BÀI 2: TỔNG VÀ HIỆU HAI VÉC TƠ
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Tổng của hai vectơ
Định nghĩa. Cho hai vectơ $$ \vec{a} $$ và $$ \vec{b} $$ Lấy một điểm A tùy ý, vẽ $$ \overrightarrow{AB}=\vec{a} $$ và $$ \overrightarrow{BC}=\vec{b} $$ Vectơ $$ \overrightarrow{AC} $$ được gọi là tổng của hai vectơ $$ \vec{a} $$ và $$ \vec{b} $$ , kí hiệu là $$ \vec{a}+\vec{b} $$ Vậy $$ \overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b} $$ .
2. Quy tắc hình bình hành
Nếu ABCD là hình bình hành thì $$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC} $$ .
3. Tính chất của phép cộng các vectơ
Với ba vectơ $$ \vec{a},\vec{b},\vec{c} $$ tùy ý ta có
• $$ \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a} $$ (tính chất giao hoán);
• $$ (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c}) $$ (tính chất kết hợp);
• $$ \vec{a}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{a}=\vec{a} $$ (tính chất của vectơ – không).
4. Hiệu của hai vectơ
a) Vectơ đối
Cho vectơ $$ \vec{a} $$ Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với $$ \vec{a} $$ được gọi là vectơ đối của vectơ $$ \vec{a} $$ , kí hiệu là $$ -\vec{a} $$ .
b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ
Định nghĩa. Cho hai vectơ $$ \vec{a} $$ và $$ \vec{b} $$ . Ta gọi hiệu của hai vectơ $$ \vec{a} $$ và $$ \vec{b} $$ là vectơ $$ \vec{a}+(-\vec{b}) $$ . Kí hiệu là $$ \vec{a}-\vec{b} $$ .
Như vậy $$ \vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b}) $$ .
Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm O, A, B tùy ý ta có $$ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} $$
Chú ý
1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.
2) Với ba điểm tùy ý A, B, C ta luôn có
$$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} $$ (quy tắc ba điểm);
$$ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB} $$ (quy tắc trừ).
5. Áp dụng
a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $$ \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0} $$
b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $$ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0} $$
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Bài tập về tổng, hiệu hai véc tơ, quy tắc hình bình hành, trung điểm, trọng tâm của tam giác,…
Phương pháp giải: Các em nắm vững lý thuyết đã nêu ở Phần Lý thuyết trọng tâm sau đó áp dụng linh hoạt với từng dạng bài tập.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1 (trang 12 SGK Hình học 10)
Lời giải
– Trên đoạn MA, lấy điểm C sao cho MC = MB
Nhận thấy $$ \overrightarrow{\text{CM}} $$ và $$ \overrightarrow{\text{MB}} $$ cùng hướng nên $$ \overrightarrow{\text{AB}} $$ = $$ \overrightarrow{\text{MB}} $$
Khi đó:
\(\begin{matrix} \overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}=\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{CM}} \\ =\overrightarrow{\text{CM}}+\overrightarrow{\text{MA}}=\overrightarrow{\text{CA}} \\ \end{matrix} \)
$$ \overrightarrow{\text{MA}}-\overrightarrow{\text{MB}}=\overrightarrow{\text{BA}} $$
Bài 2 (trang 12 SGK Hình học 10):
Lời giải
Ta có: ABCD là hình bình hành nên $$ \overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{DC}} $$
$$ \overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MC}}=\overrightarrow{\text{MB}}+\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{MD}}+\overrightarrow{\text{DC}} $$
$$ =\left( \overrightarrow{\text{MB}}+\overrightarrow{\text{MD}} \right)+\left( \overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{DC}} \right) $$
$$ =\left( \overrightarrow{\text{MB}}+\overrightarrow{\text{MD}} \right)+\left( \overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{AB}} \right) $$
$$ =\left( \overrightarrow{\text{MB}}+\overrightarrow{\text{MD}} \right)+\vec{0} $$
$$ =\overrightarrow{\text{MB}}+\overrightarrow{\text{MD}} $$
Bài 3 (trang 12 SGK Hình học 10):
Lời giải
a) Ta có:
$$ \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}+\overrightarrow{\text{CD}}+\overrightarrow{\text{DA}} $$
$$ =\left( \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}} \right)+\left( \overrightarrow{\text{CD}}+\overrightarrow{\text{DA}} \right) $$
$$ =\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{CA}} $$
$$ =\overrightarrow{\text{AA}}=\vec{0} $$
b) Áp dụng quy tắc trừ hai vec tơ ta có:
$$ \overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AD}}=\overrightarrow{\text{DB}} $$
$$ \overrightarrow{\text{CB}}-\overrightarrow{\text{CD}}=\overrightarrow{\text{DB}} $$
Do đó:
$$ \overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AD}}=\overrightarrow{\text{CB}}-\overrightarrow{\text{CD}} $$
Bài 4 (trang 12 SGK Hình học 10):
Lời giải:
Ta có:
AJIB là hình bình hành nên $$ \overrightarrow{\text{AJ}}=\overrightarrow{\text{BI}} $$
Tương tự như vậy:
BCPQ là hình bình hành nên $$ \overrightarrow{\text{BQ}}+\overrightarrow{\text{PC}}=\vec{0} $$
CARS là hình bình hành nên $$ \overrightarrow{\text{CS}}+\overrightarrow{\text{RA}}=\vec{0} $$
Do đó:
$$ \overrightarrow{\text{RJ}}+\overrightarrow{\text{IQ}}+\overrightarrow{\text{PS}} $$
$$ =\left( \overrightarrow{\text{RA}}+\overrightarrow{\text{AJ}} \right)+\left( \overrightarrow{\text{IB}}+\overrightarrow{\text{BQ}} \right)+\left( \overrightarrow{\text{PC}}+\overrightarrow{\text{CS}} \right) $$
$$ =\left( \overrightarrow{\text{RA}}+\overrightarrow{\text{CS}} \right)+\left( \overrightarrow{\text{AJ}}+\overrightarrow{\text{IB}} \right)+\left( \overrightarrow{\text{BQ}}+\overrightarrow{\text{PC}} \right) $$
$$ =\vec{0}+\vec{0}+\vec{0}=\vec{0} $$
Bài 5 (trang 12 SGK Hình học 10):
Lời giải:
Ta có:
$$ \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{AC}} $$
$$ \left| \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}\left| = \right|\overrightarrow{\text{AC}} \right|=\text{AC}=\text{a} $$
$$ \overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CB}} $$
$$ =\overrightarrow{\text{DB}} $$
$$ \Rightarrow \left| \overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{BC}}\left| = \right|\overrightarrow{\text{DB}} \right|=\text{BD} $$
+ Tính BD:
Hình bình hành ABCD có AB = BC = a nên ABCD là hình thoi.
$$ \Rightarrow \text{AC}\bot \text{BD }\!\!~\!\!\text{ }\text{. }\!\!~\!\!\text{ } $$
$$ \text{AO}=\frac{\text{AC}}{2}=\frac{\text{a}}{2} $$
$$ \Rightarrow \text{BO}=\sqrt{\text{A}{{\text{B}}^{2}}-\text{A}{{\text{O}}^{2}}}=\sqrt{{{\text{a}}^{2}}-{{\left( \frac{\text{a}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{\text{a}\sqrt{3}}{2} $$
$$ \Rightarrow \text{BD}=2\text{BO}=\text{a}\sqrt{3} $$
$$ \Rightarrow \text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left| \overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{BC}} \right|=\text{a}\sqrt{3} $$
Bài 6 (trang 12 SGK Hình học 10):
Lời giải:
a) Ta có:
O là trung điểm của AC nên $$ \overrightarrow{\text{CO}}=\overrightarrow{\text{OA}} $$
Do đó $$ \overrightarrow{\text{CO}}-\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{\text{OA}}-\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{\text{BA}} $$
b) ABCD là hình bình hành nên $$ \overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{AD}} $$
Do đó $$ \overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AD}}=\overrightarrow{\text{DB}} $$
c) $$ \overrightarrow{\text{DA}}-\overrightarrow{\text{DB}}=\overrightarrow{\text{BA}} $$
$$ \overrightarrow{\text{OD}}-\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{CD}} $$
Mà ABCD là hình bình hành nên $$ \overrightarrow{\text{BA}}=\overrightarrow{\text{CD}} $$
Do đó $$ \overrightarrow{\text{DA}}-\overrightarrow{\text{DB}}=\overrightarrow{\text{OD}}-\overrightarrow{\text{OC}} $$
Mà ABCD là hình bình hành nên $$ \overrightarrow{\text{BA}}=\overrightarrow{\text{CD}} $$
Do đó $$ \overrightarrow{\text{DA}}-\overrightarrow{\text{DB}}=\overrightarrow{\text{OD}}-\overrightarrow{\text{OC}} $$
d) ABCD là hình bình hành nên $$ \overrightarrow{\text{DC}}=\overrightarrow{\text{AB}} $$
Lại có: $$ \overrightarrow{\text{DA}}-\overrightarrow{\text{DB}}=\overrightarrow{\text{BA}} $$
Do đó $$ \overrightarrow{\text{DA}}-\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DC}}=\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{AA}}=\vec{0} $$
Bài 7 (trang 12 SGK Hình học 10):
Lời giải:
Có hai vectơ $$ \vec{a},\vec{b} $$ bất kỳ như hình vẽ
Vẽ hình bình hành ABCD sao cho \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{b}}\)
Ta có:
\(|\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=\mathrm{AC} \mid\)
\(|\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}}|=|\overrightarrow{\mathrm{DB}}|=\mathrm{BD}\)
\(|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\mathrm{AB},|\overrightarrow{\mathrm{b}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|=\mathrm{AD}=\mathrm{BC}\)
Do đó:
a) \(|\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}|=|\overrightarrow{\mathrm{a}}|+|\overrightarrow{\mathrm{b}}| \Leftrightarrow \mathrm{AC}=\mathrm{AB}+\mathrm{BC} \Leftrightarrow \mathrm{B}\) nằm giữa A và C $$ \Leftrightarrow $$ $$ \overrightarrow{\text{AB}}\text{, }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\overrightarrow{\text{AD}} $$ cùng hướng hay \[\vec{a}\] và \[\vec{b}\]cùng hướng
b) \(|\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}|=|\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}| \Leftrightarrow \mathrm{AC}=\mathrm{BD}\) $$ \Leftrightarrow $$ ABCD là hình chữ nhật $$ \Leftrightarrow $$ $$ AB\bot CD $$ hay \[\vec{a}\bot \vec{b}\]
Bài 8 (trang 12 SGK Hình học 10):
Lời giải:
\(|\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}|=0 \Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{a}}=-\overrightarrow{\mathrm{b}}\)
\(\Leftrightarrow \vec{a}\) và \(\vec{b}\)là hai vector đối nhau
\(\Leftrightarrow \vec{a}\) và \(\vec{b}\) cùng phương, ngược hướng và có cùng độ dài.
Bài 9 (trang 12 SGK Hình học 10):
Lời giải:
Gọi trung điểm của AD là I, trung điểm BC là J.
Khi đó ta có: \(\overrightarrow{\mathrm{IA}}+\overrightarrow{\mathrm{D}}=\overrightarrow{0}, \overrightarrow{\mathrm{JB}}+\overrightarrow{\mathrm{JC}}=\overrightarrow{0}\)
Mà theo quy tắc ba điểm ta có:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow{\mathrm{I}}=\overrightarrow{\mathrm{IA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BJ}} \\ \overrightarrow{\mathrm{J}}=\overrightarrow{\mathrm{D}}+\overrightarrow{\mathrm{DC}}+\overrightarrow{\mathrm{CJ}} \end{array}\)
$$ \Rightarrow \overrightarrow{\text{IJ}}+\overrightarrow{\text{IJ}}=\overrightarrow{\text{IA}}+\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BJ}}+\overrightarrow{\text{ID}}+\overrightarrow{\text{DC}}+\overrightarrow{\text{CJ}} $$
$$ =\left( \overrightarrow{\text{IA}}+\overrightarrow{\text{ID}} \right)+\left( \overrightarrow{\text{JB}}+\overrightarrow{\text{JC}} \right)+\left( \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{DC}} \right) $$
$$ =\vec{0}+\vec{0}+\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{DC}} $$
$$ =\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{DC}} $$
$$ \overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{CD}}\Leftrightarrow \overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{CD}}=\vec{0} $$
$$ \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{DC}}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{\text{IJ}}=\vec{0} $$
$$ \Leftrightarrow I\equiv J $$ hay trung điểm AD và BC trùng nhau (đpcm)
Bài 10 (trang 12 SGK Hình học 10)
Lời giải:
M đứng yên
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{F}}_{1}+\overrightarrow{\mathrm{F}_{2}}+\overrightarrow{\mathrm{F}_{3}}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{F}_{3}}=-\left(\overrightarrow{\mathrm{F}_{1}}+\overrightarrow{\mathrm{F}_{2}}\right)\)
Ta cần tính $$ \overrightarrow{{{\text{F}}_{1}}}+\overrightarrow{{{\text{F}}_{2}}} $$
Cường độ của $$ \overrightarrow{{{\text{F}}_{1}}} $$ và $$ \overrightarrow{{{\text{F}}_{2}}} $$ là 100N
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{\mathrm{F}}_{1}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{F}}_{2}\right|=100\)
Ta biểu diễn $$ \overrightarrow{{{\text{F}}_{1}}} $$ và $$ \overrightarrow{{{\text{F}}_{2}}} $$ bằng hai vector $$ \overrightarrow{\text{MA}}~ $$ và $$ \overrightarrow{\text{MB}} $$ như hình vẽ.
Khi đó \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{1}+\overrightarrow{\mathrm{F}_{2}}=\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\overrightarrow{\mathrm{MC}}\) (C là đỉnh còn lại của hình bình hành MACB).
$$ \Rightarrow \left| \overrightarrow{{{\text{F}}_{1}}}+\overrightarrow{{{\text{F}}_{2}}} \right|=\left| \overrightarrow{\text{MC}} \right|=\text{MC} $$
+ Tính MC : Gọi I là trung điểm của AB ⇒ I là trung điểm của MC.
$$ \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ MAB} $$ có MA = MB = 100 và góc MAB bằng 600 nên là tam giác đều
$$ \Rightarrow $$ $$ \text{MI}=100\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3} $$
$$ \Rightarrow \text{MC}=2.\text{MI}=100\sqrt{3} $$
Vector $$ \overrightarrow{{{\text{F}}_{3}}} $$ là vector đối của vector \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{1}+\overrightarrow{\mathrm{F}_{2}}\) nên $$ \overrightarrow{{{\text{F}}_{3}}} $$ có hướng ngược với $$ \overrightarrow{\text{MC}} $$ và có độ dài bằng $$ 100\sqrt{3} $$