ican
Giải SGK Toán 10
Bài 3: Công thức lượng giác

Công thức lượng giác

Giải bài tập sách giáo khoa công thức lượng giác toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Ican

BÀI 3: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Công thức cộng

Công thức cộng là những công thức biểu thị \[ \cos (a\pm b),\sin (a\pm b),\tan (a\pm b),\cot (a\pm b) \] qua các giá trị lượng giác của góc \[ a,b \] .

\[ \begin{align} & \cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b \\ & \cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b \\ & \sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b \\ & \sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b \\ & \tan (a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b} \\ & \tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b} \\ \end{align} \] 

2. Công thức nhân đôi

Cho \[ a=b \] trong các công thức cộng ta được các công thức nhân đôi sau

\[ \begin{align} & \sin 2a=2\sin a\cos a \\ & \cos 2a={{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}a=2{{\cos }^{2}}a-1=1-2{{\sin }^{2}}a \\ & \tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{{\tan }^{2}}a} \\ \end{align} \] 

Từ các công thức nhân đôi ta suy ra các công thức hạ bậc

\[ \begin{align} & {{\cos }^{2}}a=\frac{1+\cos 2a}{2} \\ & {{\sin }^{2}}a=\frac{1-\cos 2a}{2} \\ & {{\tan }^{2}}a=\frac{1-\cos 2a}{1+\cos 2a} \\ \end{align} \] 

3. Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích

\[ \begin{align} & \cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)] \\ & \sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)] \\ & \sin \dot{a}\cos b=\frac{1}{2}[\sin (a-b)+\sin (a+b)] \\ \end{align} \]

\[ \begin{align} & \cos u+\cos v=2\cos \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2} \\ & \cos u-\cos v=-2\sin \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2} \\ & \sin u+\sin v=2\sin \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2} \\ & \sin u-\sin v=2\cos \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2} \\ \end{align} \]

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Chứng minh một biểu thức

Dạng 2. Rút gọn biểu thức

Phương pháp giải: Sử dụng các công thức lượng giác đã nêu ở phần tóm tắt lý thuyết để biến đổi sao cho phù hợp.

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1 (trang 153 SGK Đại số 10):

a)

\[ \begin{align} & +\cos {{225}^{{}^\circ }}=\cos \left( {{180}^{{}^\circ }}+{{45}^{{}^\circ }} \right)=-\cos {{45}^{{}^\circ }}=-\frac{\sqrt{2}}{2} \\ & +)\sin {{240}^{{}^\circ }}=\sin \left( {{180}^{{}^\circ }}+{{60}^{{}^\circ }} \right)=-\sin {{60}^{{}^\circ }}=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ & +)\cot \left( -{{15}^{{}^\circ }} \right)=\frac{\cos \left( -{{15}^{{}^\circ }} \right)}{\sin \left( -{{15}^{{}^\circ }} \right)}=\frac{\cos \left( {{30}^{{}^\circ }}-{{45}^{{}^\circ }} \right)}{\sin \left( {{30}^{{}^\circ }}-{{45}^{{}^\circ }} \right)} \\ & =\frac{\cos {{30}^{{}^\circ }}\cos {{45}^{{}^\circ }}+\sin {{30}^{{}^\circ }}\sin {{45}^{{}^\circ }}}{\sin {{30}^{{}^\circ }}\cos {{45}^{{}^\circ }}-\cos {{30}^{{}^\circ }}\sin {{45}^{{}^\circ }}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}=-2-\sqrt{3} \\ \end{align} \]

\[ +)\tan {{75}^{{}^\circ }}=\tan \left( {{30}^{{}^\circ }}+{{45}^{{}^\circ }} \right)=\frac{\tan {{30}^{{}^\circ }}+\tan {{45}^{{}^\circ }}}{1-\tan {{30}^{{}^\circ }}\cdot \tan {{45}^{{}^\circ }}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}+1}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=2+\sqrt{3} \]

b)

\[ \begin{align} & +)\sin \frac{7\pi }{12}=\sin \left( \frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4} \right)=\sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1) \\ & +)\cos \left( -\frac{\pi }{12} \right)=\cos \left( \frac{\pi }{2}-\frac{7\pi }{12} \right)=\sin \left( \frac{7\pi }{12} \right)=\sin \frac{7\pi }{12}=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot (\sqrt{3}+1) \\ & +)\tan \frac{13\pi }{12}=\tan \left( \pi +\frac{\pi }{12} \right)=\tan \left( \frac{\pi }{12} \right)=\tan \left( \frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\tan \frac{\pi }{3}-\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan \frac{\pi }{3}\cdot \tan \frac{\pi }{4}}=\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3} \\ \end{align} \]

Bài 2 (trang 154 SGK Đại số 10):

a) Ta có:

\[ \begin{align} & +){{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}+{{\cos }^{2}}\alpha =1\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}\alpha =\frac{2}{3}\Leftrightarrow \cos \alpha =\pm \frac{\sqrt{6}}{3} \\ & +)0<\alpha <\frac{\pi }{2}\Rightarrow \cos \alpha >0\Rightarrow \cos \alpha =\frac{\sqrt{6}}{3} \\ & \Rightarrow \cos \left( \alpha +\frac{\pi }{3} \right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{3}-\sin \alpha \sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}-3}{6} \\ \end{align} \]

b) Ta có:

\[ \begin{align} & +){{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}\alpha +{{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}\alpha =\frac{8}{9}\Leftrightarrow \sin \alpha =\pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \\ & +)\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi \Rightarrow \sin \alpha >0\Rightarrow \sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}\Rightarrow \tan \alpha =-2\sqrt{2} \\ & \Rightarrow \tan \left( \alpha -\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\tan \alpha -\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan \alpha \cdot \tan \frac{\pi }{4}}=\frac{-2\sqrt{2}-1}{1-2\sqrt{2}}=\frac{9+4\sqrt{2}}{7} \\ \end{align} \]

c) Ta có:

\[ \begin{align} & +){{\sin }^{2}}a+{{\cos }^{2}}a=1\Leftrightarrow {{\left( \frac{4}{5} \right)}^{2}}+{{\cos }^{2}}a=1\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}a=\frac{9}{25}\Leftrightarrow \cos a=\pm \frac{3}{5} \\ & +)00\Rightarrow \cos a=\frac{3}{5} \\ \end{align} \]

Tương tự \[ \cos b=-\frac{\sqrt{5}}{3} \]

Suy ra:

\[ \begin{align} & +\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b=\frac{3}{5}\cdot \left( -\frac{\sqrt{5}}{3} \right)-\frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}=-\frac{3\sqrt{5}+8}{15} \\ & +)\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin \text{b}=\frac{4}{5}\cdot \left( -\frac{\sqrt{5}}{3} \right)-\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{3}=-\frac{4\sqrt{5}+6}{15} \\ \end{align} \]

Bài 3 (trang 154 SGK Đại số 10):

a) Ta có:

\[ \begin{align} & \sin \left( \frac{\pi }{2}-a \right)=\cos a,\sin (-b)=-\sin b \\ & \Rightarrow \sin (a+b)+\sin \left( \frac{\pi }{2}-a \right).\sin (-b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b-\cos a\sin b=\sin a\cos b \\ \end{align} \]

b) Ta có:

\[ \begin{align} & \cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)] \\ & \Rightarrow \cos \left( \frac{\pi }{4}+a \right)\cos \left( \frac{\pi }{4}-a \right)+\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}a=\frac{1}{2}\left[ \cos \left( \frac{\pi }{2} \right)+\cos 2a \right]+\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}a \\ & =\frac{1}{2}\left( \cos 2a+{{\sin }^{2}}a \right)=\frac{1}{2}\left( {{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}a+{{\sin }^{2}}a \right)=\frac{1}{2}{{\cos }^{2}}a \\ \end{align} \]

c) Ta có:

\[ \begin{align} & \cos \left( \frac{\pi }{2}-a \right)=\sin a,\,\sin \left( \frac{\pi }{2}-b \right)=\cos b \\ & \Rightarrow \cos \left( \frac{\pi }{2}-a \right)\sin \left( \frac{\pi }{2}-b \right)-\sin (a-b) \\ & =\sin a\cos b-(\sin a\cos b-\cos b\sin a)=\cos b\sin a \\ \end{align} \]

Bài 4 (trang 154 SGK Đại số 10):

a) Ta có:

\[ VP=\frac{\cot a\cot b+1}{\cot a\cot b-1}=\text{ }\frac{\frac{\cos a}{\sin a}\cdot \frac{\cos b}{\sin b}+1}{\frac{\cos a}{\sin a}\cdot \frac{\cos b}{\sin b}-1}\text{ }=\frac{\cos a\cos b+\sin a\sin b}{\cos a\cos b-\sin a\sinh }\text{ }=\frac{\cos (a-b)}{\cos (a+b)}=VT\text{ } \]

Điều phải chứng minh.

b) Ta có:

\[ \sin (a+b)\sin (a-b)=\frac{1}{2}(\cos 2b-\cos 2a)=\frac{1}{2}\left( 2{{\cos }^{2}}b-1-2{{\cos }^{2}}a+1 \right)={{\cos }^{2}}b-{{\cos }^{2}}a \]

Mặt khác:

\[ \begin{align} & {{\cos }^{2}}b-{{\cos }^{2}}a=1-{{\sin }^{2}}b-1+{{\sin }^{2}}a={{\sin }^{2}}a-{{\sin }^{2}}b \\ & \Rightarrow \sin (a+b)\sin (a-b)={{\sin }^{2}}a-{{\sin }^{2}}b={{\cos }^{2}}b-{{\cos }^{2}}a \\ \end{align} \]

c) Ta có:

\[ \cos (a+b)\cos (a-b)=\frac{1}{2}(\cos 2b+\cos 2a)=\frac{1}{2}\left( 1-2{{\sin }^{2}}b+2{{\cos }^{2}}a-1 \right)={{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}b \]

Mặt khác:

\[ \begin{align} & {{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}b=1-{{\sin }^{2}}a-1+{{\cos }^{2}}b={{\cos }^{2}}b-{{\sin }^{2}}a \\ & \Rightarrow \cos (a+b)\cos (a-b)={{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}b={{\cos }^{2}}b-{{\sin }^{2}}a \\ \end{align} \]

Bài 5 (trang 154 SGK Đại số 10):

a) Ta có:

\[ \begin{align} & {{\sin }^{2}}a+{{\cos }^{2}}a=1\Leftrightarrow {{(-0,6)}^{2}}+{{\cos }^{2}}a=1\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}a=0,64\Leftrightarrow \cos a=\pm 0,8 \\ & +)\pi

b) Ta có:

\[ \begin{align} & {{\sin }^{2}}a+{{\cos }^{2}}a=1\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}a+{{\left( -\frac{5}{13} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}a=\frac{144}{169}\Leftrightarrow \sin a=\pm \frac{12}{13} \\ & +)\frac{\pi }{2}

c) Ta có:

\[ \begin{align} & \sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{2}\Leftrightarrow {{(\sin \alpha +\cos \alpha )}^{2}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow 1+\sin 2\alpha =\frac{1}{4}\Leftrightarrow \sin 2\alpha =-\frac{3}{4} \\ & +){{\cos }^{2}}2\alpha +{{\sin }^{2}}2\alpha =1\Rightarrow {{\cos }^{2}}2\alpha =1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}\Leftrightarrow \cos 2\alpha =\pm \frac{\sqrt{7}}{4} \\ & +)\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}\Leftrightarrow \pi <2\alpha <\frac{3\pi }{2}\Rightarrow \cos 2\alpha <0\Rightarrow \cos 2\alpha =-\frac{\sqrt{7}}{4}\Rightarrow \tan 2\alpha =\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }=\frac{3}{\sqrt{7}} \\ \end{align} \]

Bài 6 (trang 154 SGK Đại số 10):

Ta có:

\[ \begin{align} & +)\sin 2a=-\frac{5}{9}\Leftrightarrow 2\sin a\cos a=-\frac{5}{9}\Leftrightarrow \sin a\cos a=-\frac{5}{18} \\ & +){{(\sin a+\cos a)}^{2}}={{\sin }^{2}}a+{{\cos }^{2}}a+2\sin a\cos a=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}\Leftrightarrow \sin a+\cos a=\pm \frac{2}{3} \\ \end{align} \]

Với \[ \sin a+\cos a=\frac{2}{3},\,\,\sin a\cdot \cos a=-\frac{5}{18} \]

Do \[ \frac{\pi }{2}0,\cos a<0 \] . thì \[ \sin a \] và \[ \cos a \] là nghiệm của phương trình \[ {{x}^{2}}-\frac{2}{3}x-\frac{5}{18}=0 \] .

Suy ra \[ {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{14}}{6};{{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{14}}{6} \] .

 

Vậy \[ \sin a=\frac{2+\sqrt{14}}{6};\cos a=\frac{2-\sqrt{14}}{6} \] .

Với \[ \sin a+\cos a=-\frac{2}{3},\,\,\sin a\cdot \cos a=-\frac{5}{18} \] thì \[ \sin a \] và \[ \cos a \] là nghiệm của phương trình \[ {{x}^{2}}+\frac{2}{3}x-\frac{5}{18}=0 \] .

Suy ra \[ {{x}_{1}}=\frac{-2+\sqrt{14}}{6};{{x}_{2}}=\frac{-2-\sqrt{14}}{6} \] .

 

Vậy \[ \sin a=\frac{-2+\sqrt{14}}{6};\cos a=\frac{-2-\sqrt{14}}{6} \] .

Bài 7 (trang 155 SGK Đại số 10):

\[ \begin{align} & a)1-\sin x=\sin \frac{\pi }{2}-\sin x=2\cos \frac{\frac{\pi }{2}+x}{2}\sin \frac{\frac{\pi }{2}-x}{2}=2\cos \left( \frac{\pi }{4}+\frac{x}{2} \right)\sin \left( \frac{\pi }{4}-\frac{x}{2} \right) \\ & b)1+\sin x=\sin \frac{\pi }{2}+\sin x=2\sin \frac{\frac{\pi }{2}+x}{2}\cos \frac{\frac{\pi }{2}-x}{2}=2\sin \left( \frac{\pi }{4}+\frac{x}{2} \right)\cos \left( \frac{\pi }{4}-\frac{x}{2} \right) \\ & c)1+2\cos x=2\left( \frac{1}{2}+\cos x \right)=2\left( \cos \frac{\pi }{3}+\cos x \right)=4\cos \left( \frac{\pi }{6}+\frac{x}{2} \right)\cos \left( \frac{\pi }{6}-\frac{x}{2} \right) \\ & d)1-2\sin x=2\left( \frac{1}{2}-\sin x \right)=2\left( \sin \frac{\pi }{6}-\sin x \right)=4\cos \left( \frac{\pi }{12}+\frac{x}{2} \right)\sin \left( \frac{\pi }{12}-\frac{x}{2} \right) \\ \end{align} \]

Bài 8 (trang 155 SGK Đại số 10):

Ta có:

\[ A=\frac{\sin x+\sin 3x+\sin 5x}{\cos x+\cos 3x+\cos 5x}=\frac{2\sin 3x\cos 2x+\sin 3x}{2\cos 3x\cos 2x+\cos 3x}=\frac{2\sin 3x(\cos 2x+1)}{2\cos 3x(\cos 2x+1)}=\tan 3x \]

 

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa công thức lượng giác toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Đánh giá (260)
ican
  • Một thương hiệu của 
    ICAN
  • ICAN
  • ICAN © 2023, All Rights Reserved.

  • Trụ sở Hồ Chí Minh: B0003 C/C Sarina, Khu đô thị Sala, Khu phố 3, Đường Hoàng Thế Thiện, Phường An Lợi Đông, TP. Thủ Đức

  • Văn phòng Hà Nội: Tòa nhà 25T2 Đường Hoàng Đạo Thúy, Phường Trung Hòa, Quận Cầu Giấy