x2 – 10x – 3x + 5

⇔ 9x = –1

⇔ x = –1/9 (thỏa mãn đkxđ)

Vậy phương trình có nghiệm là x = –1/9.

c) \[ \sqrt{{{x}^{2}}-4}=x-1 \] (3)

Điều kiện xác định x2 - 4 ≥ 0

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

(3) ⇒ x2 – 4 = (x – 1)2

⇔ x2 – 4 = x2 – 2x + 1

⇔ 2x = 5 ⇔ x = 5/2 (thỏa mãn điều kiện xác định).

Thử lại thấy x = 5/2 là nghiệm của phương trình (3).

Vậy phương trình có nghiệm là x = 5/2.

Bài 5 (trang 70 SGK Đại số 10):

Lời giải:

a) \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  -2x+5y=9  \\    4x+2y=11  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    -4x+10y=18  \\    4x+2y=11  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    12y=29  \\    4x+2y=11  \\ \end{array} \right. \right. \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  y=\frac{29}{12}  \\    4x+2\cdot \frac{29}{12}=11  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    y=\frac{29}{12}  \\    x=11-\frac{29}{6}  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    y=\frac{29}{12}  \\    x=\frac{37}{24}  \\ \end{array} \right. \right. \right. \)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:

\[ (x;y)=\left( \frac{37}{24};\frac{29}{12} \right) \] 

b) \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 3x+4y=12  \\    5x-2y=7  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    3x+4y=12  \\    10x-4y=14  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    3x+4y=12  \\    13x=26  \\ \end{array} \right. \right. \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   3.2+4y=12  \\    x=2  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    y=\frac{3}{2}  \\    x=2  \\ \end{array} \right. \right. \)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:

\[ (\text{x};\text{y})=\left( 2;\frac{3}{2} \right) \] 

c) \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   2x-3y=5  \\    3x+2y=8  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    4x-6y=10  \\    9x+6y=24  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    4x-6y=10  \\    13x=34  \\ \end{array} \right. \right. \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   4\cdot \frac{34}{13}-6y=10  \\    x=\frac{34}{13}  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    6y=\frac{136}{13}-10  \\    x=\frac{34}{13}  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    y=\frac{1}{13}  \\    x=\frac{34}{13}  \\ \end{array} \right. \right. \right. \)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: \[ (\text{x};\text{y})=\left( \frac{34}{13};\frac{1}{13} \right) \] 

d) \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  5x+3y=15  \\    4x-5y=6  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    25x+15y=75  \\    12x-15y=18  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    37x=93  \\    12x-15y=18  \\ \end{array} \right. \right. \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x=\frac{93}{37}  \\    4x-5y=6  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    x=\frac{93}{37}  \\    4\cdot \frac{93}{37}-5y=6  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    x=\frac{93}{37}  \\    5y=\frac{372}{37}-6  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    x=\frac{93}{37}  \\    y=\frac{30}{37}  \\ \end{array} \right. \right. \right. \right. \)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:

\[ (\text{x};\text{y})=\left( \frac{93}{37};\frac{30}{37} \right) \] 

Bài 6 (trang 70 SGK Đại số 10):

Lời giải:

Gọi t1 (giờ) là thời gian người thứ nhất sơn xong bức tường,

t2 (giờ) là thời gian người thứ hai sơn xong bức tường.

(Điều kiện: t1 > 0; t2 > 0)

+ Trong một giờ:

Người thứ nhất sơn được \[ \frac{1}{{{t}_{1}}} \] bức tường

Người thứ hai sơn được \[ \frac{1}{{{t}_{2}}} \] bức tường

+ Người thứ nhất làm trong 7 giờ và người thứ hai làm trong 4 giờ thì họ sơn được 5/9 bức tường nên ta có: \[ 7.\frac{1}{{{\text{t}}_{1}}}+4\cdot \frac{1}{{{\text{t}}_{2}}}=\frac{5}{9} \] 

+ Sau đó họ cùng làm việc với nhau trong 4 giờ nữa, nghĩa là người thứ nhất làm trong 7 + 4 = 11 giờ và người thứ hai làm trong 4 + 4 = 8 giờ.

Khi đó họ còn 1/18 bức tường chưa sơn nghĩa là họ đã sơn được 17/18 bức tường.

Ta có phương trình \[ 11\cdot \frac{1}{{{t}_{1}}}+8\cdot \frac{1}{{{t}_{2}}}=\frac{17}{18} \] 

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   7.\frac{1}{{{t}_{1}}}+4\cdot \frac{1}{{{t}_{2}}}=\frac{5}{9}  \\    11\cdot \frac{1}{{{t}_{1}}}+8\cdot \frac{1}{{{t}_{2}}}=\frac{17}{18}  \\ \end{array} \right. \)

Đặt \[ \frac{1}{{{t}_{1}}}=x;\frac{1}{{{t}_{2}}}=y \] , khi đó hệ phương trình trở thành \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   7x+4y=\frac{5}{9}  \\    11x+8y=\frac{17}{18}  \\ \end{array} \right. \)

Giải hệ phương trình trên ta được \[ \text{x}=\frac{1}{18};\text{y}=\frac{1}{24}\Rightarrow {{\text{t}}_{1}}=\frac{1}{\text{x}}=18;{{\text{t}}_{2}}=\frac{1}{\text{y}}=24 \] 

Vậy nếu mỗi người làm riêng thì người thứ nhất sơn xong bức tường trong 18 giờ, người thứ hai sơn xong bức tường trong 24 giờ.

Bài 7 (trang 70 SGK Đại số 10):

Lời giải:

a)

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x-3y+z=-7\,\,\,\,\,\,(1)  \\    -4x+5y+3z=6\,\,\,(2)  \\    x+2y-2z=5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)  \\ \end{array} \right. \)

Giải hpt trên ta được \[ (\text{x};\text{y};\text{z})=\left( \frac{-3}{5};\frac{3}{2};\frac{-13}{10} \right) \] 

Vậy hệ phương trình có nghiệm \[ (\text{x};\text{y};\text{z})=\left( \frac{-3}{5};\frac{3}{2};\frac{-13}{10} \right) \] 

b)

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+4y-2z=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)  \\    -2x+3y+z=-6\,\,\,\,(2)  \\    3x+8y-z=12\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)  \\ \end{array} \right.\)

Đưa hệ phương trình về dạng hệ tam giác bằng cách khử dần các ẩn.

Nhân phương trình (2) với 2 rồi cộng với phương trình (1) và cộng phương trình (2) với phương trình (3) ta được:

\(\left\{\begin{array}{l}x+4 y-2 z=1 \\ -3 x+10 y=-11 \\ x+11 y=6\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+4 y-2 z=1 \\ -3 x+10 y=-11 \\ 3 x+33 y=18\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+4 y-2 z=1 \\ x+11 y=6 \\ 43 y=7\end{array}\right.\right.\right.\)

Giải hệ phương trình trên ta được

\[ y=\frac{7}{43};x=6-11y=\frac{181}{43};z=\frac{x+4y-1}{2}=\frac{83}{43} \] 

Vậy hệ phương trình có nghiệm \[ (\text{x};\text{y};\text{z})=\left( \frac{181}{43};\frac{7}{43};\frac{83}{43} \right) \] 

Bài 8 (trang 71 SGK Đại số 10):

Lời giải:

Gọi các phân số cần tìm là x, y, z.

Tổng của ba phân số bằng 1 nên:

x + y + z = 1 (1)

Hiệu của phân số thứ nhất và thứ hai bằng phân số thứ ba nên:

x - y = z (2)

Tổng của phân số thứ nhất và thứ hai bằng 5 lần phân số thứ ba nên:

x + y = 5z (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x+y+z=1  \\    x-y=z  \\    x+y=5z  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    x+y+z=1  \\    x-y-z=0  \\    x+y-5z=0  \\ \end{array} \right. \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  2x=1  \\    x-y-z=0  \\    x+y-5z=0  \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    x=\frac{1}{2}  \\    y=\frac{1}{3}  \\    z=\frac{1}{6}  \\ \end{array} \right. \)

Vậy ba phân số cần tìm lần lượt là: \[ \frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{6} \] 

Bài 9 (trang 71 SGK Đại số 10):

Lời giải:

Gọi x (ngày) là số ngày dự định làm xong kế hoạch (x > 0).

Khi đó:

Số sản phẩm dự định làm trong một ngày là: 360/x (sản phẩm)

Thực tế, mỗi ngày làm thêm được 9 sản phẩm nên năng suất thực tế là: 360/x + 9 (sản phẩm / ngày)

Số ngày làm thực tế là: x – 1 (ngày)

Số sản phẩm làm được trong x – 1 ngày là: 360 + 360.5% = 378 sản phẩm.

Ta có phương trình:

\[ \left( \frac{360}{x}+9 \right)(x-1)=378\Leftrightarrow \frac{360+9x}{x}\cdot (x-1)=378\Leftrightarrow (360+9x)(x-1)=378x \] 

\[ \Leftrightarrow 9{{x}^{2}}+351x-360=378x\Leftrightarrow 9{{x}^{2}}-27x-360=0 \] 

⇔ x = 8 (thỏa mãn) hoặc x = –5 (loại)

Số ngày dự định là 8 ngày, năng suất thực tế là 360:8 + 9 = 54 sản phẩm/ngày

Vậy khi đến hạn, phân xưởng sẽ làm được 54.8 = 432 sản phẩm.

Bài 10 (trang 71 SGK Đại số 10):

Lời giải:

* Đối với máy tính CASIO fx–570 các loại

Chúng ta ấn MODE => 5 => 3 rồi nhập hệ số, các loại máy tính này sẽ cho kết quả chính xác.

a) \[{{\text{x}}_{1}}=\frac{3+\sqrt{149}}{10};{{\text{x}}_{2}}=\frac{3-\sqrt{149}}{10}\]

b) \[ {{\text{x}}_{1}}=\frac{-1}{3};{{\text{x}}_{2}}=-1 \] 

c) \[ {{\text{x}}_{1}}=-3+\sqrt{14};{{\text{x}}_{2}}=-3-\sqrt{14} \] 

d) \[ {{\text{x}}_{1}}=\frac{-\sqrt{2}}{2};{{\text{x}}_{2}}=-2\sqrt{2} \] 

Bài 11 (trang 71 SGK Đại số 10):

Lời giải:

a) |4x – 9| = 3 – 2x (1)

+ Xét 4x – 9 ≥ 0 ⇔ x ≥ 9/4, khi đó |4x – 9| = 4x – 9

(1) trở thành 4x – 9 = 3 – 2x ⇔ 6x = 12 ⇔ x = 2 < 9/4 (không thỏa mãn).

+ Xét 4x – 9 < 0 ⇔ x < 9/4, khi đó |4x – 9| = 9 – 4x

(1) trở thành 9 – 4x = 3 – 2x ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3 > 9/4 (không thỏa mãn).

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) |2x + 1| = |3x + 5|

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}  2x+1=3x+5  \\    2x+1=-3x-5  \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}    x=-4  \\    5x=-6  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}    x=-4  \\    x=\frac{-6}{5}  \\ \end{array} \right. \right. \)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là \[ \text{S}=\left\{ \frac{-6}{5};-4 \right\} \] 

Bài 12 (trang 71 SGK Đại số 10):

Lời giải:

Gọi chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật lần lượt là x (m), y (m). (điều kiện x > y > 0)

a) Theo đề bài:

Chu vi là 94,4m nên ta có phương trình: 2(x + y) = 94,4 (1)

Diện tích là 494,55m2 nên ta có phương trình: x.y = 494,55 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   2(x+y)=94,4  \\    xy=494,55  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    x+y=47,2  \\    xy=494,55  \\ \end{array} \right. \right. \)

Giải hệ phương trình trên:

Dựa vào định lý Vi–et đảo

Từ hệ phương trình suy ra x, y là nghiệm của phương trình:

X2 – 47,2X + 494,55 = 0

Giải phương trình ta được: X1 = 31,5 và X2 = 15,7

Vì x > y nên x = 31.5 và y = 15.7

Vậy hình chữ nhật có chiều dài bằng 31.5m và chiều rộng bằng 15.7m

b) Theo đề bài:

Hiệu của hai cạnh là 12,1 m nên ta có phương trình: x – y = 12,1 (3)

Diện tích là 1089m2 nên ta có phương trình: x.y = 1089 (4)

Từ (3) và (4) ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x-y=12,1  \\    xy=1089  \\ \end{array} \right. \)

Từ (3) ⇒ x = 12,1 + y, thay vào (4) ta được:

(12,1 + y).y = 1089

⇔ y2 + 12,1.y – 1089 = 0

⇔ y = 27,5 (t/m) hoặc y = –39,6 (loại)

⇒ x = 12,1 + 27,5 = 39,6

Vậy hình chữ nhật có chiều dài 39,6m và chiều rộng 27,5m

Bài 13 (trang 71 SGK Đại số 10):

Lời giải:

– Gọi x (giờ) là thời gian người thứ nhất quét sân một mình (x > 2).

– Khi đó, x – 2 (giờ) là thời gian người thứ hai quét sân một mình.

– Trong 1 giờ:

Người thứ nhất quét được 1/x (sân)

Người thứ hai quét được 1/(x – 2) (sân)

Cả hai người quét được 1/x + 1/(x – 2) (sân).

– Lại theo đề bài: Cả hai người cùng quét sân hết 1 giờ 20 phút = 4/3 giờ nên trong một giờ, cả hai người quét được 3/4 sân.

Vậy ta có phương trình:

\[ \frac{1}{x}+\frac{1}{x-2}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow \frac{x-2+x}{x(x-2)}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow \frac{2x-2}{x(x-2)}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow 4\cdot (2x-2)=3\cdot x(x-2) \] 

\[ \Leftrightarrow 8x-8=3{{x}^{2}}-6x\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-14x+8=0 \] 

Vậy nếu quét một mình thì người thứ nhất quét hết 4 giờ, người thứ hai hết 2 giờ.

Bài tập trắc nghiệm

Bài 14 (trang 71 SGK Đại số 10):

Đáp án C.

Bài 15 (trang 72 SGK Đại số 10):

Đáp án A.

Bài 16 (trang 72 SGK Đại số 10):

Đáp án C.

Bài 17 (trang 72 SGK Đại số 10):

Đáp án D.

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa ôn tập chương 3 đại số 10, toán 10 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất