ican
Giải SGK Toán 10
Bài 4: Phương sai và độ lệch chuẩn.

Bài 4. Phương sai và độ lệch chuẩn.

Giải bài tập sách giáo khoa giải bài tập phương sai và độ lệch chuẩn toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Ican

BÀI 4: PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Phương sai

a) Định nghĩa

Cho dãy n số liệu thống kê \[{{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{0}}\]. Phương sai của n số liệu thống kê đã cho là một số được kí hiệu là \[ {{s}^{2}} \] và bằng

\[ {{s}^{2}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\left( {{x}_{i}}-\bar{x} \right)}^{2}}} \]

với \[ \overline{x} \] là trung bình cộng của n số liệu thống kê đã cho.

\[ \begin{align} & {{s}^{2}}=\frac{1}{n}\left[ {{n}_{1}}{{\left( {{x}_{1}}-\bar{x} \right)}^{2}}+{{n}_{2}}{{\left( {{x}_{2}}-\bar{x} \right)}^{2}}+\ldots +{{n}_{k}}{{\left( {{x}_{k}}-\bar{x} \right)}^{2}} \right] \\ & ={{f}_{1}}{{\left( {{x}_{1}}-\bar{x} \right)}^{2}}+{{f}_{2}}{{\left( {{x}_{2}}-\bar{x} \right)}^{2}}+\ldots +{{f}_{k}}{{\left( {{x}_{k}}-\bar{x} \right)}^{2}} \\ \end{align} \]

b) Công thức tính

– Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất

\[ \begin{align} & {{s}^{2}}=\frac{1}{n}\left[ {{n}_{1}}{{\left( {{x}_{1}}-\bar{x} \right)}^{2}}+{{n}_{2}}{{\left( {{x}_{2}}-\bar{x} \right)}^{2}}+\ldots +{{n}_{k}}{{\left( {{x}_{k}}-\bar{x} \right)}^{2}} \right] \\ & ={{f}_{1}}{{\left( {{x}_{1}}-\bar{x} \right)}^{2}}+{{f}_{2}}{{\left( {{x}_{2}}-\bar{x} \right)}^{2}}+\ldots +{{f}_{k}}{{\left( {{x}_{k}}-\bar{x} \right)}^{2}} \\ \end{align} \]

Trong đó \[ {{n}_{i}},{{f}_{i}} \] lần lượt là tần số, tần suất của giá trị \[ {{x}_{1}} \] , n là số các số liệu thống kê (n1 + n2 + … + nk = n), \[ \overline{x} \] là số trung bình cộng của các số liệu đã cho.

– Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp

\[ \begin{align} & {{s}^{2}}=\frac{1}{n}\left[ {{n}_{1}}{{\left( {{c}_{1}}-\bar{x} \right)}^{2}}+{{n}_{2}}{{\left( {{c}_{2}}-\bar{x} \right)}^{2}}+\ldots +{{n}_{k}}{{\left( {{c}_{k}}-\bar{x} \right)}^{2}} \right] \\ & ={{f}_{1}}{{\left( {{c}_{1}}-\bar{x} \right)}^{2}}+{{f}_{2}}{{\left( {{c}_{2}}-\bar{x} \right)}^{2}}+\ldots +{{f}_{k}}{{\left( {{c}_{k}}-\bar{x} \right)}^{2}} \\ \end{align} \]

Trong đó \[{{c}_{i}},{{n}_{i}},{{f}_{i}}\] lần lượt là giá trị đại diện tần số, tần suất của lớp thứ i, n là số các số liệu thống kê (n1 + n2 + … + nk = n); \[ \overline{x} \] là số trung bình cộng của các số liệu thống kê đa cho.

2. Độ chệch chuẩn

Căn bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn và kí hiệu là x.

\[ s=\sqrt{{{s}^{2}}} \]

Phương sai \[ {{s}^{2}} \] và độ lệch chuẩn s đều được dùng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình cộng). Nhưng khi cần chú ý đến đơn vị đo thì ta dùng s, vì s có cùng đơn vị đo với dấu hiệu được nghiên cứu.

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Tính phương sai, độ lệch chuẩn

Phương pháp: Sử dụng bảng tần số, tần số ghép lớp, áp dụng các công thức về phương sai, độ lệch chuẩn để giải bài toán.

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1 (Trang 128, SGK)

– Trong bảng phân bố tần số đã được lập ở bài tập 1 của δ1

\[ \begin{align} & \Rightarrow {{s}^{2}}=0,1.{{(1150-1170)}^{2}}+0,2.{{(1160-1170)}^{2}}+0,4.{{(1170-1170)}^{2}} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+0,2\cdot {{(1180-1170)}^{2}}+0,1.{{(1190-1170)}^{2}} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=120 \\ & \Rightarrow s=\sqrt{{{s}^{2}}}=\sqrt{84}\approx 9,2(\text{cm}) \\ \end{align} \]

Bài 2 (Trang 128, SGK)

a) Các số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn của các bảng phân bố tần số đã cho.

– Dãy số liệu về điểm thi của lớp 10C có:

+ Số trung bình cộng điểm thi môn Ngữ văn của lớp 10C là:

+ Phương sai: \[ \bar{x}=\frac{1}{40}\cdot (3.5+7.6+12.7+8.14+9.3+10.1)\approx 7,2 \] (điểm)

 

+ Độ lệch chuẩn: \[ \Rightarrow s_{x}^{2}=\frac{1}{40}\cdot \left[ \begin{align} & 3{{(5-7,2)}^{2}}+7\cdot {{(6-7,2)}^{2}}+12.{{(7-7,2)}^{2}} \\ & +14.{{(8-7,2)}^{2}}+3.{{(9-7,2)}^{2}}+1.{{(10-7,2)}^{2}} \\ \end{align} \right]\approx 1,3 \]

\[ \Rightarrow s=\sqrt{s_{x}^{2}}=\sqrt{1,3}\approx 1,14 \] (điểm).

– Dãy số liệu về điểm thi của lớp 10D có:

+ Số trung bình cộng điểm thi môn Ngữ văn của lớp 10D là:

\[ \bar{y}=\frac{1}{40}(8.6+7.18+8.10+9.4)\approx 7,2 \] (điểm).

+ Phương sai:

\[ \Rightarrow s_{y}^{2}=\frac{1}{40}\cdot \left[ 8{{(6-7,2)}^{2}}+18.{{(7-7,2)}^{2}}+10.{{(8-7,2)}^{2}}+4.{{(9-7,2)}^{2}} \right]\approx 0,8 \]

+ Độ lệch chuẩn:

\[ \Rightarrow s=\sqrt{s_{y}^{2}}=\sqrt{0,8}\approx 0,9 \] (điểm)

b) Các số liệu thống kê có cùng đơn vị đo,

\[ \bar{x}\approx \bar{y}\approx 7,2;s_{x}^{2}>s_{y}^{2} \]

suy ra điểm thi môn Ngữ Văn của lớp 10D là đồng đều hơn.

Bài 3 (Trang 128, SGK)

a) Các số trung bình cộng của các bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho

– Số trung bình cộng khối lượng của nhóm cá mè thứ 1 là:

\[ \bar{x}=\frac{1}{20}(4.0,7+6.0,9+6.1,1+4.1,3)=1(\text{kg}) \] .

– Số trung bình cộng khối lượng của nhóm cá mè thứ 2 là:

\[ \bar{y}=\frac{1}{20}(3.0,6+4.0,8+6.1+4.1,2+3.1,4)=1(\text{kg}) \] .

b) Phương sai của các bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho.

– Phương sai của bảng phân bố tần số ghép lớp về khối lượng cá mè của nhóm thứ 1 là:

Ta có:

\[ \begin{align} & \overline{{{x}^{2}}}=\frac{1}{20}\left( 4.0,{{7}^{2}}+6.0,{{9}^{2}}+6.1,{{1}^{2}}+4.1,{{3}^{2}} \right)=1,042 \\ & \Rightarrow s_{x}^{2}=\overline{{{x}^{2}}}-{{(\bar{x})}^{2}}=1,042-1=0,042 \\ \end{align} \]

– Phương sai của bảng phân bố tần số ghép lớp về khối lượng cá mè của nhóm thứ 2 là:

Ta có:

\[ \begin{align} & \overline{{{y}^{2}}}=\frac{1}{20}\left( 3.0,{{6}^{2}}+4.0,{{8}^{2}}+{{6.1}^{2}}+4.1,{{2}^{2}}+3.1,{{4}^{2}} \right)=1,064 \\ & \Rightarrow s_{y}^{2}=\overline{{{y}^{2}}}-{{(\bar{y})}^{2}}=1,064-1=0,064 \\ \end{align} \]

c) Theo câu a ta có:

\[ \begin{align} & s_{x}^{2}\approx 0,04\Rightarrow {{s}_{x}}=0,2(\text{kg}) \\ & s_{y}^{2}\approx 0,06\Rightarrow {{s}_{y}}=0,25(\text{kg}) \\ \end{align} \]

Vậy, \[{{s}_{y}}>{{s}_{x}}\] nên nhóm cá mè thứ 1 có khối lượng đồng đều hơn nhóm cá mè thứ 2.

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa giải bài tập phương sai và độ lệch chuẩn toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Đánh giá (224)
ican
  • Một thương hiệu của 
    ICAN
  • ICAN
  • ICAN © 2023, All Rights Reserved.

  • Trụ sở Hồ Chí Minh: B0003 C/C Sarina, Khu đô thị Sala, Khu phố 3, Đường Hoàng Thế Thiện, Phường An Lợi Đông, TP. Thủ Đức

  • Văn phòng Hà Nội: Tòa nhà 25T2 Đường Hoàng Đạo Thúy, Phường Trung Hòa, Quận Cầu Giấy