BÀI 5: DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định lí về dấu của tam thức bậc hai
a) Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng \[ f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c \] , trong đó a, b, c là những hệ số, a ≠ 0.
b) Dấu của tam thức bậc hai
Cho \[ f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c(a\ne 0),\,\,\,\Delta ={{b}^{2}}-4ac \] .
Nếu △ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x ∈ R.
Nếu △ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x = -b/2a.
Nếu △ > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi \[x<{{x}_{1}}\] hoặc \[x<{{x}_{2}}\], trái dấu với hệ số a khi \[{{x}_{1}}trong đó \[{{x}_{1}},{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right)\]là hai nghiệm của f(x).
2. Bất phương trình bậc hai một ẩn
a) Bất phương trình bậc hai
Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng \[ a{{x}^{2}}+bx+c<0 \] . (hoặc \[ a{{x}^{2}}+bx+c\le 0,a{{x}^{2}}+bx+c>0,a{{x}^{2}}+bx+c\ge 0 \] ), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a ≠ 0.
b) Giải bất phương trình bậc hai \[ a{{x}^{2}}+bx+c<0 \] thực chất là tìm các khoảng mà trong đó \[ f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c \] cùng dấu với hệ số a (trường hợp a < 0) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp a < 0).
3. Một số điều kiện tương đương
Nếu \[ a{{x}^{2}}+bx+c \] là một tam thức bậc hai (a ≠ 0) thì
\[ \begin{align} & a{{x}^{2}}+bx+c>0,\forall x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a>0 \\ \Delta <0 \\ \end{array} \right. \\ & a{{x}^{2}}+bx+c\ge 0,\forall x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a>0 \\ \Delta \le 0 \\ \end{array} \right. \\ & a{{x}^{2}}+bx+c<0,\forall x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a<0 \\ \Delta <0 \\ \end{array} \right. \\ & a{{x}^{2}}+bx+c\le 0,\forall x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a<0 \\ \Delta \le 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{align} \]
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Xét dấu của tam thức bậc hai hoặc tích, thương các tam thức bậc hai.
Phương pháp: Sử dụng định lý về dấu tam thức bậc hai để lập bảng xét dấu.
Dạng 2. Giải bất phương trình.
Phương pháp:
Bước 1. Điều kiện xác định.
Bước 2. Biến đổi tương đương BPT, đưa vế trái về dạng tích hoặc thương các tam thức bậc hai hoặc nhị thức bậc nhất.
Bước 3. Dùng định lý về dấu tam thức bậc hai, nhị thức bậc nhất (nếu có) để xét dấu Vế trái.
Bước 4. Chọn khoảng nghiệm cần tìm và kết luận tập nghiệm.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1 (trang 105 SGK Đại số 10)
a) Ta có: \[ 5{{x}^{2}}-3x+1>0,\forall x \] vì a = 5 > 0 và △ = 9 – 20 = -11 < 0
b) Đặt \[ f(x)=-2{{x}^{2}}+3x+5 \] . Ta có f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt\[{{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}=\frac{5}{2}\], mà a = -2 < 0; ta có bảng xét dấu f(x) như sau:
c) Ta có \[ {{x}^{2}}+12x+36={{(x+6)}^{2}}\ge 0,\forall x \] .
d) Đặt f(x) = (2x – 3)(x + 5). Ta có: f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt \[{{x}_{1}}=-5;\,\,{{x}_{2}}=\frac{3}{2}\], mà\[a=2>0\], ta có bảng xét dấu f(x) như sau:
Bài 2 (trang 105 SGK Đại số 10)
a) \[ f(x)=\left( 3{{x}^{2}}-10x+3 \right)(4x-5) \]
b) \[ f(x)=\left( 3{{x}^{2}}-4x \right)\left( 2{{x}^{2}}-x-1 \right) \]
c) \[ \left( 4{{x}^{2}}-1 \right)\left( -8{{x}^{2}}+x-3 \right)(2x+9) \]
d) \[ f(x)=\frac{\left( 3{{x}^{2}}-x \right)\left( 3-{{x}^{2}} \right)}{4{{x}^{2}}+x-3} \]
Bài 3 (trang 105 SGK Đại số 10)
a) Tam thức \[ f(x)=4{{x}^{2}}-x+1 \] có △ = 1 – 16 = -15 < 0, mà ta có hệ số a = 4 > 0
⇒ f(x) > 0, ∀x. Vậy bất phương trình vô nghiệm.
b) Tam thức \[ \text{f}(\text{x})=-3{{x}^{2}}+x+4 \] có hai nghiệm\[{{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=\frac{4}{3}\], mà ta có hệ số a = -3 < 0
⇒ f(x) ≥ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 4/3. Vậy nghiệm của bất phương trình là -1 ≤ x ≤ 4/3.
c)
\[ \begin{align} & \frac{1}{{{x}^{2}}-4}<\frac{3}{3{{x}^{2}}+x-4}\Leftrightarrow \frac{1}{{{x}^{2}}-4}-\frac{3}{3{{x}^{2}}+x-4}<0 \\ & \Leftrightarrow \frac{3{{x}^{2}}+x-4-3\left( {{x}^{2}}-4 \right)}{\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( 3{{x}^{2}}+x-4 \right)}<0\Leftrightarrow \frac{x+8}{\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( 3{{x}^{2}}+x-4 \right)}<0 \\ \end{align} \]
Đặt \[ f(x)=\frac{x+8}{\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( 3{{x}^{2}}+x-4 \right)} \]
Ta có bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu ta có nghiệm của bất phương trình đã cho là:
\[ x\in (-\infty ;-8)\cup \left( -2;-\frac{4}{3} \right)\cup (1;2) \] .
d) Ta có tam thức \[ f(x)={{x}^{2}}-x-6 \] có hai nghiệm\[{{x}_{1}}=-2,{{x}_{2}}=3\], hệ số a = 1 > 0 nên f(x) ≤ 0 ⇔ x ∈ [-2; -3].
Bài 4 (trang 105 SGK Đại số 10)
a) Với m – 2 =0 ⇔ m = 2, phương trình trở thành 2x + 4 = 0 ⇔ x = -2, suy ra m = 2 không thỏa mãn điều kiện bài ra.
Với m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2: phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi.
\[ {{\Delta }^{\prime }}<0\Leftrightarrow {{(2m-3)}^{2}}-(m-2)(5m-6)<0\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+4m-3<0 \] ⇔ m > 3 hoặc m < 1.
Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình đã cho vô nghiệm khi m > 3 hoặc m < 1.
b) Với 3 – m = 0 ⇔ m = 3, phương trình trở thành -12x + 5 = 0 ⇔ x = 5/12, suy ra m = 3 không thỏa mãn điều kiện bài ra.
Với 3 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3: phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:
\[ {{\Delta }^{\prime }}<0\Leftrightarrow {{(m+3)}^{2}}-(m+2)(3-m)<0\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+5m+3<0\Leftrightarrow \frac{-3}{2}
Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình đã cho vô nghiệm khi \[ \frac{-3}{2}
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa dấu của tam thức bậc hai toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất