ican
Giải SGK Toán 10
Bài 2: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

Bài 2. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

Giải bài tập sách giáo khoa phương trình và hệ phương trình bậc nhất bậc hai toán học 10, toán 10 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Ican

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối.

2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu giá trị tuyệt đối, bằng cách:

– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.

– Bình phương hai vế.

– Đặt ẩn phụ.

Dạng 2: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường

- Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không)

- Đặt ẩn phụ

Dạng 3: Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:

– Nâng luỹ thừa hai vế.

– Phân tích thành tích.

– Đặt ẩn phụ.

Dạng 4: Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0, (a ≠ 0) (*)

- Đặt t = x2 ≥ 0 thì (*) ⇔ at2 + bt + c = 0 .

Một số dạng phương trình bậc bốn quy về bậc hai

Loại 1. ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 với e/a =(d/b)2 ≠ 0

Phương pháp giải: Chia hai vế cho x2 ≠ 0, rồi đặt t = x + α/x ⇒ t2 = (x + α/x)2 với α = d/b

Loại 2. (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e với a + c = b + d

Phương pháp giải: [(x+a)(x+c)]⋅[(x+b)(x+d)] = e

⇔ [x2 + (a+c)x + ac]⋅[x2 + (b+d)x + bd] = e và đặt t = x2 + (a+c)x

Loại 3. (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = ex2 với a.b = c.d

Phương pháp giải: Đặt t = x2 + ab + ((a+b+c+d)/2)x thì phương trình

⇔ (t + ((a+b-c-d)/2)x)(t - ((a+b-c-d)/2)x) = ex2 (có dạng đẳng cấp)

Loại 4. (x+a)4 + (x+b)4 = c

Phương pháp giải: Đặt x = t-(a+b)/2 ⇒ (t + α)4 + (t - α)4 = c với α = (a-b)/2

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1 (trang 62 SGK Đại số 10):

Lời giải:

a) \[ \frac{{{x}^{2}}+3x+2}{2x+3}=\frac{2x-5}{4} \] (1)

Điều kiện xác định \[ x\ne \frac{-3}{2} \] 

\[ (1)\Leftrightarrow 4.\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)=(2x+3)(2x-5)\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}+12x+8=4{{x}^{2}}-4x-15 \] 

\[ \Leftrightarrow 16x=-23\Leftrightarrow x=\frac{-23}{16} \] (TM ĐKXĐ)

Vậy pt có nghiệm \[ x=\frac{-23}{16} \] .

b) \[ \frac{2x+3}{x-3}-\frac{4}{x+3}=\frac{24}{{{x}^{2}}-9}+2 \] (2)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\ne 3  \\    x\ne -3  \\ \end{array} \right. \)

\[ (2)\Leftrightarrow \frac{(2x+3)(x+3)-4(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{24+2\cdot \left( {{x}^{2}}-9 \right)}{{{x}^{2}}-9}\Leftrightarrow \frac{2{{x}^{2}}+5x+21}{{{x}^{2}}-9}=\frac{2{{x}^{2}}+6}{{{x}^{2}}-9} \] 

\[ \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+5x+21=2{{x}^{2}}+6\Leftrightarrow 5x=-15\Leftrightarrow x=-3 \] Không TM ĐKXĐ.

Vậy pt vô nghiệm.

c) \[ \sqrt{3x-5}=3 \] (3)

ĐKXĐ: \[ 3x-5\ge 0\Leftrightarrow x\ge \frac{5}{3} \] 

\[ \text{(3)}\Leftrightarrow 3x-5=9\Leftrightarrow 3x=14\Leftrightarrow x=\frac{14}{3} \] . (TM ĐKXĐ).

Vậy pt có nghiệm \[ x=\frac{14}{3} \] 

d) \[ \sqrt{2x+5}=2 \] (4)

ĐKXĐ: \[ 2x+5\ge 0\Leftrightarrow x\ge \frac{-5}{2} \] 

\[ \text{ (4) }\Rightarrow 2x+5=4\Leftrightarrow 2x=-1\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2} \] (TM ĐKXĐ).

Vậy pt có nghiệm \[ x=\frac{-1}{2} \] .

Bài 2 (trang 62 SGK Đại số 10):

Lời giải:

a) m(x – 2) = 3x + 1

⇔ mx – 2m = 3x + 1

⇔ mx – 3x = 1 + 2m

⇔ (m – 3).x = 1 + 2m (1)

+ Xét m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3, phương trình (1) có nghiệm duy nhất \[ x=\frac{2m+1}{m-3} \] 

+ Xét m – 3 = 0 ⇔ m = 3, pt (1) ⇔ 0x = 7. Phương trình vô nghiệm.

Kết luận:

+ với m = 3, phương trình vô nghiệm

+ với m ≠ 3, phương trình có nghiệm duy nhất \[ x=\frac{2m+1}{m-3} \] 

b) m2x + 6 = 4x + 3m

⇔ m2.x – 4x = 3m – 6

⇔ (m2 – 4).x = 3m – 6 (2)

+ Xét m2 – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±2, phương trình (2) có nghiệm duy nhất:

\[ x=\frac{3m-6}{{{m}^{2}}-4}=\frac{3(m-2)}{(m-2)(m+2)}=\frac{3}{m+2} \] 

+ Xét m2 – 4 = 0 ⇔ m = ±2

● Với m = 2, pt (2) ⇔ 0x = 0 , phương trình có vô số nghiệm

● Với m = –2, pt (2) ⇔ 0x = –12, phương trình vô nghiệm.

Kết luận:

+ m = 2, phương trình có vô số nghiệm

+ m = –2, phương trình vô nghiệm

+ m ≠ ±2, phương trình có nghiệm duy nhất \[ x=\frac{3}{m+2} \] 

c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2

⇔ (2m + 1)x – 3x = 2m – 2

⇔ (2m + 1 – 3).x = 2m – 2

⇔ (2m – 2).x = 2m – 2 (3)

+ Xét 2m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1, pt (3) có nghiệm duy nhất \[ x=\frac{2m-2}{2m-2}=1 \] 

+ Xét 2m – 2 = 0 ⇔ m = 1, pt (3) ⇔ 0.x = 0, phương trình có vô số nghiệm.

Kết luận :

+ Với m = 1, phương trình có vô số nghiệm

+ Với m ≠ 1, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

Bài 3 (trang 62 SGK Đại số 10):

Lời giải:

Gọi số quýt ban đầu ở mỗi rổ là x (quả)

Muốn lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở mỗi rổ lúc đầu phải nhiều hơn 30 quả hay x > 30.

Khi đó rổ thứ nhất còn x – 30 quả; rổ thứ hai có x + 30 quả.

Vì số quả ở rổ thứ hai bằng 1/3 bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất nên ta có phương trình:

\[ x+30=\frac{1}{3}\cdot {{(x-30)}^{2}} \] (1)

Giải phương trình (1):\((1)\Leftrightarrow {{(x-30)}^{2}}=3\cdot (x+30)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-63x+810=0\Leftrightarrow (x-45)(x-18)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x=45  \\    x=18  \\ \end{array} \right.\)

Vì x > 30 nên x = 45 thỏa mãn.

Vậy ban đầu mỗi rổ có 45 quả cam.

Bài 4 (trang 62 SGK Đại số 10):

Lời giải:

a) 2x4 – 7x2 + 5 = 0 (1)

Tập xác định: D = R.

Đặt t = x2, điều kiện t ≥ 0.

Khi đó phương trình (1) trở thành:

2t2 – 7t + 5 = 0⇔ (2t – 5) (t – 1) = 0 \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   2t-5=0  \\    t-1=0  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}    t=\frac{5}{2}  \\    t=1  \\ \end{array} \right. \right. \)

+) xét \[ t=\frac{5}{2} \] ta có \[ {{x}^{2}}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{5}{2}} \] .

+) xét \[ t=1 \] ta có \[ {{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1 \] 

Vậy pt có tập nghiệm \[ S=\left\{ \sqrt{\frac{5}{2}};-\sqrt{\frac{5}{2}};1;-1 \right\} \] 

b) 3x4 + 2x2 – 1 = 0 (2)

Tập xác định : D = R.

Đặt t = x2, điều kiện t ≥ 0

Khi đó phương trình (2) trở thành :

3t2 + 2t – 1 = 0 ⇔ (3t – 1)(t + 1) = 0

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}  3t-1=0  \\    t+1=0  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}    t=\frac{1}{3}>0  \\    t=-1<0  \\ \end{array} \right. \right. \)

Với \[ t=\frac{1}{3} \] ta có \[ {{x}^{2}}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{1}{3}} \] .

Vậy pt có 2 nghiệm \[ x=\sqrt{\frac{1}{3}}\text{ ;}\,\,x=-\sqrt{\frac{1}{3}} \] .

Bài 5 (trang 62 SGK Đại số 10):

Hướng dẫn, đối với máy fx -570, ta sử dụng lần lượt các phím MODE =>5 =>3.

Sau đó nhập hệ số a, b, c để nhận kết quả.

Cụ thể:

a) \[ {{x}_{1}}=3,13;\,\,{{x}_{2}}=-0,64 \] 

b) \[ {{\text{x}}_{1}}=1,72;\,{{\text{x}}_{2}}=-0.387 \] 

c) \[ {{\text{x}}_{1}}=-1;{{\text{x}}_{2}}=-1.333 \] 

d) \[ {{\text{x}}_{1}}=1.079;\,{{\text{x}}_{2}}=-0.412 \] 

Bài 6 (trang 62-63 SGK Đại số 10):

Lời giải:

a) |3x – 2| = 2x + 3 (1)

Tập xác định: D = R.

+ Nếu \[x\ge \frac{2}{3}\] thì phương trình (1) trở thành 3x – 2 = 2x + 3. Từ đó x = 5 (tmđk)

+ Nếu \[x<\frac{2}{3}\] thì phương trình (1) trở thành 2 – 3x = 2x + 3. Từ đó \[x=\frac{-1}{5}\] (tmđk)

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 5 và \[x=\frac{-1}{5}\].

b) |2x - 1| = |-5x - 2| (2)

Tập xác định D = R.

Ta có: \[ (2)\Leftrightarrow {{(2x-1)}^{2}}={{(-5x-2)}^{2}}\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-4x+1=25{{x}^{2}}+20x+4 \] 

\(\Leftrightarrow 21{{\text{x}}^{2}}+24\text{x}+3=0\Leftrightarrow (21\text{x}+3)(\text{x}+1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   21\text{x}+3=0  \\    \text{x}+1=0  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}    \text{x}=\frac{-1}{7}  \\    \text{x}=-1  \\ \end{array} \right. \right. \)

 

Vậy phương trình có hai nghiệm \[ x=\frac{-1}{7} \] và x = –1.

c) \[ \frac{x-1}{2x-3}=\frac{-3x+1}{|x+1|} \] (3)

Đkxđ: \[ \text{x}\ne \frac{3}{2}\text{;}\,\,\text{x}\ne -1 \] 

+ Xét x > –1, khi đó x + 1 > 0 nên |x + 1| = x + 1.

Khi đó pt (3) \[\Leftrightarrow \frac{x-1}{2x-3}=\frac{-3x+1}{x+1}\Leftrightarrow (x-1)(x+1)=(-3x+1)(2x-3)\]

\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=-6{{x}^{2}}+11x-3\Leftrightarrow 7{{x}^{2}}-11x+2=0\Leftrightarrow x=\frac{11\pm \sqrt{65}}{14}\] (tmđk)

+ Xét x < –1, khi đó x + 1 < 0 nên |x + 1| = –x – 1.

Khi đó pt (3) \[ \Leftrightarrow \frac{x-1}{2x-3}=\frac{-3x+1}{-x-1}\Leftrightarrow (x+1)(-x-1)=(2x-3)(-3x+1) \] 

\[ \Leftrightarrow 1-{{x}^{2}}=-6{{x}^{2}}+11x-3\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}-11x+4=0\Leftrightarrow x=\frac{11\pm \sqrt{41}}{10} \] 

(không thỏa mãn điều kiện x < –1).

Vậy phương trình có hai nghiệm là \[ \text{x}=\frac{11\pm \sqrt{65}}{14} \] 

d) |2x + 5| = x2 + 5x + 1 (4)

Tập xác định: D = R.

+ Xét \[ 2x+5\ge 0\Leftrightarrow x\ge \frac{-5}{2} \] , khi đó |2x + 5| = 2x + 5

Khi đó pt (4) ⇔ 2x + 5 = x2 + 5x + 1

⇔ x2 + 3x – 4 = 0

⇔ (x + 4)(x – 1) = 0

⇔ x = –4 (không thỏa mãn) hoặc x = 1 (thỏa mãn)

+ Xét \[ 2x+5<0\Leftrightarrow x<\frac{-5}{2} \] , khi đó |2x + 5| = –2x – 5.

Khi đó pt (4) ⇔ –2x – 5 = x2 + 5x + 1

⇔ x2 + 7x + 6 = 0

⇔ (x + 1)(x + 6) = 0

⇔ x = –1 (không thỏa mãn) hoặc x = –6 (thỏa mãn).

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 hoặc x = –6.

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa phương trình và hệ phương trình bậc nhất bậc hai toán học 10, toán 10 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Đánh giá (351)
ican
  • Một thương hiệu của 
    ICAN
  • ICAN
  • ICAN © 2023, All Rights Reserved.

  • Trụ sở Hồ Chí Minh: B0003 C/C Sarina, Khu đô thị Sala, Khu phố 3, Đường Hoàng Thế Thiện, Phường An Lợi Đông, TP. Thủ Đức

  • Văn phòng Hà Nội: Tòa nhà 25T2 Đường Hoàng Đạo Thúy, Phường Trung Hòa, Quận Cầu Giấy