Ôn tập chương 4.Bất đẳng thức. Bất phương trình

ÔN TẬP CHƯƠNG IV. BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH

A. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

I. Bất đẳng thức

1. Tính chất của bất đẳng thức

Tính chất 1: (Tính chất bắc cầu): Nếu a > b và b > c thì a > c.

Tính chất 2: Nếu \[a>b\Leftrightarrow a+c>b+c.\]

Tính chất 3: Nếu a > b thì ac > bc nếu c > 0 và ac < bc nếu c < 0.

Chúng ta có các quy tắc sau:

Quy tắc 1: (Phép cộng): Nếu a > b và c > d suy ra a + c > b + d.

Chú ý quan trọng: không áp dụng được "quy tắc" trên cho phép trừ hai bất đẳng thức cùng chiều.

Quy tắc 2: (Phép nhân): Nếu a > b > 0 và c > d > 0 suy ra: ac > bd.

Quy tắc 3: (Phép nâng lên luỹ thừa): Nếu a > b > 0 \[ \Rightarrow {{a}^{n}}>{{b}^{n}}\,,\,\,\forall n\in {{N}^{*}} \] .

Quy tắc 4: (Phép khai căn): Nếu a > b > 0 thì \[ \sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b},\,n\in {{N}^{*}} \] .

2. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối.

Từ định nghĩa giá trị tuyệt đói, ta suy ra các tính chất sau:

a) \[-\left| a \right|với mọi số thực a.

b) \[\left| x \right|với a > 0.

c) \[\left| x \right|>a\Leftrightarrow x<-a\] hoặc \[x>a\]với a > 0.

Định lí: Với hai số thực a, b tuỳ ý, ta có \[\left| a \right|-\left| b \right|<\left| a+b \right|<\left| a \right|+\left| b \right|.\]

3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Cô – si).

Định lí: Với hai số không âm a, b, ta có:

\[ \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab} \] 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Hệ quả 1: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi hình vuông có diện tích lớn nhất.

Hệ quả 2: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi nhỏ nhất.

Mở rộng

1. Với các sốa, b, c không âm, ta luôn có:

\[ \frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc} \] 

dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

2. Với n số \[ {{a}_{i}},i=\overline{1,n} \] không âm, ta luôn có:

\[ {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}\ge {{n}_{n}}\sqrt{{{a}_{1}}\cdot {{a}_{2}}\cdots {{a}_{n}}} \] 

dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \[ {{a}_{1}}={{a}_{2}}=\ldots ={{a}_{n}} \] .

4. Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Định lí: Cho \[ {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{b}_{1}},{{b}_{2}} \] là những số thực, ta có:

\[{{\left( {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}} \right)}^{2}}\le \left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2} \right)\left( b_{1}^{2}+b_{2}^{2} \right)\]

dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \[ \frac{{{a}_{1}}}{{{b}_{1}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{b}_{2}}} \] .

II. Bất phương trình

1. Biến đổi tương đương các bất phương trình

Đinh lí: Cho bất phương trình f(x) < g(x) với ĐKXĐ D, h(x) là một biểu thức xác định với mọi x thoả mãn điều kiện D (h(x) có thể là hằng số). Khi đó, với điều kiện D, bất phương trình f(x) < g(x) tương đương với mỗi bất phương trình sau:

a. f(x) + h(x) < g(x) + h(x).

b. f(x).h(x) < g(x).h(x) nếu h(x) > 0 với \[ \forall x\in D \] .

c. f(x).h(x) > g(x).h(x) nếu h(x) < 0 với \[ \forall x\in D \] .

2. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Với yêu cầu "Giải và biện luận bấtphũơng trình ax + b < 0" ta sẽ thực hiên như sau:

Viết lại bất phương trình dưới dạng:

ax < -b. (1)

Ta xét ba trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu a = 0 thì:

\[ (1)\Leftrightarrow 0<-b\Leftrightarrow b<0. \] 

Vậy, ta được:

+ Nếu b < 0, bất phươngtrình nghiệm đúng với mọi x.

+ Nếu b > 0, bất phươngtrình vô nghiệm.

Trường hợp 2: Nếu a > 0 thì:

\[ (1)\Leftrightarrow x<-\frac{b}{a} \] 

Trường hợp 3: Nếu a < 0 thì:

\[ (1)\Leftrightarrow x>-\frac{b}{a} \] 

Chú ý:

1. Tương tự chúng ta cũng giải và biên luận được các bất phương trình: ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b > 0.

2. Để giải một hệ bất phương trình một ẩn, ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm thu được.

III. Dấu của nhị thức bậc nhất.

Bảng xét dấu

IV. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình

\[ ax+by\le c \] (1)

Trong đó a và b là hai số không đồng thời bằng 0.

Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng \[ (\Delta ):ax+by=c. \] 

Bước 2. Lấy một điểm \[ {{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\notin (\Delta ) \] (ta thường lấy gốc tọa độ O).

Bước 3. Tính \[ a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}} \] và so sánh \[ a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}} \] với c.

Bước 4. Kết luận

Nếu \[ a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}} thì nửa mặt phẳng bờ \[ (\Delta ) \] chứa \[ {{M}_{0}} \] là miền nghiệm của \[ ax+by\le c \] .

Nếu \[ a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}>c \] thì nửa mặt phẳng bờ \[ (\Delta ) \] không chứa \[ {{M}_{0}} \] là miền nghiệm của \[ ax+by\le c \] .

2. Bỏ bờ miền nghiệm của bất phương trình (1) ta được miền nghiệm của bất phương trình ax+by

Miền nghiệm của các bất phương trình \[ax+by\ge c\] và \[ax+by>c\] được xác định tương tự.

3. Biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

\(\left\{\begin{array}{l}a x+b y \leq c \\ a^{\prime} x+b^{\prime} y \leq c^{\prime}\end{array}\right.\)

Vẽ các đường thẳng \[ (\Delta ):\,\,\,ax+by=c \] và \[ \left( \Delta ' \right):a'x+b'y=c' \] .

Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình và tìm giao của chúng.

V. Dấu của tam thức bậc hai

Định lí:

Cho \[ f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c(a\ne 0),\,\,\,\Delta ={{b}^{2}}-4ac \] .

Nếu △ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x ∈ R.

Nếu △ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x = -b/2a.

Nếu △ > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi \[x<{{x}_{1}}\] hoặc \[x<{{x}_{2}}\], trái dấu với hệ số a khi \[{{x}_{1}}trong đó \[{{x}_{1}},{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right)\]là hai nghiệm của f(x).

Chú ý: Để giải bất phươngtrình bậc hai, ta sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

1. Chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp:

+ Sử dụng các phép biến đổi tương đương đưa về một bất đẳng thức đúng.

+ Sử dụng bất đẳng thức Cô – si, Bunhiacốpxki,…

+ Sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối…

2. Xét dấu nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai và các tích, thương của chúng

Phương pháp: Sử dụng định lý về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để xét dấu.

3. Giải bất phương trình

Phương pháp: Đối với bất phương trình đưa về dạng tích, thương các nhị thức bậc nhất và bậc hai, ta sử dụng định lý về dấu nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để xét dấu.

Đối với một số dạng khác, ta có thể biến đổi tương đương về hằng đẳng thức, hoặc dùng bất đẳng thức để đánh giá.

4. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp: Xem lại mục IV phần tóm tắt lý thuyết.

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

I. Bài tập tự luận

Bài 1 (Trang 106, SGK)

a) x > 0

b) y ≥ 0

c) ∀α ∈ R, ∣α∣ ≥ 0

d) \[ \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab},\forall a>0,\forall b>0 \] .

Bài 2 (Trang 106, SGK)

a) a, b cùng dấu;

b) a, b cùng dấu;

c) a, b trái dấu;

d) a, b trái dấu.

Bài 3 (Trang 106, SGK)

Suy luận C đúng. Nếu y ≤ 0 thì xy ≤ 0 ≤ 1; nếu 0 < y < 1 thì theo tính chất nhân hai bất đẳng thức cùng chiều suy ra xy < 1.

Bài 4 (Trang 106, SGK)

Gọi x là khối lượng thực của vật đó. Do khi cân một vật với độ chính xác đến 0,05. Nên: P – 0,05 ≤ x ≤ P + 0,05

Mà P = 26,4kg ⇒ 26,35 ≤ x ≤ 26,45.

Bài 5 (Trang 106, SGK)

Đồ thị hai hàm số (hình dưới đây)

a) f(x) = g(x) ⇔ x + 1 = 3 – x ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1.

b) f(x) > g(x) ⇔ x + 1 > 3 – x ⇔ 2x > 2 ⇔ x > 1.

c) f(x) < g(x) ⇔ x + 1 < 3 – x ⇔ 2x < 2 ⇔ x < 1.

Bài 6 (Trang 106, SGK)

Ta có:

\(A=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b} =\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương ta có:

\[ A=\left( \frac{a}{c}+\frac{c}{a} \right)+\left( \frac{b}{c}+\frac{c}{b} \right)+\left( \frac{b}{a}+\frac{a}{b} \right)\ge 2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{a}{c}\cdot \frac{c}{a}}+2\sqrt{\frac{c}{b}\cdot \frac{b}{c}}=2+2+2=6 \] .

Dấu bằng xảy ra khi:

\[ \frac{a}{b}=\frac{b}{a};\frac{a}{c}=\frac{c}{a};\frac{c}{b}=\frac{b}{c}\Leftrightarrow a=b=c \] .

Bài 7 (Trang 107, SGK)

Điều kiện của một bất phương trình là các điều kiện của ẩn số x để các biểu thức có trong bất phương trình có nghĩa.

Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng).

Bài 8 (Trang 107, SGK)

\[ ax+by\le c \] (1)

Trong đó a và b là hai số không đồng thời bằng 0.

Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng \[ (\Delta ):ax+by=c. \] 

Bước 2. Lấy một điểm \[ {{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\notin (\Delta ) \] (ta thường lấy gốc tọa độ O).

Bước 3. Tính \[ a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}} \] và so sánh \[ a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}} \] với c.

Bước 4. Kết luận

Nếu \[ a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}} thì nửa mặt phẳng bờ \[ (\Delta ) \] chứa \[ {{M}_{0}} \] là miền nghiệm của \[ ax+by\le c \] .

Nếu \[ a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}>c \] thì nửa mặt phẳng bờ \[ (\Delta ) \] không chứa \[ {{M}_{0}} \] là miền nghiệm của \[ ax+by\le c \] .

Bài 9 (Trang 107, SGK)

Cho \[ f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c(a\ne 0),\,\,\,\Delta ={{b}^{2}}-4ac \] .

Nếu △ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x ∈ R.

Nếu △ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x = -b/2a.

Nếu △ > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi \[x<{{x}_{1}}\] hoặc \[x<{{x}_{2}}\], trái dấu với hệ số a khi \[{{x}_{1}}trong đó \[{{x}_{1}},{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \right)\]là hai nghiệm của f(x).

Bài 10 (Trang 107, SGK)

Ta có:

\(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}-(\sqrt{a}+\sqrt{b})=\frac{a \sqrt{a}+b \sqrt{b}-a \sqrt{b}-b \sqrt{a}}{\sqrt{a b}} =\frac{(\sqrt{a})^{3}+(\sqrt{b})^{3}-\sqrt{a b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a b}}=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a+b-2 \sqrt{a b})}{\sqrt{a b}} =\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{\sqrt{a b}} \geq 0 \Rightarrow \frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}} \geq \sqrt{a}+\sqrt{b}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a, b > 0 và a = b.

Bài 11 (Trang 107, SGK)

a) Ta có: \[ \text{f}(\text{x})={{x}^{4}}-{{x}^{2}}+6x-9={{x}^{4}}-{{(x-3)}^{2}}=\left( {{x}^{2}}-x+3 \right)\left( {{x}^{2}}+x-3 \right) \] .

Vì \[ {{x}^{2}}-x+3>0,\forall x \] nên f(x) luôn cùng dấu với dấu của tam giác \[ {{x}^{2}}+x-3 \] .

Vậy:

\(f(x)>0 \Leftrightarrow x^{2}+x-3>0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x<\frac{-1-\sqrt{13}}{2} \\ x>\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\end{array}\right.\)

\(f(x)<0 \Leftrightarrow x^{2}+x-3<0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x>\frac{-1-\sqrt{13}}{2} \\ x<\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\end{array}\right.\)

\[ g(x)={{x}^{2}}-2x-\frac{4}{{{x}^{2}}-2x}=\frac{{{\left( {{x}^{2}}-2x \right)}^{2}}-4}{{{x}^{2}}-2x}=\frac{\left( {{x}^{2}}-2x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)}{{{x}^{2}}-2x} \] 

Vì \[ {{x}^{2}}-2x+2>0 \] , , ∀x nên g(x) luôn cùng dấu với dấu của biểu thức:

\[ \frac{{{x}^{2}}-2x+2}{{{x}^{2}}-2x} \] .

Ta có bảng xét dấu:

Vậy

\(g(x)>0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x<1-\sqrt{3} \\ 01+\sqrt{3}\end{array}\right.\)

\(g(x)<0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}1-\sqrt{3}

b) \[ x\left( {{x}^{3}}-x+6 \right)>9\Leftrightarrow {{x}^{4}}-{{x}^{2}}+6x-9>0 \] 

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x<\frac{-1-\sqrt{13}}{2} \\ x>\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\end{array}\right.\) (đã chứng minh ở câu a).

Vậy nghiệm nguyên của BPT đã cho là x nguyên sao cho \[ x\ge 2 \] hoặc \[ x\le -3 \] .

Bài 12 (Trang 107, SGK)

Ta đặt: \[ \text{f}(\text{x})={{b}^{2}}{{x}^{2}}-\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}} \right)x+{{c}^{2}}>0 \] .

\(\Delta=\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}-4 b^{2} c^{2} =\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}+2 b c\right)\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}-2 b c\right) \)

\(=\left[(b+c)^{2}-a^{2}\right]\left[(b-c)^{2}-a^{2}\right] =(b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)\)

Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên a, b, c > 0 và tổng hai cạnh lớn hơn cạnh thứ ba nên a – c – a < 0; b – c + a > 0; b + c – a > 0; a + c + a > 0. Vậy △ < 0.

Kết hợp với \[ {{b}^{2}}>0 \] , ta có f(x) > 0, ∀x ∈ R.

Bài 13 (Trang 107, SGK)

Ta vẽ các đường thẳng:

3x + y – 9 = 0, x – y + 3 = 0, x + 2y – 8 = 0; y = 6 rồi lấy tọa độ của 0 (0;0) thế vào phương trình mỗi đường thẳng. Từ đó suy ra miền nghiệm của bất phương trình ⇒ Hệ bất phương trình đã cho vô nghiệm.

II. Bài tập trắc nghiệm

Bài 14 (Trang 107, SGK)

Chọn phương án (B).

Thay trực tiếp x = -2 vào mỗi bất phương trình.

Bài 15 (Trang 108, SGK)

Chọn phương án (C).

Vì ta có điều kiện x ≥ 0 ⇒ x + 1 > 0 nên nhân hai vế bất phương trình đã cho với x + 1 ta được bất phương trình tương đương \[ {{(x+1)}^{2}}\sqrt{x}\le 0 \] .

Bài 16 (Trang 108, SGK)

Chọn phương án (C).

Với m = 0 thì bất phương trình có nghiệm x > 1.

Bài 17 (Trang 108, SGK)

Chọn phương án (C).

Vì mọi x ≤ 0 không là nghiệm của bất phương trình đầu, mọi x > 0 không là nghiệm của bất phương trình sau.

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa ôn tập chương 4 toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất