BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa:
Cho hai điểm cố định F1 và F2 với F1F2 = 2c (c > 0). Tập hợp các điểm M thỏa mãn MF1 + MF2 = 2a (a không đổi và a > c > 0) là một đường Elip.
+) F1, F2 là hai tiêu điểm.
+) F1F2 = 2c là tiêu cự của Elip
2. Phương trình chính tắc của Elip
(E): \[ \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \] với a2 = b2 + c2
Do đó điểm M(xo; yo) ∈ (E) <=> \[ \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \] và |xo| ≤ a, |yo| ≤ b.
3. Tính chất và hình dạng của Elip
+) Trục đối xứng Ox (chứa trục lớn), Oy (chứa trục bé).
+) Tâm đối xứng O.
+) Tọa độ các đỉnh A1(–a; 0), A2(a; 0), B1(0; –b), B2(0; b).
+) Độ dài trục lớn 2a. Độ dài trục bé 2b.
+) Tiêu điểm F1(–c; 0), F2(c; 0).
+) Tiêu cự 2c.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của Elip
Cho elip (E): \[ \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \] ta có thể xác định được:
+ Các đỉnh : A1(- a;0), A2(a; 0), B1( 0; - b), B2(0; b)
+ Trục lớn : : A1A2 = 2a , trục nhỏ : B1B2 = 2b
+Hai tiêu điểm F1(-c; 0); F2(c; 0) với c2 = a2 - b2
+ Tâm sai \[ e=\frac{c}{a}<1 \]
+ Phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là:
x = ± a; y = ±b.
Dạng 2. Viết phương trình chính tắc của Elip
- Từ các thành phần đã biết, áp dụng các công thức liên quan ta tìm được phương trình chính tắc của elip: \[ \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \]
- Các hệ thức:
+ 0 < b < a; 0 < c < a
+ c2 = a2 - b2
+ F1F2 = 2c ( tiêu cự)
+ A1A2 = 2a (độ dài trục lớn) .
+ B1B2 = 2b( độ dài trục nhỏ).
+ M thuộc ( E) ⇔ MF1 MF2= 2a.
Dạng 3. Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện
+) Bài toán 1: Lập phương trình elip (E) đi qua hai điểm A và B :
- Bước 1: Gọi phương trình chính tắc của elip( E) : \[ \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \] (a > b > 0).
- Bước 2: Do hai điểm A và B thuộc elip (E) nên thạy tọa độ hai điểm này vào phương trình ( E) ta được hai phương trình ẩn a2; b2.
Giải hệ phương trình ta được a2; b2...
⇒ Phương trình chính tắc của elip.
+ Bài toán 2: Lập phương trình chính tắc của elip ( E) đi qua điểm M và thỏa mãn điều kiện T ( về tiêu cự ; độ dài trục lớn- trục nhỏ; tâm sai....)
- Bước 1: Gọi phương trình chính tắc của elip( E) : \[ \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \] (a > b > 0).
- Bước 2: Do điểm M thuộc elip (E) nên thạy tọa độ điểm này vào phương trình
( E) ta được một phương trình ẩn a2; b2
- Bước 3: Từ điều kiện T thiết lập một phương trình ẩn a ; b và c.
Mà a2 – b2 = c2. Kết hợp ba phương trình trên để tìm a; b; c.
⇒ Phương trình chính tắc của elip ( E) .
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1 (trang 88 SGK Hình học 10):
a) \[ (E):\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1 \] có \[ a=5,b=3\Rightarrow c=\sqrt{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}=4 \]
Tọa độ các đỉnh là A1 = (–5 ; 0) ; A2 = (5 ; 0) ; B1 = (0 ; –3) ; B2 = (0 ; 3)
Tọa độ hai tiêu điểm là F1 = (–4 ; 0) và F2 = (4 ; 0)
Độ dài trục lớn bằng A1A2 = 10
Độ dài trục nhỏ bằng B1B2 = 6.
b)
\[ 4{{\text{x}}^{2}}+9{{\text{y}}^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{{{\text{x}}^{2}}}{\frac{1}{4}}+\frac{{{\text{y}}^{2}}}{\frac{1}{9}}=1 \]
\[ \Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}}=1 \]
\[ (E):\frac{{{x}^{2}}}{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}}=1 \]
\[ \text{a}=\frac{1}{2},~\text{b}=\frac{1}{3}\Rightarrow c=\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{6} \]
Tọa độ các đỉnh là \[ {{\text{A}}_{1}}=\left( \frac{-1}{2};0 \right),{{\text{A}}_{2}}=\left( \frac{1}{2};0 \right)\text{,}{{\text{B}}_{1}}=\left( 0;\frac{-1}{3} \right),{{\text{B}}_{2}}=\left( 0;\frac{1}{3} \right) \]
Tọa độ hai tiêu điểm là: \[ {{\text{F}}_{1}}=\left( \frac{-\sqrt{5}}{6};0 \right)\text{;}{{\text{F}}_{2}}=\left( \frac{\sqrt{5}}{6};0 \right) \] .
Độ dài trục lớn bằng \[ {{\text{A}}_{1}}~{{\text{A}}_{2}}=2.\text{a}=1 \] .
Độ dài trục nhỏ bằng \[ {{\text{B}}_{1}}~{{\text{B}}_{2}}=2~\text{b}=\frac{2}{3} \] .
c)
\[ 4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}=36\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1 \]
\[ (E):\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1 \]
\[ a=3,b=2\Rightarrow c=\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=\sqrt{5} \]
Tọa độ các đỉnh là : A1 = (–3 ; 0) ; A2 = (3 ; 0) ; B1 = (0 ; –2) ; B2 = (0 ; 2)
Tọa độ hai tiêu điểm là F1 = (– \[ \sqrt{5} \] ; 0) và F2 = ( \[ \sqrt{5} \] ; 0)
Độ dài trục lớn là A1A2 = 2a = 6
Độ dài trục nhỏ là B1B2 = 2b = 4.
Bài 2 (trang 88 SGK Hình học 10):
a) Độ dài trục lớn bằng 8 ⇒ 2a = 8 ⇒ a = 4
Độ dài trục nhỏ bằng 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3
Vậy phương trình chính tắc của Elip là: \[ \frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1 \]
b) Độ dài trục lớn bằng 10 ⇒ 2a = 10 ⇒ a = 5
Tiêu cự bằng 6 ⇒ 2c = 6 ⇒ c = 3
⇒ b2 = a2 – c2 = 16 ⇒ b = 4.
Vậy phương trình chính tắc của Elip là: \[ \frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{16}=1 \]
Bài 3 (trang 88 SGK Hình học 10):
Gọi Elip cần tìm có dạng : (E) : \[ \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \]
\[ a)\text{M}(0;3)\in (\text{E})\Rightarrow \frac{0}{{{\text{a}}^{2}}}+\frac{{{3}^{2}}}{~{{\text{b}}^{2}}}=1\Rightarrow \frac{9}{~{{\text{b}}^{2}}}=1\Rightarrow {{\text{b}}^{2}}=9 \]
\[ \text{N}\left( 3;\frac{-12}{5} \right)\in (\text{E})\Rightarrow \frac{{{3}^{2}}}{{{\text{a}}^{2}}}+\frac{{{\left( \frac{-12}{5} \right)}^{2}}}{~{{\text{b}}^{2}}}=1\Rightarrow \frac{{{3}^{2}}}{{{\text{a}}^{2}}}+\frac{144}{25.9}=1\Rightarrow {{\text{a}}^{2}}=25 \]
Vậy phương trình chính tắc của elip: \[ \frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1 \]
Bài 4 (trang 88 SGK Hình học 10):
Giả sử Elip có phương trình \[ \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \]
Độ dài trục lớn bằng 80cm ⇒ 2a = 80cm ⇒ a =40cm
Độ dài trục nhỏ bằng 40cm ⇒ 2b = 40cm ⇒ b = 20cm
Khi đó \[ c=\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=20\sqrt{3}\Rightarrow {{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c=40\sqrt{3}cm \]
Khoảng cách từ vị trí hai chiếc đinh F1, F2 đến hai mép là:
\[ \frac{2a-2c}{2}=\frac{80-40\sqrt{3}}{2}=40-20\sqrt{3}\approx 5,36(~\text{cm}) \]
Độ dài vòng dây cuốn: MF1 + MF2 + F1F2 = 2a + 2c = 80 + 40 \[ \sqrt{3} \] ≈ 149,3cm.
Bài 5 (trang 88 SGK Hình học 10):
Gọi C(M ; R).
C tiếp xúc ngoài với C1 ⇒ MF1 = R + R1
C tiếp xúc trong với C2 ⇒ MF2 = R2 – R
⇒ MF1 + MF2 = R + R1 + R2 – R = R1 + R2 = const.
Điểm M có tổng các khoảng cách MF1 + MF2 đến hai điểm cố định F1 và F2 bằng một độ dài không đổi R1 + R2.
Vậy M nằm trên elip có hai tiêu điểm F1, F2 và có độ dài trục lớn bằng R1 + R2.
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa bài tập phương trình đường elip toán học 10, toán 10 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất