ican
Giải SGK Toán 10
Bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác.

Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác.

Giải bài tập sách giáo khoa các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất

Ican

BÀI 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Định lí côsin

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b và AB = c

Ta có

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA;

b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB;

c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC.

Hệ quả

\[ \cos \text{A}=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc};\cos \text{B}=\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ca};\cos \text{C}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab} \]

2. Định lí sin

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Ta có

\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2\text{R} \]

3. Độ dài đường trung tuyến

Cho tam giác ABC có \[ {{m}_{a}},{{m}_{b}},{{m}_{c}} \] lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C.

Ta có

\[ \begin{align} & m_{a}^{2}=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\frac{{{a}^{2}}}{4} \\ & m_{b}^{2}=\frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\frac{{{b}^{2}}}{4} \\ & m_{c}^{2}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-\frac{{{c}^{2}}}{4} \\ \end{align} \]

4. Công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có

+) ha, hb, hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB;

+) R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;

+) r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;

+) \[ p=\frac{a+b+c}{2} \] là nửa chu vi tam giác;

+) S là diện tích tam giác.

Khi đó ta có:

\[ \begin{align} & \text{S}=\frac{1}{2}\text{a}\cdot {{\text{h}}_{\text{a}}}=\frac{1}{2}\text{b}\cdot {{\text{h}}_{\text{b}}}=\frac{1}{2}\text{c}\cdot {{\text{h}}_{\text{c}}} \\ & =\frac{1}{2}\text{bc}\cdot \sin \text{A}=\frac{1}{2}\text{ca}\cdot \sin \text{B}=\frac{1}{2}\text{ab}\cdot \sin \text{C} \\ & =\frac{\text{abc}}{4\text{R}} \\ & =\text{p}\cdot \text{r}=\sqrt{\text{p}(\text{p}-\text{a})(\text{p}-\text{b})(\text{p}-\text{c})} \\ \end{align} \]

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Bài tập về định lý Cô-sin

Phương pháp giải

Áp dụng định lý Cô-sin và hệ quả (đã nhắc ở lý thuyết) để giải bài tập.

Dạng 2. Bài tập về định lý lý sin

Phương pháp giải

Áp dụng định lý sin để giải bài tập.

Dạng 3. Tính độ dài đường trung tuyến

Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến (đã nêu ở phần tóm tắt lý thuyết) để giải bài tập

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1 (trang 59 SGK Hình học 10):

\[ \begin{align} & +\widehat{B}+\widehat{C}={{90}^{{}^\circ }}\Rightarrow \widehat{C}={{90}^{{}^\circ }}-\widehat{B}={{32}^{{}^\circ }} \\ & +\text{b}=\text{a}\cdot \sin \text{B}=72.\sin {{58}^{{}^\circ }}\approx 61,06~\text{cm} \\ & +\text{c}=\text{a}\cdot \cos \text{B}=72\cdot \cos {{58}^{{}^\circ }}\approx 38,15~\text{cm} \\ & +{{\text{h}}_{\text{a}}}=\text{c}\cdot \sin \text{B}=38,15\cdot \sin {{58}^{{}^\circ }}=32,36~\text{cm}. \\ \end{align} \]

Bài 2 (trang 59 SGK Hình học 10):

\[ \begin{align} & \cos A=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}=\frac{{{85}^{2}}+{{54}^{2}}-52,{{1}^{2}}}{2.85.54}\approx 0,81\Rightarrow \widehat{A}\approx {{36}^{0}} \\ & \cos B=\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ca}=\frac{{{54}^{2}}+52,{{1}^{2}}-{{85}^{2}}}{2.54.52,1}\approx -0,28\Rightarrow \widehat{{\hat{B}}}={{106}^{0}} \\ & \widehat{{\hat{C}}}={{180}^{{}^\circ }}-\hat{A}-\hat{B}={{180}^{{}^\circ }}-{{36}^{0}}-{{106}^{0}}={{38}^{0}} \\ \end{align} \]

Bài 3 (trang 59 SGK Hình học 10):

\[ \begin{align} & +){{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2\cdot bc\cdot \cos A={{8}^{2}}+{{5}^{2}}-2.5\cdot 8\cdot \cos {{120}^{{}^\circ }}=129\Rightarrow a=\sqrt{129cm} \\ & +)\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow \sin B=\frac{b\cdot \sin A}{a}=\frac{8\cdot \sin {{120}^{{}^\circ }}}{\sqrt{129}}=\frac{4}{\sqrt{43}}\Rightarrow \hat{B}={{38}^{{}^\circ }} \\ & +)\hat{C}={{180}^{{}^\circ }}-\hat{A}-\hat{B}={{180}^{{}^\circ }}-{{120}^{{}^\circ }}-{{38}^{0}}={{22}^{0}} \\ \end{align} \]

Bài 4 (trang 59 SGK Hình học 10):

Nửa chu vi của tam giác: p = (7 + 9 + 12)/2 = 14.

Áp dụng công thức Hê–rông ta có:

\(\mathrm{S}=\sqrt{14 \cdot(14-7) \cdot(14-9) \cdot(14-12)}=\sqrt{980}=14 \sqrt{5}\) (đơn vị diện tích)

Bài 5 (trang 59 SGK Hình học 10):

Áp dụng định lý Cô-sin ta có:

BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cos A

= m2 + n2 – 2.m.n.cos120º

= m2 + n2 + mn.

\[ \Rightarrow \text{BC}=\sqrt{\left( {{\text{m}}^{2}}+{{\text{n}}^{2}}+\text{mn} \right)} \]

Bài 6 (trang 59 SGK Hình học 10):

a) Ta có:

\[ \begin{align} & \cos \text{A}=\frac{{{\text{b}}^{2}}+{{\text{c}}^{2}}-{{\text{a}}^{2}}}{2.\text{bc}}=\frac{{{10}^{2}}+{{13}^{2}}-{{8}^{2}}}{2.10.13}=\frac{41}{52}>0\Rightarrow \widehat{\text{A}}<{{90}^{{}^\circ }} \\ & \cos \text{B}=\frac{{{\text{c}}^{2}}+{{\text{a}}^{2}}-{{\text{b}}^{2}}}{2.\text{ca}}=\frac{{{13}^{2}}+{{8}^{2}}-{{10}^{2}}}{2.13.8}=\frac{133}{208}>0\Rightarrow \widehat{\text{B}}<{{90}^{{}^\circ }} \\ & \cos \text{C}=\frac{{{\text{a}}^{2}}+{{\text{b}}^{2}}-{{\text{c}}^{2}}}{2.\text{ab}}=\frac{{{8}^{2}}+{{10}^{2}}-{{13}^{2}}}{2.8.10}=\frac{-1}{32}<0\Rightarrow \widehat{\text{C}}>{{90}^{{}^\circ }} \\ \end{align} \]

Vậy tam giác ABC có góc C tù.

b) Ta có:

\[ \text{A}{{\text{M}}^{2}}=\frac{2\cdot \left( {{\text{b}}^{2}}+{{\text{c}}^{2}} \right)-{{\text{a}}^{2}}}{4}=\frac{2\cdot \left( {{10}^{2}}+{{13}^{2}} \right)-{{8}^{2}}}{4}=\frac{237}{2}\Rightarrow \text{AM}=\sqrt{\frac{237}{2}}\approx 10,9~\text{cm} \]

Bài 7 (trang 59 SGK Hình học 10):

Nhận xét: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn nhất là góc lớn nhất.

a) Cạnh c = 6cm lớn nhất nên góc lớn nhất là góc C:

\[ \cos C\text{ }=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2\cdot ab}=\frac{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}-{{6}^{2}}}{2.3\cdot 4}=\frac{-11}{24}\Rightarrow \hat{C}\text{ }={{117}^{0}}\text{ } \]

Vậy góc lớn nhất là 117º.

b) Cạnh a = 40cm lớn nhất suy ra góc lớn nhất là góc A:

\[ \cos \text{A }=\frac{{{\text{b}}^{2}}+{{\text{c}}^{2}}-{{\text{a}}^{2}}}{2.\text{b}\cdot \text{c}}=\frac{{{13}^{2}}+{{37}^{2}}-{{40}^{2}}}{2.13.37}=\frac{-31}{481}\Rightarrow \widehat{\text{A}}\text{ }={{94}^{{}^\circ }} \]

Vậy góc lớn nhất bằng 94º.

Bài 8 (trang 59 SGK Hình học 10):

\[ \begin{align} & +)Ta\,\,co\grave{u}:\widehat{\text{A}}+\widehat{\text{B}}+\widehat{\text{C}}={{180}^{{}^\circ }}\Rightarrow \widehat{\text{A}}={{180}^{{}^\circ }}-\widehat{\text{B}}-\widehat{\text{C}}={{180}^{{}^\circ }}-{{83}^{{}^\circ }}-{{57}^{0}}={{40}^{{}^\circ }} \\ & +)T\ddot{o}\,\,\tilde{n}\grave{o}nh\,\,ly\grave{u}\,\,\sin :\,\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R \\ & \text{R}=\frac{\text{a}}{2.\sin \text{A}}=\frac{137,5}{2.\sin {{40}^{{}^\circ }}}\approx 107~\text{cm} \\ & \text{b}=\frac{\text{a}\cdot \sin \text{B}}{\sin \text{A}}=\frac{137,5\cdot \sin {{83}^{{}^\circ }}}{\sin {{40}^{{}^\circ }}}\approx 212~\text{cm} \\ & c=\frac{a\cdot \sin C}{\sin A}=\frac{137,5\cdot \sin {{57}^{{}^\circ }}}{\sin {{40}^{{}^\circ }}}\approx 179~\text{cm} \\ \end{align} \]

Bài 9 (trang 59 SGK Hình học 10):

Gọi O là giao điểm của AC và BD ⇒ O là trung điểm của AC và BD.

Xét ΔABC có BO là trung tuyến

\[ \Rightarrow \text{B}{{\text{O}}^{2}}=\frac{2\cdot \left( \text{B}{{\text{A}}^{2}}+\text{B}{{\text{C}}^{2}} \right)-\text{A}{{\text{C}}^{2}}}{4}\Rightarrow 4.\text{B}{{\text{O}}^{2}}=2.\left( \text{B}{{\text{A}}^{2}}+\text{B}{{\text{C}}^{2}} \right)-\text{A}{{\text{C}}^{2}} \]

Mà O là trung điểm của BD nên

\[ \begin{align} & \text{BD}=2.\text{BO}\Rightarrow \text{B}{{\text{D}}^{2}}=4.\text{B}{{\text{O}}^{2}} \\ & \Rightarrow B{{D}^{2}}=2\cdot \left( A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}} \right)-A{{C}^{2}} \\ & \Rightarrow B{{D}^{2}}+A{{C}^{2}}=2\cdot \left( A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}} \right) \\ & \Rightarrow {{m}^{2}}+{{n}^{2}}=2\cdot \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)(\tilde{N}PCM) \\ \end{align} \]

Bài 10 (trang 60 SGK Hình học 10):

\[ \Delta ABC \] vuông tại A có \[ \cot \widehat{\text{APB}}=\frac{\text{AP}}{\text{AB}}\Rightarrow \text{AP}=\text{AB}\cdot \cot \widehat{\text{APB}}=\text{AB}\cdot \cot {{35}^{{}^\circ }} \]

Tam giác AQB vuông tại A có \(\widehat{\mathrm{AQB}}=\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{AB}}\)

\(\Rightarrow \mathrm{AQ}=\mathrm{AB} \cdot \cot \widehat{\mathrm{AQB}}=\mathrm{AB} \cdot \cot 48^{\circ}\)

Ta có: \(\mathrm{PQ}=\mathrm{AP}-\mathrm{AQ}=\mathrm{AB} \cdot \cot 35^{\circ}-\mathrm{AB} \cdot \cot 48^{\circ}=\mathrm{AB} \cdot\left(\cot 35^{\circ}-\cot 48^{\circ}\right) \)

\(\Rightarrow \mathrm{AB}=\frac{\mathrm{PQ}}{\cot 35^{\circ}-\cot 48^{\circ}}=\frac{300}{\cot 35^{\circ}-\cot 48^{\circ}}=568,457(\mathrm{~m})\)

Bài 11 (trang 60 SGK Hình học 10):

Ta có: A1B1 = AB = 12 m

Xét ΔDC1A1 có: C1A1 = C1D.cot49o

Xét ΔDC1B1 có: C1B1 = C1D.cot35o

Mà A1B1 = C1B1 - C1A1 = C1D.cot35o - C1D.cot49o

= C1D.(cot35o - cot49o)

\[ \Rightarrow {{\text{C}}_{1}}\text{D }=\frac{{{\text{A}}_{1}}{{\text{B}}_{1}}}{\cot {{35}^{{}^\circ }}-\cot {{49}^{{}^\circ }}}=\frac{12}{\cot {{35}^{{}^\circ }}-\cot {{49}^{{}^\circ }}}\approx 21,47~\text{m } \]

⇒ CD = CC1 + C1D = 1,3 + 21,47 = 22,77 m.

Vậy chiều cao của tháp là 22,77m.

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất

Đánh giá (499)
ican
  • Một thương hiệu của 
    ICAN
  • ICAN
  • ICAN © 2023, All Rights Reserved.

  • Trụ sở Hồ Chí Minh: B0003 C/C Sarina, Khu đô thị Sala, Khu phố 3, Đường Hoàng Thế Thiện, Phường An Lợi Đông, TP. Thủ Đức

  • Văn phòng Hà Nội: Tòa nhà 25T2 Đường Hoàng Đạo Thúy, Phường Trung Hòa, Quận Cầu Giấy