ican
Giải SGK Toán 10
Bài 2: Tích vô hướng của hai véc tơ

Tích vô hướng của hai véc tơ

Giải bài tập sách giáo khoa tích vô hướng của hai vecto toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Ican

BÀI 2: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Định nghĩa

Cho hai vectơ \[ \overrightarrow{a} \] và \[ \overrightarrow{b} \] đều khác vectơ \[ \overrightarrow{0} \] . Tích vô hướng của \[ \overrightarrow{a} \] và \[ \overrightarrow{b} \] là một số, kí hiệu là \[ \vec{a}.\vec{b} \] được xác định bởi công thức sau:

\[ \vec{a}\vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos (\vec{a},\vec{b}) \] 

Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ \[ \overrightarrow{a} \] và \[ \overrightarrow{b} \] và bằng vectơ \[ \overrightarrow{0} \] 

ta quy ước:

\[ \vec{a}\cdot \vec{b}=0 \] 

Chú ý

+) Với \[ \overrightarrow{a} \] và \[ \overrightarrow{b} \] khác vectơ \[ \overrightarrow{0} \] ta có:

\[ \vec{a}\cdot \vec{b}=0\Leftrightarrow \vec{a}\bot \vec{b} \] 

+) Khi \[ \vec{a}=\vec{b} \] tích vô hướng \[ \vec{a}\cdot \vec{a} \] được kí hiệu là \[ \overrightarrow{{{a}^{2}}} \] và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ \[ \overrightarrow{a} \] 

Ta có:

\[ {{\vec{a}}^{2}}=|\vec{a}|\cdot |\vec{a}|\cdot \cos {{0}^{{}^\circ }}=|\vec{a}{{|}^{2}} \] 

2. Các tính chất của tích vô hướng

Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng:

Với ba vec tơ \[ \vec{a},\vec{b},\vec{c} \] bất kì và mọi số k ta có:

+) \[ \vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a} \] (tính chất giao hoán)

+) \[ \vec{a}(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{c} \] (tính chất phân phối)

+) \[ (k\vec{a})\cdot \vec{b}=k(\vec{a}\cdot \vec{b})=\vec{a}\cdot (k\vec{b}) \] 

+) \[ {{\vec{a}}^{2}}\ge 0,{{\vec{a}}^{2}}=0\Leftrightarrow \vec{a}=0 \] 

Nhận xét. Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:

\(+){{(\vec{a}+\vec{b})}^{2}}={{{\vec{a}}}^{2}}+2\vec{a}\cdot \vec{b}+{{{\vec{b}}}^{2}} \)

\(+){{(\vec{a}-\vec{b})}^{2}}={{{\vec{a}}}^{2}}-2\vec{a}\cdot \vec{b}+{{{\vec{b}}}^{2}} \)

\(+)(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})={{{\vec{a}}}^{2}}-{{{\vec{b}}}^{2}} \)

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ \[ (O;\vec{i};\vec{j}) \] , cho hai vectơ:

\[ \vec{a}=\left( {{\text{a}}_{1}},{{\text{a}}_{2}} \right),\vec{b}\left( {{\text{b}}_{1}},{{\text{b}}_{2}} \right) \] 

Khi đó tích vô hướng \[ \vec{a}\vec{b} \] 

\[ \vec{a}\cdot \vec{b}={{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}} \] 

Nhận xét. Hai vectơ: \[ \vec{a}=\left( {{\text{a}}_{1}},{{\text{a}}_{2}} \right),\vec{b}\left( {{\text{b}}_{1}},{{\text{b}}_{2}} \right) \] 

đều khác vectơ \[ \overrightarrow{0} \] vuông góc với nhau khi và chỉ khi: \[ {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}=0 \] 

4. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ

Độ dài của vectơ \[ \bar{a}=\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}} \right) \] , được tính theo công thức: \[ |\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}} \] 

b) Góc giữa hai vectơ

Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu \[ \vec{a}=\left( {{\text{a}}_{1}},{{\text{a}}_{2}} \right),\vec{b}\left( {{\text{b}}_{1}},{{\text{b}}_{2}} \right) \] đều khác \[ \overrightarrow{0} \] thì ta có:

\[ \cos (\vec{a};\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\frac{{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\cdot \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}} \] 

c) Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) được tính theo công thức:

\[ \text{AB}=\sqrt{{{\left( {{\text{x}}_{\text{B}}}-{{\text{x}}_{\text{A}}} \right)}^{2}}+{{\left( {{\text{y}}_{\text{B}}}-{{\text{y}}_{\text{A}}} \right)}^{2}}} \] 

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 2. Tính góc giữa hai vecto

Phương pháp giải

Cách 1. Sử dụng định nghĩa góc giữa hai vectơ

Cách 2. (Áp dụng trong hệ tọa độ) Tính cos góc giữa hai vectơ, từ đó suy ra góc giữa 2 vectơ.

Sử dụng công thức sau:

Cho hai vectơ \[ \vec{a}=(x;y)\,;\vec{b}=\left( x';y' \right) \] . Khi đó \[ \cos (\vec{a};\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\cdot \sqrt{x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}}}(\vec{a}\ne \vec{0},\vec{b}\ne \vec{0}) \] 

 

Dạng 3. Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước

Phương pháp giải

Bước 1. Xác định vecto (nếu chưa có) theo tham số m.

Bước 2. Tính độ dài các vecto theo tham số m.

Bước 3. Áp dụng công thức tính cos góc giữa hai vecto

Cho hai vectơ \[ \vec{a}=(x;y)\,;\vec{b}=\left( x';y' \right) \] . Khi đó \[ \cos (\vec{a};\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\cdot \sqrt{x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}}}(\vec{a}\ne \vec{0},\vec{b}\ne \vec{0}) \] 

Bước 4. Đưa r phương trình chứa ẩn m. Góc giữa hai vecto bằng \[ \alpha \Leftrightarrow \cos (\vec{a};\vec{b})=\cos \alpha  \] 

Bước 5. Giải phương trình, đưa ra giá trị của m.

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1 (trang 45 SGK Hình học 10):

Lời giải:

Tính \[ \overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AC}} \] 

\[ \left( \overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AC}} \right)=\widehat{\text{BAC}}={{90}^{\circ }} \] \[ \Rightarrow \overrightarrow{\text{AB}}\bot \overrightarrow{\text{AC}}\Rightarrow \overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AC}}=0 \] 

Tính \[ \overrightarrow{\text{AC}}\cdot \overrightarrow{\text{CB}} \] 

\[ \left| \overrightarrow{\text{AC}}\left| =\text{AC}=\text{a}, \right|\overrightarrow{\text{CB}} \right|=\text{BC}=\text{a}\sqrt{2} \] 

Vẽ \[ \overrightarrow{\text{C}{{\text{A}}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}}}=\overrightarrow{\text{AC}} \] 

\[ \left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{CB}} \right)=\left( \overrightarrow{\text{CA}};\overrightarrow{\text{CB}} \right) \] \[ =\widehat{\text{BC}{{\text{A}}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}}}={{180}^{\circ }}-\widehat{\text{BCA}} \] \[ ={{180}^{\circ }}-{{45}^{\circ }}={{135}^{\circ }} \] 

Vậy \[ \overrightarrow{\text{AC}}\cdot \overrightarrow{\text{CB}}=\left| \overrightarrow{\text{AC}}\left| \cdot  \right|\overrightarrow{\text{CB}} \right|\cdot \text{cos}\left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{CB}} \right) \] 

\[ =a\cdot a\sqrt{2}\cdot \text{cos}{{135}^{\circ }}=-{{a}^{2}} \] 

Bài 2 (trang 45 SGK Hình học 10):

Lời giải:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB :

Khi đó \[ \overrightarrow{\text{OA}} \] và \[ \overrightarrow{\text{OB}} \] cùng hướng

\[ \Rightarrow \left( \overrightarrow{\text{OA}};\overrightarrow{\text{OB}} \right)={{0}^{\circ }} \] \[ \Rightarrow \overrightarrow{\text{OA}}\cdot \overrightarrow{\text{OB}}=\left| \overrightarrow{\text{OA}}\left| \cdot  \right|\overrightarrow{\text{OB}} \right|\cdot \text{cos}\left( \overrightarrow{\text{OA}},\overrightarrow{\text{OB}} \right) \] \[ =\text{OA}\cdot \text{OB}\cdot \text{cos}{{0}^{\circ }}=\text{a}\cdot \text{b}\cdot 1=\text{ab} \] 

b) Điểm O nằm trong đoạn AB :

Khi đó \[ \overrightarrow{\text{OA}} \] và \[ \overrightarrow{\text{OB}} \] ngược hướng

\[ \Rightarrow \left( \overrightarrow{\text{OA}};\overrightarrow{\text{OB}} \right)={{180}^{\circ }} \] \[ \Rightarrow \overrightarrow{\text{OA}}\cdot \overrightarrow{\text{OB}}=\left| \overrightarrow{\text{OA}}\left| \cdot  \right|\overrightarrow{\text{OB}} \right|\cdot \text{cos}\left( \overrightarrow{\text{OA}};\overrightarrow{\text{OB}} \right) \] \[ =\text{OA}\cdot \text{OB}\cdot \text{cos}{{180}^{\circ }}=\text{a}\cdot \text{b}\cdot \left( -1 \right)=-\text{ab} \] 

Bài 3 (trang 45 SGK Hình học 10):

Lời giải:

a)

Ta có:

\[ \overrightarrow{\text{AM}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BM}} \] 

\[ \Rightarrow \overrightarrow{\text{AI}}\cdot \overrightarrow{\text{AM}}=\overrightarrow{\text{AI}}\cdot \left( \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BM}} \right) \] 

\[ =\overrightarrow{\text{AI}}\cdot \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AI}}\cdot \overrightarrow{\text{BM}} \] 

Mà \[ \overrightarrow{\text{AI}}\bot \overrightarrow{\text{BM}}\Rightarrow \overrightarrow{\text{AI}}\cdot \overrightarrow{\text{BM}}=0 \] 

\[ \Rightarrow \overrightarrow{\text{AI}}\cdot \overrightarrow{\text{AM}}=\overrightarrow{\text{AI}}\cdot \overrightarrow{\text{AB}}+0 \] 

\[ =\overrightarrow{\text{AI}}\cdot \overrightarrow{\text{AB}} \] (đpcm)

Ta có:

\[ \overrightarrow{\text{BN}}=\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{AN}} \] 

\[ \Rightarrow \overrightarrow{\text{BI}}\cdot \overrightarrow{\text{BN}}=\overrightarrow{\text{BI}}\cdot \left( \overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{AN}} \right) \] 

\[ =\overrightarrow{\text{BI}}\cdot \overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{BI}}\cdot \overrightarrow{\text{AN}} \] 

Mà \[ \overrightarrow{\text{BI}}\bot \overrightarrow{\text{AN}}\Rightarrow \overrightarrow{\text{BI}}\cdot \overrightarrow{\text{AN}}=0 \] 

\[ \Rightarrow \overrightarrow{\text{BI}}\cdot \overrightarrow{\text{BN}}=\overrightarrow{\text{BI}}\cdot \overrightarrow{\text{BA}}+0 \] 

\[ =\overrightarrow{\text{BI}}\cdot \overrightarrow{\text{BA}} \] (đpcm)

b)

\[ \overrightarrow{\text{AI}}\cdot \overrightarrow{\text{AM}}+\overrightarrow{\text{BI}}\cdot \overrightarrow{\text{BN}} \] 

\[ =\overrightarrow{\text{AI}}\cdot \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BI}}\cdot \overrightarrow{\text{BA}} \] (theo a)

\[ =\overrightarrow{\text{AI}}\cdot \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BI}}\cdot \left( -\overrightarrow{\text{AB}} \right)=\overrightarrow{\text{AI}}\cdot \overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{BI}}\cdot \overrightarrow{\text{AB}} \] 

\[ =\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \left( \overrightarrow{\text{AI}}-\overrightarrow{\text{BI}} \right)=\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{\text{AB}} \] 

\[ ={{\overrightarrow{\text{AB}}}^{2}}=\text{A}{{\text{B}}^{2}}={{(2\text{R})}^{2}}=4{{\text{R}}^{2}} \] 

Bài 4 (trang 45 SGK Hình học 10):

Lời giải:

a) D nằm trên trục Ox nên D có tọa độ D(x ; 0)

Khi đó :

\[ \text{DA}=\sqrt{{{\left( {{\text{x}}_{\text{A}}}-{{\text{x}}_{\text{D}}} \right)}^{2}}+{{\left( {{\text{y}}_{\text{A}}}-{{\text{y}}_{\text{D}}} \right)}^{2}}} \] 

\[ =\sqrt{{{(1-\text{x})}^{2}}+{{(0-3)}^{2}}} \] 

\[ =\sqrt{9+{{(\text{x}-1)}^{2}}} \] 

\[ \text{DB}=\sqrt{{{\left( {{\text{x}}_{\text{B}}}-{{\text{x}}_{\text{D}}} \right)}^{2}}+{{\left( {{\text{y}}_{\text{B}}}-{{\text{y}}_{\text{D}}} \right)}^{2}}} \] 

\[ =\sqrt{{{(4-\text{x})}^{2}}+{{(2-0)}^{2}}} \] 

\[ =\sqrt{{{(\text{x}-4)}^{2}}+4} \] 

DA = DB

\[ \Leftrightarrow \sqrt{9+{{(x-1)}^{2}}}=\sqrt{{{(x-4)}^{2}}+4} \] 

\[ \Leftrightarrow 9+{{(x-1)}^{2}}=4+{{(x-4)}^{2}} \] 

\[ \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+10={{x}^{2}}-8x+20 \] 

\[ \Leftrightarrow 6x=10 \] 

\[ \Leftrightarrow x=\frac{5}{3} \] 

Vậy \[ \text{D}\left( \frac{5}{3};0 \right) \] 

b) \[ \overrightarrow{\text{OA}}=\left( 1;3 \right) \] 

\[ \Rightarrow \text{OA}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{10} \] 

\[ \overrightarrow{\text{OB}}=\left( 4;2 \right) \] 

\[ \Rightarrow \text{OB}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5} \] 

\[ \overrightarrow{\text{AB}}=\left( {{\text{x}}_{\text{B}}}-{{\text{x}}_{\text{A}}};{{\text{y}}_{\text{B}}}-{{\text{y}}_{\text{A}}} \right)=\left( 3;-1 \right) \] 

\[ \Rightarrow \text{AB}=\sqrt{{{(-3)}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{10} \] 

Vậy chu vi tam giác OAB là P = AO + BO + AB = \[ \sqrt{10}+2\sqrt{5}+\sqrt{10}=2\sqrt{5}+2\sqrt{10} \] 

c) \[ \overrightarrow{\text{OA}}\cdot \overrightarrow{\text{AB}}=1.3+3\cdot \left( -1 \right)=0 \] 

\[ \Rightarrow \overrightarrow{\text{OA}}\bot \overrightarrow{\text{AB}} \] hay \[ \text{OA}\bot \text{AB} \] 

Do đó:

\[ {{\text{S}}_{\text{OAB}}}=\frac{1}{2}\cdot \text{OA}\cdot \text{AB}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{10}\cdot \sqrt{10}=5 \] 

Bài 5 (trang 46 SGK Hình học 10):

Lời giải:

Với \(\overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(\mathrm{a}_{1} ; \mathrm{a}_{2}\right) \text { và } \overrightarrow{\mathrm{b}}=\left(\mathrm{b}_{1} ; \mathrm{b}_{2}\right)\) thì

\(\cos (\overrightarrow{\mathrm{a}} ; \overrightarrow{\mathrm{b}})=\frac{\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}}{|\overrightarrow{\mathrm{a}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{b}}|}=\frac{\mathrm{a}_{1} \mathrm{~b}_{1}+\mathrm{a}_{2} \mathrm{~b}_{2}}{\sqrt{\mathrm{a}_{1}^{2}+\mathrm{a}_{2}^{2}} \cdot \sqrt{\mathrm{b}_{1}^{2}+\mathrm{b}_{2}^{2}}}\)

a) \(\overrightarrow{\mathrm{a}}=(2 ;-3) ; \overrightarrow{\mathrm{b}}=(6 ; 4)\)

\[ \Rightarrow \text{cos}\left( \text{\vec{a}};\text{\vec{b}} \right)=\frac{2.6+\left( -3 \right)\cdot 4}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-3)}^{2}}}\cdot \sqrt{{{4}^{2}}+{{6}^{2}}}} \] 

\(\Rightarrow(\overrightarrow{\mathrm{a}} ; \overrightarrow{\mathrm{b}})=90^{\circ}\)

b) \(\vec{a}=(3 ; 2) ; \vec{b}=(5 ;-1)\)

\(\Rightarrow \cos (\overrightarrow{\mathrm{a}} ; \overrightarrow{\mathrm{b}})=\frac{3.5+2 \cdot(-1)}{\sqrt{3^{2}+2^{2}} \sqrt{5^{2}+(-1)^{2}}}\)

\(=\frac{13}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{26}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow(\overrightarrow{\mathrm{a}} ; \overrightarrow{\mathrm{b}})=45^{\circ}\)

c) \(\vec{a}=(-2 ;-2 \sqrt{3}) ; \vec{b}=(3 ; \sqrt{3})\)

\[ \Rightarrow \text{cos}\left( \vec{a};\vec{b} \right)=\frac{\left( -2 \right)\cdot 3+\left( -2\sqrt{3} \right)\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{{{(-2)}^{2}}+{{(-2\sqrt{3})}^{2}}}\cdot \sqrt{{{3}^{2}}+{{(\sqrt{3})}^{2}}}} \] 

\[ =\frac{-12}{\sqrt{16}\cdot \sqrt{12}}=\frac{-\sqrt{3}}{2} \] 

\(\Rightarrow(\overrightarrow{\mathrm{a}} ; \overrightarrow{\mathrm{b}})=150^{\circ}\)

Bài 6 (trang 46 SGK Hình học 10):

Lời giải:

\[ \overrightarrow{\text{AB}}=\left( {{\text{x}}_{\text{B}}}-{{\text{x}}_{\text{A}}};{{\text{y}}_{\text{B}}}-{{\text{y}}_{\text{A}}} \right)=\left( 1;7 \right) \] 

\[ \text{DC}=\left( {{\text{x}}_{\text{C}}}-{{\text{x}}_{\text{D}}};{{\text{y}}_{\text{C}}}-{{\text{y}}_{\text{D}}} \right)=\left( 1;7 \right) \] 

\[ \Rightarrow \overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{DC}} \] 

⇒ ABCD là hình bình hành.

\[ \overrightarrow{\text{AD}}=\left( {{\text{x}}_{\text{D}}}-{{\text{x}}_{\text{A}}};{{\text{y}}_{\text{D}}}-{{\text{y}}_{\text{A}}} \right)=\left( -7;1 \right) \] 

\[ \Rightarrow \overrightarrow{\text{AD}}\cdot \overrightarrow{\text{AB}}=\left( -7 \right)\cdot 1+1.7=0 \] 

\[ \Rightarrow \overrightarrow{\text{AD}}\bot \overrightarrow{\text{AB}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\Rightarrow \text{ }\!\!~\!\!\text{ AB}\bot \text{AD} \] 

⇒ hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

\[ \text{AB}=\left| \overrightarrow{\text{AB}} \right|=\sqrt{{{1}^{2}}+{{7}^{2}}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2} \] 

\[ \text{AD}=\left| \overrightarrow{\text{AD}} \right|=\sqrt{{{(-7)}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2} \] 

⇒ AB = AD ⇒ Hình chữ nhật ABCD là hình vuông (đpcm)

Bài 7 (trang 46 SGK Hình học 10):

Lời giải:

B đối xứng với A qua O ⇒ O là trung điểm của AB

\(\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{\text{x}}_{\text{A}}}+{{\text{x}}_{\text{B}}}=2\cdot {{\text{x}}_{0}}=0  \\    {{\text{y}}_{\text{A}}}+{{\text{y}}_{\text{B}}}=2.{{\text{y}}_{0}}=0  \\ \end{matrix}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}    {{\text{x}}_{\text{B}}}=-{{\text{x}}_{\text{A}}}  \\    {{\text{y}}_{\text{B}}}=-{{\text{y}}_{\text{A}}}  \\ \end{matrix} \right. \right. \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{\text{x}}_{\text{B}}}=2  \\    {{\text{y}}_{\text{B}}}=-1  \\ \end{matrix}\Rightarrow \text{B}\left( 2;-1 \right) \right. \)

C có tung độ bằng 2 nên C(x; 2)

\[ \overrightarrow{\text{CA}}=\left( {{\text{x}}_{\text{A}}}-{{\text{x}}_{\text{C}}};{{\text{y}}_{\text{A}}}-{{\text{y}}_{\text{C}}} \right)=\left( -2-\text{x};-1 \right) \] 

\[ \overrightarrow{\text{CB}}=\left( {{\text{x}}_{\text{B}}}-{{\text{x}}_{\text{C}}};{{\text{y}}_{\text{B}}}-{{\text{y}}_{\text{C}}} \right)=\left( 2-\text{x};-3 \right) \] 

Tam giác ABC vuông tại C

\[ \Leftrightarrow \text{CA}\bot \text{CB} \] \[ \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{CA}}\bot \overrightarrow{\text{CB}} \] \[ \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{CA}}\cdot \overrightarrow{\text{CB}}=0 \] 

\[ \Leftrightarrow \left( -2-x \right)\cdot \left( 2-x \right)+\left( -1 \right)\cdot \left( -3 \right)=0 \] 

\[ \Leftrightarrow \left( x+2 \right)\left( x-2 \right)+3=0 \] 

\[ \Leftrightarrow {{x}^{2}}-4+3=0 \] 

\(\Leftrightarrow {{\text{x}}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=1  \\    x=-1  \\ \end{matrix} \right. \)

Vậy có hai điểm C thỏa mãn là C1(1; 2) và C2(–1; 2)

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa tích vô hướng của hai vecto toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Đánh giá (342)
ican
  • Một thương hiệu của 
    ICAN
  • ICAN
  • ICAN © 2023, All Rights Reserved.

  • Trụ sở Hồ Chí Minh: B0003 C/C Sarina, Khu đô thị Sala, Khu phố 3, Đường Hoàng Thế Thiện, Phường An Lợi Đông, TP. Thủ Đức

  • Văn phòng Hà Nội: Tòa nhà 25T2 Đường Hoàng Đạo Thúy, Phường Trung Hòa, Quận Cầu Giấy