BÀI 1: HÀM SỐ
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
A. ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ
1. Hàm số. Tập xác định của hàm số
Giả sử có hai đại lượng biếnthiên x và y, trong đó x nhận giá trị thuộc tập số D.
Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng của x thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số.
Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x.
Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số.
2. Cách cho hàm số
Một hàm số có thể được cho bằng các cách sau.
Hàm số cho bằng bảng
Hàm số cho bằng biểu đồ
Hàm số cho bằng công thức
Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.
3. Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M(x,f(x)) trên mặt phẳng tọa độ với x thuộc D.
B. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
1. Ôn tập
Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng (a ; b) nếu
∀x1, x2 ∈ (a ; b) : x1 < x2 => f(x1) < f(x2)
Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng (a ; b) nếu :
∀x1, x2 ∈ (a ; b) : x1 < x2 => f(x1) > f(x2)
2. Bảng biến thiên
Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng đồng biến và các khoảng nghịch biến của nó. Kết quả xét chiều biến thiên được tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên.
Ví dụ. Dưới đây là bảng biến thiên của hàm số y = x2.
Hàm số y = x2 xác định trên khoảng (hoặc trong khoảng) ( –∞ ; +∞) và khi x dần tới +∞ hoặc dần tới –∞ thì y đều dần tới +∞.
Tại x = 0 thì y = 0.
Để diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng (–∞ ; 0) ta vẽ mũi tên đi xuống (từ +∞ đến 0).
Để diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; +∞) ta vẽ mũi tên đi lên (từ 0 đến +∞).
Nhìn vào bảng biến thiên, ta sơ bộ hình dung được đồ thị hàm số (đi lên trong khoảng nào, đi xuống trong khoảng nào).
C. TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ
1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu
∀x ∈ D thì – x ∈ D và f( –x) = f(x)
Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu
∀x ∈ D thì – x ∈ D và f(–x) = – f(x)
2. Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ
Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số
Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.
Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số
* Sử dụng định nghĩa
Hàm số y = f(x) xác định trên D
+ Hàm số chẵn \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\forall x\in D\Rightarrow -x\in D \\ f(-x)=f(x) \\ \end{matrix} \right. \)
+ Hàm số lẻ \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \forall x\in D\Rightarrow -x\in D \\ f(-x)=-f(x) \\ \end{matrix} \right. \)
Chú ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ
Đồ thị hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng
Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
* Quy trình xét hàm số chẵn, lẻ.
B1: Tìm tập xác định của hàm số.
B2: Kiểm tra
Nếu ∀ x ∈ D ⇒ -x ∈ D Chuyển qua bước ba
Nếu ∃ x0 ∈ D ⇒ -x0 ∉ D kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.
B3: xác định f(-x) và so sánh với f(x).
Nếu bằng nhau thì kết luận hàm số là chẵn
Nếu đối nhau thì kết luận hàm số là lẻ
Nếu tồn tại một giá trị ∃ x0 ∈ D mà f(-x0 ) ≠ ± f(x0) kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Dạng 3: Xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số
C1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy x1; x2 ∈ K;x1 < x2, đặt T = f(x1 )-f(x2 )
+ Hàm số đồng biến trên K ⇔ T > 0.
+ Hàm số nghịch biến trên K ⇔ T < 0.
C2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy x1; x2 ∈ K;x1 ≠ x2, đặt \[ T=\frac{f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}} \]
+ Hàm số đồng biến trên K ⇔ T > 0.
+ Hàm số nghịch biến trên K ⇔ T < 0.
Dạng 4: Bài tập về đồ thị hàm số
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. Đồ thị hàm số f là tập hợp tất cả các điểm M(x;f(x)) nằm trong mặt phẳng tọa độ với x ∈ D.
Chú ý:
Điểm M(x0; y0 ) ∈ (C) đồ thị hàm số y = f(x) ⇔ y0 = f(x0 ).
Sử dụng định lý về tịnh tiến đồ thị một hàm số.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1 (trang 38 SGK Đại số 10):
Lời giải:
a) \[ y=\frac{3x-2}{2x+1} \] có nghĩa khi 2x + 1 ≠ 0 ⇔ x ⇔ –1/2.
Vậy tập xác định của hàm \[ y=\frac{3x-2}{2x+1} \] là D = R \ {-1/2}.
b) \[ \text{y}=\frac{\text{x}-1}{{{\text{x}}^{2}}+2\text{x}-3} \] xác định khi x2 + 2x – 3 ≠ 0.
Giải phương trình x2 + 2x - 3 = 0 ⇔ (x-1)(x+3) = 0 ⇔ x=1 hoặc x=-3
Do đó x2 + 2x – 3 ≠ 0 khi x ≠ 1 và x ≠ -3.
Vậy tập xác định của hàm số là D = R \ {1;-3}
c) \[ \text{y}=\sqrt{2\text{x}+1}-\sqrt{3-\text{x}} \] xác định khi \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2\text{x}+1\ge 0 \\ 3-\text{x}\ge 0 \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \text{x}\ge \frac{-1}{2} \\ \text{x}\le 3 \\ \end{array}\Leftrightarrow \frac{-1}{2}\le \text{x}\le 3 \right. \right. \)
Vậy tập xác định của hàm số là \[ \left[ \frac{-1}{2};3 \right] \]
Bài 2 (trang 38 SGK Đại số 10):
Lời giải:
- Ta có : x = 3 > 2 nên f(3) = 3 + 1 = 4.
- Ta có : x = -1 < 2 nên f(–1) = (-1)2 – 2 = –1.
- Ta có : x = 2 nên f(2) = 2 + 1 = 3.
Bài 3 (trang 39 SGK Đại số 10):
Lời giải:
Tập xác định của hàm số y = f(x) = 3x2 – 2x + 1 là D = R
a) Tại x = –1 thì y = 3.( –1)2 – 2. (–1) + 1 = 3 + 2 + 1 = 6.
Vậy điểm M(–1; 6) thuộc đồ thị hàm số y = 3x2 – 2x + 1.
b) Tại x = 1 thì y = 3.12 – 2.1 + 1 = 3 – 2 + 1 = 2 ≠ 1.
Vậy N(1; 1) không thuộc đồ thị hàm số.
c) Tại x = 0 thì y = 3.02 – 2.0 + 1 = 1.
Vậy điểm P(0 ; 1) thuộc đồ thị hàm số.
Bài 4 (trang 39 SGK Đại số 10):
Lời giải:
a) Đặt y = f(x) = |x|.
+ Tập xác định D = R nên với ∀ x ∈ D thì –x ∈ D.
+ f(–x) = |–x| = |x| = f(x).
Vậy hàm số y = |x| là hàm số chẵn.
b) Đặt y = f(x) = (x + 2)2.
+ TXĐ: D = R nên với ∀x ∈ D thì –x ∈ D.
+ f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ (x + 2)2 = f(x)
+ f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ – (x + 2)2 = –f(x).
Vậy hàm số y = (x + 2)2 không chẵn, không lẻ.
c) Đặt y = f(x) = x3 + x.
+ TXĐ: D = R nên với ∀x ∈ D thì –x ∈ D.
+ f(–x) = (–x)3 + (–x) = –x3 – x = – (x3 + x) = –f(x)
Vậy y = x3 + x là một hàm số lẻ.
d) Đặt y = f(x) = x2 + x + 1.
+ TXĐ: D = R nên với ∀x ∈ D thì –x ∈ D.
+ f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ x2 + x + 1 = f(x)
+ f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ –(x2 + x + 1) = –f(x)
Vậy hàm số y = x2 + x + 1 không chẵn, không lẻ.
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 10 Bài 1. Hàm số do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ