Bài 3. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x , y có dạng tổng quát là

ax + by = c (1)

trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0.

CHÚ Ý

a) Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x + 0y = c. Nếu c ≠ 0 thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu c = 0 thì mọi cặp số (xo; yo) đều là nghiệm.

b) Khi b ≠ 0, phương trình ax + by = c trở thành

\[ y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b} \] (2)

Cặp số (xo; yo) là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểmM(xo; yo) thuộc đường thẳng (2).

Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình của phương trình (1) là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y={{c}_{1}}  \\    {{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y={{c}_{2}}  \\ \end{array} \right. \) (3)

Trong đó x, y là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số.

Nếu cặp số (x0; y0) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì (x0; y0) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (3).

Giải hệ phương trình (3) là tìm tập nghiệm của nó.

3. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

ax + by + cz = d,

trong đó x, y, z là ba ẩn a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0.

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{\text{a}}_{1}}\text{x}+{{\text{b}}_{1}}\text{y}+{{\text{c}}_{1}}\text{z}={{\text{d}}_{1}}  \\    {{\text{a}}_{2}}\text{x}+{{\text{b}}_{2}}\text{y}+{{\text{c}}_{2}}\text{z}={{\text{d}}_{2}}  \\    {{\text{a}}_{3}}\text{x}+{{\text{b}}_{3}}\text{y}+{{\text{c}}_{3}}\text{Z}={{\text{d}}_{3}}  \\ \end{array} \right. \) (4)

Trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số.

Mỗi bộ ba số (xo; yo; zo) nghiệm đúng ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (4).

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng toán: Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y={{c}_{1}}  \\    {{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y={{c}_{2}}  \\ \end{array} \right. \) (1)

Kí hiệu:

\(D=\left| \begin{array}{*{35}{l}} {{a}_{1}} & {{b}_{1}}  \\    {{a}_{2}} & {{b}_{2}}  \\ \end{array} \right|={{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}} \) ; \({{D}_{x}}=\left| \begin{array}{*{35}{l}}   {{c}_{1}} & {{b}_{1}}  \\    {{c}_{2}} & {{b}_{2}}  \\ \end{array} \right|={{c}_{1}}{{b}_{2}}-{{c}_{2}}{{b}_{1}};{{D}_{y}}=\left| \begin{array}{*{35}{l}}    {{a}_{1}} & {{c}_{1}}  \\    {{a}_{2}} & {{c}_{2}}  \\ \end{array} \right|={{a}_{1}}{{c}_{2}}-{{a}_{2}}{{c}_{1}} \)

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1 (trang 68 SGK Đại số 10):

Lời giải:

Ta có:

\( \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  7x-5y=9  \\    14x-10y=10  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    7x-5y=9  \\    7x-5y=5  \\ \end{array} \right. \right. \)

Không tồn tại cặp nghiệm (x ; y) nào thỏa mãn hệ phương trình trên nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 2 (trang 68 SGK Đại số 10):

Lời giải:

a) \( \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2x-3y=1  \\    x+2y=3  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    2x-3y=1  \\    2x+4y=6  \\ \end{array} \right. \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    7y=5  \\    2x+4y=6  \\    y=\frac{5}{7}  \\    x=3-2y  \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    x=\frac{11}{7}  \\    y=\frac{5}{7}  \\ \end{array} \right. \)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \[ (\text{x};\text{y})=\left( \frac{11}{7};\frac{5}{7} \right) \] 

b) \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 3x+4y=5  \\    4x-2y=2  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    3x+4y=5  \\    8x-4y=4  \\ \end{array} \right. \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    11\text{x}=9  \\    8\text{x}-4\text{y}=4  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    \text{x}=\frac{9}{11}  \\    \text{y}=2\text{x}-1  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    x=\frac{9}{11}  \\    y=\frac{7}{11}  \\ \end{array} \right. \right. \right. \)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \[ (\text{x};\text{y})=\left( \frac{9}{11};\frac{7}{11} \right) \] 

c)

\( \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=\frac{2}{3}  \\    \frac{1}{3}x-\frac{3}{4}y=\frac{1}{2}  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    4x+3y=4  \\    4x-9y=6  \\ \end{array} \right. \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    12\text{y}=-2  \\    4\text{x}-9\text{y}=6  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    \text{y}=\frac{-1}{6}  \\    \text{x}=\frac{6+9\text{y}}{4}  \\ \end{array} \right. \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    y=\frac{-1}{6}  \\    x=\frac{9}{8}  \\ \end{array} \right. \)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \[ (\text{x};\text{y})=\left( \frac{9}{8};\frac{-1}{6} \right) \] 

d) \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 0,3x-0,2y=0,5  \\    0,5x+0,4y=1,2  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    0,6x-0,4y=1  \\    0,5x+0,4y=1,2  \\ \end{array} \right. \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    1,1\cdot \text{x}=2,2  \\    0,5\text{x}+0,4\text{y}=1,2  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    \text{x}=2  \\    5\text{x}+4\text{y}=12  \\ \end{array} \right. \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   \text{x}=2  \\    \text{y}=\frac{12-5\text{x}}{4}  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    \text{x}=2  \\    \text{y}=\frac{1}{2}  \\ \end{array} \right. \right. \)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \[ (\text{x};\text{y})=\left( 2;\frac{1}{2} \right) \] .

Bài 3 (trang 68 SGK Đại số 10):

Lời giải:

Gọi x và y lần lượt là giá tiền mỗi quả quýt và mỗi quả cam. (x > 0; y > 0)

Vân mua 10 quả quýt, 7 quả cam hết 17800 đồng nên ta có:

10x + 7y = 17800

Lan mua 12 quả quýt, 6 quả cam hết 18000 đồng nên ta có:

12x + 6y = 18000

Từ đó ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 10x+7y=17800  \\    12x+6y=18000  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    10x+7y=17800\,\,(1)  \\    2x+y=3000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)  \\ \end{array} \right. \right. \)

Từ (2) rút ra được y = 3000 – 2x, thay vào (1) ta được :

10x + 7.(3000 – 2x) = 17800

⇔ 10x + 21000 – 14x = 17800

⇔ 4x = 3200 ⇔ x = 800 (thỏa mãn)

Thay x = 800 vào y = 3000 – 2x ta được y = 1400 (thỏa mãn)

Vậy giá tiền một quả quýt là 800đ và giá tiền một quả cam là 1400đ.

Bài 4 (trang 68 SGK Đại số 10):

Lời giải:

Gọi số áo sơ mi may được trong ngày thứ nhất của dây chuyền thứ nhất và dây chuyền thứ hai lần lượt là x và y. (x > 0; y > 0)

Ngày thứ nhất cả hai dây chuyền may được 930 áo nên ta có: x + y = 930.

Ngày thứ hai:

dây chuyền thứ nhất tăng năng suất 18% nên may được x + 18%.x = 1,18.x áo

dây chuyền thứ hai tăng năng suất 15% nên may được y + 15%.y = 1,15y áo

Cả hai dây chuyền may được 1083 áo nên ta có: 1,18x + 1,15y = 1083.

Ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  x+y=930  \\    1,18x+1,15y=1083  \\ \end{array} \right. \)

Giải hệ phương trình ta được: x = 450, y = 480

Vậy số áo sơ mi dây chuyền thứ nhất và dây chuyền thứ hai may được trong ngày thứ nhất lần lượt là 450 (áo) và 480 (áo).

Bài 5 (trang 68 SGK Đại số 10):

Lời giải:

a) \(\left\{ \begin{array}{*{35}{r}} x+3y+2z=8  \\    2x+2y+z=6  \\    3x+y+z=6  \\ \end{array} \right. \) (I)

Đưa hệ phương trình về hệ dạng tam giác bằng cách khử dần ẩn số ta có:

\((\text{I})\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}  \text{x}+3\text{y}+2\text{z}=8  \\    2\text{x}+2\text{y}+\text{z}=6  \\    3\text{x}+\text{y}+\text{z}=6  \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    x+3y+2z=8  \\    4x+4y+2z=12  \\    6x+2y+2z=12  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{r}}    x+3y+2z=8  \\    3x+y\quad =4  \\    5x-y\quad =4  \\ \end{array} \right. \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+3y+2z=8  \\    3x+y\quad =4  \\    8x\quad =8  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    x=1  \\    y=1  \\    z=2  \\ \end{array} \right. \right. \)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y; z) = (1; 1; 2).

b) \( \left\{ \begin{align}  & x-3y+2z=-7\,\,\,\,\,(1) \\  & -2x+4y+3z=8\,\,(2) \\  & 3x+y-z=5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \\ \end{align} \right. \)(II)

Đưa hệ phương trình về hệ dạng tam giác bằng cách khử dần ẩn số.

Nhân phương trình (1) với 2 rồi cộng với phương trình (2) và nhân phương trình (1) với (3) rồi trừ đi phương trình (3) ta được:

\(\text{ (II) }\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{r}}   x-3y+2z=-7  \\    -2y+7z=-6  \\    -10y+7z=-16  \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{r}}    x-3y+2z=-7  \\    -2y+7z=-6  \\    8y\quad =10  \\ \end{array} \right. \)

Giải hệ phương trình trên ta được \[ \text{x}=\frac{11}{14};\text{y}=\frac{5}{2};\text{z}=\frac{-1}{7} \] .

Vậy hệ phương trình có nghiệm \[ (\text{x};\text{y};\text{z})=\left( \frac{11}{14};\frac{5}{2};\frac{-1}{7} \right) \] 

Bài 6 (trang 68 SGK Đại số 10):

Lời giải:

Gọi x, y, z (đồng) lần lượt là giá tiền mỗi áo, quần và váy (0 < x, y, z < 5259000).

Ngày thứ nhất bán được 21 áo, 21 quần và 18 váy, doanh thu là 5.349.000 đồng nên ta có:

12x + 21y + 18z = 5.349.000

Ngày thứ hai bán được 16 áo, 24 quần và 12 váy, doanh thu là 5.600.000 đồng nên ta có:

16x + 24y + 12z = 5.600.000

Ngày thứ ba bán được 24 áo, 15 quần và 12 váy, doanh thu là 5.259.000 đồng nên ta có:

24x + 15y + 12z = 5.259.000

Từ đó ta có hệ phương trình:

\( \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   12x+21y+18z=5349000  \\    16x+24y+12z=5600000  \\    24x+15y+12z=5259000  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    4x+7y+6z=1783000(1)  \\    4x+6y+3z=1400000(2)  \\    8x+5y+4z=1753000(3)  \\ \end{array} \right. \right. \)

Lấy (1) – (2) ta được : y + 3z = 383000.

Nhân 2 vào hai vế của (1) rồi trừ đi (3) ta được: 9y + 8z = 1813000

Ta có hệ phương trình:

\( \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   y+3z=383000  \\    9y+8z=1813000  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    y=125000  \\    z=86000  \\ \end{array} \right. \right. \)

Thay y = 125000, z = 86000 vào (1) ta được x = 98000.

Vậy: Giá bán mỗi áo là: 98.000 đồng.

Giá bán mỗi quần là: 125.000 đồng.

Giá bán mỗi váy là: 86.000 đồng.

Bài 7 (trang 68 SGK Đại số 10):

Lời giải:

Đối với các loại máy tính CASIO fx–570 và các loại máy VINACAL, để giải hệ phương trình các bạn ấn MODE => 5 . sau đó ấn phím 1 nếu như giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, ấn phím 2 nếu như giải hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn.

a) Đáp số \[ x=\frac{2}{41};\,y=\frac{-48}{41} \] 

b) Đáp số \[ x=\frac{2}{19};\,\,y=\frac{33}{19} \] .

c) Đáp số \[ x=\frac{132}{359};y=\frac{539}{359};z=\frac{13}{359} \] 

d) Đáp số \[ x=-4;\,\,y=\frac{11}{7};\,z=\frac{12}{7} \] .

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn toán học 10, toán 10 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất