CHƯƠNG IV. BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH.
BÀI 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Điều kiện của một bất phương trình là điều kiện mà ẩn số phải thỏa mãn để các biểu thức ở hai vế của bất phương trình có nghĩa.
2. Hai bất phương trình (hệ bất phương trình) được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
3. Các phép biến đổi bất phương trình Kí hiệu \[ D \] là tập các số thực thỏa mãn điều kiện của bất phương trình \[ P(x) .
a) Phép cộng Nếu \[ f(x) \] xác định trên \[ D \] thì \[ P(x) .
b) Phép nhân Nếu \[ f(x)>0,\forall x\in D \] thì \[ P(x) Nếu \[ f(x)<0,\forall x\in D \] thì \[ P(x)Q(x)\cdot f(x) \]
c) Phép bình phương Nếu \[ P(x)\ge 0;Q(x)\ge 0,\forall x\in D \] thì \[ P(x)
4. Chú ý. Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình, điều kiện của bất phương trình thường bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệm của bất phương trình đã cho ta phải tìm các giá trị của ẩn đồng thời thỏa mãn bất phương trình mới và điều kiện của bất phương trình đã cho.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm điều kiện của bất phương trình
Phương pháp:
- Đối với bất phương trình có chứa căn bậc hai, biểu thức dưới căn phải lớn hơn hoặc bằng 0.
- Đối với bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu, điều kiện là mẫu số khác 0.
Ví dụ: Tìm điều kiện của bất phương trình \[ \sqrt{\frac{x+1}{{{(x-2)}^{2}}}} .
Giải
Điều kiện của bất phương trình là \[ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+1\ge 0 \\ x-2\ne 0 \end{array} \right. \] hay \[ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\ge -1 \\ x\ne 2 \end{array} \right. \] .
Dạng 2. Giải bất phương trình.
Phương pháp:
Bước 1. Tìm điều kiện của bất phương trình.
Bước 2. Dùng các phép biến đổi bất phương trình (phép cộng, phép nhân, phép bình phương) đưa về bất phương trình đơn giản để tìm điều kiện của \[ x \] .
Bước 3. Đối chiếu với điều kiện và kết luận tập nghiệm.
Ví dụ: Giải bất phương trình \[ \frac{(x-4)\sqrt{x-5}}{\sqrt{x-5}}<2 \] .
Giải
Điều kiện: \[ x-5>0\Leftrightarrow x>5 \] .
\[ \frac{(x-4)\sqrt{x-5}}{\sqrt{x-5}}<2\Leftrightarrow x-4<2\Leftrightarrow x<6 \] .
Kết hợp với điều kiện suy ra \[ 5 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[ S=(5,6) \] .
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1/Tr87
Tìm các giá trị \[ x \] thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau
a) \[ \frac{1}{x}<1-\frac{1}{x+1} \] ;
b) \[ \frac{1}{{{x}^{2}}-4}\le \frac{2x}{{{x}^{2}}-4x+3} \] ;
c) \[ 2|x|-1+\sqrt[3]{x-1}<\frac{2x}{x+1} \] ;
d) \[ 2\sqrt{1-x}>3x+\frac{1}{x+4} \] .
Giải:
a) \[ \frac{1}{x}<1-\frac{1}{x+1} \] .
Bất phương trình xác định khi: \[ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \text{x}\ne 0 \\ \text{x}+1\ne 0 \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \text{x}\ne 0 \\ \text{x}\ne -1 \end{array} \right. \right. \] .
b) \[ \frac{1}{{{x}^{2}}-4}\le \frac{2x}{{{x}^{2}}-4x+3} \] .
Bất phương trình xác định khi: \[ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}^{2}}-4\ne 0 \\ {{x}^{2}}-4x+3\ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} (x-2)(x+2)\ne 0 \\ (x-1)(x-3)\ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \text{x}\ne 2 \\ \text{x}\ne -2 \\ \text{x}\ne 3 \\ \text{x}\ne 1 \end{array} \right. \] .
c) \[ 2|x|-1+\sqrt[3]{x-1}<\frac{2x}{x+1} \] .
Bất phương trình xác định khi: \[ x+1\ne 0\Leftrightarrow x\ne -1 \] .
d) \[ 2\sqrt{1-x}>3x+\frac{1}{x+4} \] .
Bất phương trình xác định khi: \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+4\ne 0 \\ 1-x\ge 0 \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\ne -4 \\ x\le 1 \end{array} \right. \right. \] .
Bài 2/Tr88
Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm
a) \[ {{x}^{2}}+\sqrt{x+8}\le -3 \] ;
b) \[ \sqrt{1+2{{(x-3)}^{2}}}+\sqrt{5-4x+{{x}^{2}}}<\frac{3}{2} \] ;
c) \[ \sqrt{1+{{x}^{2}}}-\sqrt{7+{{x}^{2}}}>1 \] .
Giải
a) ĐKXĐ: \[ x\ge -8 \]
Ta có: \[ {{\text{x}}^{2}}\ge 0;\sqrt{\text{x}+8}\ge 0 \] nên \[ {{x}^{2}}+\sqrt{x+8}\ge 0>-3 \] với mọi \[ x\ge -8 \] .
Vậy bất phương trình vô nghiệm.
b) Tập xác định: \[ D=R \] .
Vì \[ \sqrt{1+2{{(x-3)}^{2}}}\ge 1 \] với mọi x và \[ \sqrt{5-4x+{{x}^{2}}}=\sqrt{1+{{(x-2)}^{2}}}\ge 1 \] với mọi x, nên \[ \sqrt{1+2{{(x-3)}^{2}}}+\sqrt{5-4x+{{x}^{2}}}\ge 2 \] , ∀x ∈ R (đpcm).
c) Vì \[ \sqrt{1+{{x}^{2}}}<\sqrt{7+{{x}^{2}}} \] nên \[ \sqrt{1+{{x}^{2}}}-\sqrt{7+{{x}^{2}}}<0 \] , ∀x ∈ R (đpcm).
Bài 3/Tr88
Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?
a) \[ -4x+1>0 \] và \[ 4x-1<0 \]
b) \[ 2{{x}^{2}}+5\le 2x-1 \] và \[ 2{{x}^{2}}-2x+6\le 0 \]
c) \[ x+1>0 \] và \[ x+1+\frac{1}{{{x}^{2}}+1}>\frac{1}{{{x}^{2}}+1} \]
d) \[ \sqrt{x-1}\ge x \] và \[ (2x+1)\sqrt{x-1}\ge x(2x+1) \]
Giải
a) Nhân cả hai vế của BPT \[ -4x+1>0 \] với -1 ta được BPT \[ 4x-1<0 \] tương đương.
b) Cộng hai vế của BPT \[ 2{{x}^{2}}+5\le 2x-1 \] với \[ 1-2x \] ta được BPT \[ 2{{x}^{2}}-2x+6\le 0 \] tương đương.
c) Cộng hai vế của BPT \[ x+1>0 \] với \[ \frac{1}{{{x}^{2}}+1} \] ta được BPT \[ x+1+\frac{1}{{{x}^{2}}+1}>\frac{1}{{{x}^{2}}+1} \] tương đương.
d) ĐK: \[ x\ge 1 \] . Suy ra: \[ 2x+1>0 \] . Nhân cả hai vế BPT \[ \sqrt{x-1}\ge x \] với \[ 2x+1 \] ta được BPT \[ (2x+1)\sqrt{x-1}\ge x(2x+1) \] tương đương.
Bài 4/Tr88
Giải các bất phương trình sau a) \[ \frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}<\frac{1-2x}{4} \]
b) \[ (2x-1)(x+3)-3x+1\le (x-1)(x+3)+{{x}^{2}}-5 \]
Giải
a) Tập xác định \[ D=R \] .
\[ \begin{array}{l} \frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}<\frac{1-2x}{4} \\ \Leftrightarrow \frac{6\cdot (3x+1)-4\cdot (x-2)}{12}<\frac{3\cdot (1-2x)}{12} \\ \Leftrightarrow 6\cdot (3x+1)-4\cdot (x-2)<3\cdot (1-2x) \\ \Leftrightarrow 18x+6-4x+8<3-6x \\ \Leftrightarrow 20x<-11\Leftrightarrow x<\frac{-11}{20} \end{array} \]
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[ \text{S}=\left( -\infty ;\frac{-11}{20} \right) \] .
b)
\[ \begin{array}{l} (2x-1)(x+3)-3x+1\le (x-1)(x+3)+{{x}^{2}}-5 \\ \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+6x-x-3-3x+1\le {{x}^{2}}+3x-x-3+{{x}^{2}}-5 \\ \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+2x-2\le 2{{x}^{2}}+2x-8 \end{array} \] \[ \Leftrightarrow 6\le 0 \] (vô lý).
Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 5/Tr88
Giải các hệ bất phương trình
a) \[ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 6x+\frac{5}{7}<4x+7 \\ \frac{8x+3}{2}<2x+5 \end{array} \right. \]
b) \[ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 15x-2>2x+\frac{1}{3} \\ 2(x-4)<\frac{3x-14}{2} \end{array} \right. \]
Giải
a) Tập xác định \[ D=R \] .
Giải từng bất phương trình ta có \[ 6x+\frac{5}{7}<4x+7\Leftrightarrow 6x-4x<7-\frac{5}{7}\Leftrightarrow 2x<\frac{44}{7}\Leftrightarrow x<\frac{22}{7} \] (1)
\[ \frac{8x+3}{2}<2x+5\Leftrightarrow 8x+3<2. (2x+5)\Leftrightarrow 8x+3<4x+10\Leftrightarrow 4x<7\Leftrightarrow x<\frac{7}{4} \] (2)
Kết hợp (1) và (2) suy ra \[ x<\frac{7}{4} \] . Vậy tập nghiệm BPT là \[ S=\left( -\infty ,\frac{7}{4} \right) \] .
b) \[ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 15x-2>2x+\frac{1}{3} \\ 2(x-4)<\frac{3x-14}{2} \end{array} \right. \]
Giải từng BPT \[ 15\text{x}-2>2\text{x}+\frac{1}{3}\Leftrightarrow 15\text{x}-2\text{x}>\frac{1}{3}+2\Leftrightarrow 13\text{x}>\frac{7}{3}\Leftrightarrow \text{x}>\frac{7}{39} \] (1)
\[ 2(x-4)<\frac{3x-14}{2}\Leftrightarrow 4(x-4)<3x-14\Leftrightarrow 4x-3x<16-14\Leftrightarrow x<2 \] (2)
Kết hợp (1) và (2) suy ra \[ \frac{7}{39} .
Vậy tập nghiệm của BPT là \[ S=\left( \frac{7}{39},2 \right) \] .
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất