Ôn tập chương 1

ÔN TẬP CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

A. MỆNH ĐỀ

1. Mệnh đề

Mỗi mệnh đề phải đúng hoặc sai.

Mỗi mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

2. Phủ định của một mệnh đề

Kí hiệu mệnh phủ định của mệnh đề P là  $$ \overline{P} $$   ta có

-  $$ \overline{P} $$  đúng khi P sai.

-  $$ \overline{P} $$  sai khi P đúng.

3. Mệnh đề kéo theo

Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo, và kí hiệu là P => Q.

Mệnh đề P => Q còn được phát biểu là “P kéo theo Q” hoặc “Từ P suy ra Q”.

Mệnh đề P => Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.

Như vậy, ta chỉ xét tính đúng sai của mệnh đề P => Q khi P đúng. Khi đó, nếu Q đúng thì P => Q đúng, nếu Q sai thì P => Q sai.

Các định lí, toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng P => Q.

Khi đó ta nói P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hoặc P là điều kiện đủ để có Q hoặc Q là điều kiện cần để có P.

4. Mệnh đề đảo, hai mệnh đề tương

Mệnh đề Q => P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P => Q

Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.

Nếu cả hai mệnh đề P => Q và Q => P đều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương.

B. TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

1. Cách xác định tập hợp

Một tập hợp có thể được xác định bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.

Vậy ta có thể xác định một tập hợp bằng một trong hai cách sau

- Liệt kê các phần tử của nó.

- Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.

2. Giao của 2 tập hợp

 \(x\in \text{A}\cap B\Leftrightarrow \text{x}\in \text{A}\cap \text{B}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}\text{x}\in \text{A}  \\    \text{x}\in \text{B}  \\ \end{array} \right. \)  

3. Hợp của 2 tập hợp

 \( x\in A\cup B\Leftrightarrow x\in A\cup B\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x\in A  \\    x\in B  \\ \end{array} \right. \)

4. Hiệu của 2 tập hợp

 \( x\in \text{A}\backslash B\Leftrightarrow \text{x}\in \text{A}\backslash \text{B}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}\text{x}\in \text{A}  \\    \text{x}\notin \text{B}  \\ \end{array} \right. \)  

5. Phần bù

Khi B ⊂ A thì A\B gọi là phần bù của B trong A

C. CÁC TẬP HỢP SỐ

1. Tập hợp các số tự nhiên N

N = {0,1,2,3…};

N* = {1,2,3,…}.

2. Tập hợp các số nguyên Z

Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,…}.

3. Tập hợp các số hữu tỉ Q

Số hữu tỉ biểu diễn được dưới dạng một phân số  $$ \frac{a}{b} $$  trong đó a, b ∈ Z , b ≠ 0.

Số hữu tỉ còn biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

4. Tập hợp các số thực R

Tập hợp các số thực gồm các số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn và vô hạn không tuần hoàn. Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ.

Tập hợp các số thực gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ.

D. SỐ GẦN ĐÚNG, SAI SỐ

Độ chính xác của một số gần đúng.

Nếu $$ {{\Delta }_{a}}=|\bar{a}-a|\le \text{d} $$ thì  $$ -d\le \bar{a}-a\le d $$  hay  $$ a-d\le \bar{a}\le a+d $$

Quy tắc làm tròn số

Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bởi chữ số 0.

Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cũng làm như trên, nhưng cộng thêm một đơn vị vào chữ số của hàng quy tròn.

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Xác định tính đúng sai của mệnh đề

Phương pháp giải

+ Mệnh đề: xác định giá trị (Đ) hoặc (S) của mệnh đề đó.

+ Mệnh đề chứa biến p(x): Tìm tập hợp D của các biến x để p(x) (Đ) hoặc (S).

Dạng 2: Phát biểu mệnh đề điều kiện cần và đủ

Phương pháp giải

Mệnh đề: P ⇒ Q

Khi đó: P là giả thiết, Q là kết luận.

Hoặc P là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q là điều kiện cần để có P.

Dạng 3: Phủ định mệnh đề

Phương pháp giải

Mệnh đề phủ định của P là "Không phải P".

Mệnh đề phủ định của "∀x ∈ X,P(x)" là: $$ ''\exists x\in X,\,\overline{P(x)}'' $$

Mệnh đề phủ định của "∃x ∈ X,P(x)" là  $$ ''\forall x\in X,\overline{P(x)}'' $$ .

Dạng 4: Xác định tập hợp

- Liệt kê các phần tử của nó.

- Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.

Dạng 5: Xác định tập hợp con

A ⊂ B ⇔ ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B.

A ⊄ B ⇔ ∀x : x ∈ A ⇒ x ∉ B.

Dạng 6: Các phép toán trên tập hợp

Phương pháp giải

Hợp của 2 tập hợp:

 \(x\in A\cup B\Leftrightarrow x\in A\cup B\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x\in A  \\    x\in B  \\ \end{array} \right. \)

Giao của 2 tập hợp

 \( x\in \text{A}\cap B\Leftrightarrow \text{x}\in \text{A}\cap \text{B}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \text{x}\in \text{A}  \\    \text{x}\in \text{B}  \\ \end{array} \right. \)  

Hiệu của 2 tập hợp

 \(x\in \text{A}\backslash B\Leftrightarrow \text{x}\in \text{A}\backslash \text{B}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}\text{x}\in \text{A}  \\    \text{x}\notin \text{B}  \\ \end{array} \right. \)  

Phần bù

Khi B ⊂ A thì A\B gọi là phần bù của B trong A.

Dạng 7: Sử dụng quy tắc làm tròn số để giải bài tập.

Cách viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước

Cho số gần đúng a với độ chính xác d (tức là  $$ \bar{a}=a\pm d $$ ). Khi bài toán yêu cầu quy tròn số a mà không nói rõ quy tròn đến hàng nào thì ta quy tròn a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó.

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1 (trang 24 SGK Đại số 10): 

Lời giải:

A đúng thì \[\overline{A}\]sai

A sai thì \[\overline{A}\]đúng

Trong đó \[\overline{A}\] là mệnh đề phủ định của mệnh đề A.

Bài 2 (trang 24 SGK Đại số 10): 

Lời giải:

+ Mệnh đề đảo của mệnh đề A ⇒ B là mệnh đề B ⇒ A.

+ Nếu mệnh đề A ⇒ B đúng thì mệnh đề B ⇒ A có thể đúng hoặc sai.

Ví dụ:

+ Mệnh đề A: “ΔABC là tam giác đều”.

Mệnh đề B: “ΔABC có AB = BC = CA”

Mệnh đề A ⇒ B là mệnh đề đúng và mệnh đề B ⇒ A cũng là mệnh đề đúng.

+ Mệnh đề A: “ΔABC là tam giác đều”

Mệnh đề B: “ΔABC có AB = BC ”

Mệnh đề A ⇒ B là mệnh đề đúng nhưng mệnh đề B ⇒ A sai.

Bài 3 (trang 24 SGK Đại số 10): 

Lời giải:

A và B là hai mệnh đề tương đương nếu cả hai mệnh đề A ⇒ B và B ⇒ A đều đúng

Bài 4 (trang 24 SGK Đại số 10): 

Lời giải:

– Tập hợp con: Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói rằng tập hợp A là tập hợp con của tập hợp B.

Kí hiệu: A ⊂ B ⇔ ∀ x ∈ A thì x ∈ B

– Khi A ⊂ B và B ⊂ A ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A = B.

(Hiểu cách khác: Hai tập hợp bằng nhau là hai tập hợp có phần tử giống hệt nhau).

Bài 5 (trang 24 SGK Đại số 10): 

Lời giải:

– Giao của hai tập hợp: A ∩ B = {x | x ∈ A và x ∈ B}

– Hợp của hai tập hợp: A ∪ B = {x | x ∈ A hoặc x ∈ B}

– Hiệu của A và B: A \ B = {x | x ∈ A và x ∉ B}

– Phần bù của B trong A: Nếu B ⊂ A thì A \ B gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu: CAB.

- Hình minh họa:

Bài 6 (trang 24 SGK Đại số 10): 

Lời giải:

- Đoạn: [a; b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

- Khoảng: (a; b) = {x ∈ R | a < x < b}

- Nửa khoảng:

        [a; b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}

        (a; b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}

        (-∞; b] = {x ∈ R | x ≤ b}

        [a; +∞) = {x ∈ R | x ≥ a}

- Tập hợp \[R=\left( -\infty ;+\infty  \right)\].

Bài 7 (trang 24 SGK Đại số 10): 

Lời giải:

Nếu  $$ {{\Delta }_{a}} $$ là số gần đúng của  $$ \overline{a} $$  thì  $$ {{\Delta }_{a}}=|\bar{a}-a| $$ được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.

Nếu $$ {{\Delta }_{a}}=|\bar{a}-a|\le \text{d} $$ thì  $$ -d\le \bar{a}-a\le d $$  hay  $$ a-d\le \bar{a}\le a+d $$  thì d được gọi là độ chính xác của một số gần đúng.

Bài 8 (trang 24 SGK Đại số 10): 

Lời giải:

a) Mệnh đề P ⇒ Q là "Nếu ABCD là một hình vuông thì nó là một hình bình hành". Mệnh đề này đúng.

b) Mệnh đề P ⇒ Q là "Nếu ABCD là một hình thoi thì ABCD là một hình chữ nhật". Mệnh đề này sai.

Bài 9 (trang 25 SGK Đại số 10): 

Lời giải:

- Vì hình vuông là hình chữ nhật nên E ⊂ D.

- Vì hình chữ nhật là hình bình hành nên D ⊂ B.

- Vì hình bình hành là hình thang nên B ⊂ C.

- Vì hình thang là hình tứ giác nên C ⊂ A.

Vậy E ⊂ D ⊂ B ⊂ C ⊂ A.

Mặt khác:

- Vì hình vuông là hình thoi nên E ⊂ G.

- Vì hình thoi là hình bình hành nên G ⊂ B.

Vậy E ⊂ G ⊂ B ⊂ C ⊂ A.

Bài 10 (trang 25 SGK Đại số 10): 

Lời giải:

a)

Do đó: A = {-2, 1, 4, 7, 10, 13}.

b) B = {0; 1; 2; 3; ... ; 12}

c) Vì n ∈ N nên:

    (-1)n = 1 nếu n = 0 hoặc n chẵn

    (-1)n = -1 nếu n lẻ.

Do đó: C = {1; -1}.

Bài 11 (trang 25 SGK Đại số 10): 

Lời giải:

Các mệnh đề tương đương:

            P ⇔ T

            R ⇔ S

            Q ⇔ X

Bài 12 (trang 25 SGK Đại số 10): 

Lời giải:

a) (-3; 7) ∩ (0; 10) = (0; 7)

b) (-∞; 5) ∩ (2; +∞) = (2; 5)

c) R \ (-∞; 3) = [3; +∞)

Bài 13 (trang 25 SGK Đại số 10): 

- Dùng máy tính ta có: ∛12 ≈ 2,289428485.

- Làm tròn đến 3 chữ số phần thập phân là: ∛12 ≈ 2,289.

- Sai số tuyệt đối: Δα = |2,289 – ∛12 | < |2,289 – 2,2895| < 0,0005.

Vậy sai số tuyệt đối không vượt quá 0,0005.

Bài 14 (trang 25 SGK Đại số 10): 

Lời giải:

Ta có h = 347,13 ± 0,2 m có độ chính xác đến hàng phần chục (độ chính xác bằng 0,2) nên ta quy tròn số đến hàng đơn vị.

Số quy tròn của 347,13 là 347 m.

Bài 15 (trang 25 SGK Đại số 10): 

Lời giải:

a) A ⊂ (A ∪ B) đúng vì A ∪ B chứa toàn bộ các phần tử của tập hợp A.

b) A ⊂ (A ∩ B) sai vì A ∩ B chỉ chứa những phần tử chung của A và B.

Sửa lại (A ∩ B) ⊂ A.

c) (A ∩ B) ⊂ (A ∪ B) đúng.

d) (A ∪ B) ⊂ B sai vì A ∪ B chứa cả những phần tử thuộc A.

e) (A ∩ B) ⊂ A đúng.

Bài tập trắc nghiệm

Bài 16 (trang 26 SGK Đại số 10): 

Chọn A.

– B sai vì [b;c) chứa cả điểm b mà (b;d) không chứa điểm b.

– C sai vì (a; c) ∩ [b; d) = [b; c)

– D sai vì (a; c) ∪ (b; d) = (a; d)

Bài 17 (trang 26 SGK Đại số 10): 

Lời giải:

Chọn B.

P ⇒ Q là mệnh đề đúng thì ta nói P là điều kiện đủ để có Q.