BÀI 2: HÀM SỐ y=ax+b
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT
y = ax + b (a ≠ 0)
+)Tập xác định D = R
+) Chiều biến thiên
Với a > 0 hàm số đồng biến trên
Với a < 0 hàm số nghịch biến trên
+) Bảng biến thiên
Đồ thị
Đồ thị của hàm số là một đường thẳng không song song và cũng không trùng với các trục tọa độ. Đường thẳng này luôn song song với đường thẳng y = ax (nếu b ≠ 0) (nếu b ≠ 0) và đi qua hai điểm
II. HÀM SỐ HẰNG y = b
Đồ thị hàm số y = b là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm (0 ; b). Đường thẳng này gọi là đường thẳng y = b.
III. HÀM SỐ y = |x|
Hàm số y = |x| có liên quan chặt chẽ với hàm bậc nhất.
1. Tập xác định
Hàm số y = |x| xác định với mọi giá trị của x ∈ R tức là tập xác định y = |x|.
2. Chiều biến thiên
Theo định nghĩa của giá trị tuyệt đối, ta có \(y=|x|=\left\{ \begin{array}{*{35}{r}} x\text{ khi }x\ge 0 \\ -x\text{ khi }x<0 \\ \end{array} \right. \)
Từ đó suy ra hàm số y = |x| nghịch biến trên khoảng ( –∞ ; 0) và đồng biến trên khoảng (0 ; +∞).
Bảng biến thiên
Khi x > 0 và dần tới +∞ thì y = x dần tới +∞, khi x < 0 dần tới –∞ thì y = –x cũng dần tới +∞. Ta có bảng biến thiên sau
3. Đồ thị
Trong nửa khoảng [0; +∞) đồ thị của hàm số y = |x| trùng với đồ thị của hàm số y = x.
Trong khoảng (–∞; 0) đồ thị của hàm số y = |x| trùng với đồ thị của hàm số y = –x
CHÚ Ý
Hàm số y = |x| là một hàm số chẵn, đồ thị của nó nhận Oy làm trục đối xứng.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định hàm số y = ax + b và sự tương giao của đồ thị hàm số
+ Để xác định hàm số bậc nhất ta là như sau:
Gọi hàm số cần tìm là y = ax + b (a ≠ 0). Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn a, b từ đó suy ra hàm số cần tìm.
+ Cho hai đường thẳng d1: y = a1x + b1 và d2: y = a2x + b2. Khi đó:
a) d1 và d2 trùng nhau \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{a}_{1}}={{a}_{2}} \\ {{b}_{1}}={{b}_{2}} \\ \end{array} \right. \)
b) d1 và d2 song song nhau \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{a}_{1}}={{a}_{2}} \\ {{b}_{1}}\ne {{b}_{2}} \\ \end{array} \right. \)
c) d1 và d2 cắt nhau ⇔ a1 ≠ a2. Và tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y={{a}_{1}}x+{{b}_{1}} \\ y={{a}_{2}}x+{{b}_{2}} \\ \end{array} \right. \)
d) d1 và d2 vuông góc nhau ⇔ a1.a2 = -1
Dạng 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc nhất
Dựa trên kiến thức đã nêu ở phần Lý thuyết trọng tâm
Dạng 3: Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Vẽ đồ thị (C) của hàm số y = |ax + b| ta làm như sau
Cách 1: Vẽ (C1 ) là đường thẳng y = ax + b với phần đồ thị sao cho hoành độ x thỏa mãn x ≥ (-b)/a , Vẽ (C2 ) là đường thẳng y = -ax - b lấy phần đồ thị sao cho x < (-b)/a. Khi đó (C) là hợp của hai đồ thị (C1 ) và (C2 ).
Cách 2: Vẽ đường thẳng y = ax + b và y = -ax - b rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới trục hoành. Phần đường thẳng nằm trên trục hoành chính là (C).
Chú ý:
+ Biết trước đồ thị (C): y = f(x) khi đó đồ thị (C1 ): y = f(|x|) là gồm phần :
- Giữ nguyên đồ thị (C) ở bên phải trục tung;
- Lấy đối xứng đồ thị (C) ở bên phải trục tung qua trục tung.
+ Biết trước đồ thị (C): y = f(x) khi đó đồ thị (C2 ): y = |f(x)| là gồm phần:
- Giữ nguyên đồ thị (C) ở phía trên trục hoành
- Lấy đối xứng đồ thị (C) ở trên dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành.
Dạng 4: Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất
Cho hàm số f(x) = ax + b và đoạn [α; β] ⊂ R.Khi đó, đồ thị của hàm số y = f(x) trên [α; β] là một đoạn thẳng nên ta có một số tính chất:
$$ {{\max }_{[\alpha ,\beta ]}}f(x)=\max \{f(\alpha );f(\beta )\} $$
$$ {{\min }_{[\alpha ,\beta ]}}f(x)=\min \{f(\alpha );f(\beta )\} $$
$$ {{\max }_{[\alpha ,\beta ]}}|f(x)|=\max \{|f(\alpha )|;|f(\beta )|\} $$
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1 (trang 41-42 SGK Đại số 10):
a) y = 2x – 3.
| x | 1 | 0 |
| y | -1 | -3 |
b) $$ y=\sqrt{2} $$
c) $$ y=\frac{-3}{2}x+7 $$
d) y=|x|-1
Bài 2 (trang 42 SGK Đại số 10):
Lời giải:
a) A(0;3) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b ⇒ 3 = a.0 + b ⇒ b = 3.
B (3/5; 0) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b ⇒ 0 = a.3/5 + 3 ⇒ a = –5.
Vậy a = –5; b = 3.
b) A(1; 2) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b ⇒ 2 = a.1 + b ⇒ b = 2 – a (1)
B (2; 1) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b ⇒ 1 = 2.a + b (2)
Thay (1) vào (2) ta được: 2a + 2 – a = 1 ⇒ a = –1 ⇒ b = 2 – a = 3.
Vậy a = –1; b = 3.
c) A(15; –3) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b ⇒ –3 = 15.a + b ⇒ b = –3 – 15.a (1)
B (21; –3) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b ⇒ –3 = 21.a + b ⇒ b = –3 – 21.a (2)
Từ (1) và (2) suy ra –3 – 15.a = –3 – 21.a ⇒ a = 0 ⇒ b = –3.
Vậy a = 0; b = –3.
Bài 3 (trang 42 SGK Đại số 10):
Lời giải:
a)
+ A (4; 3) thuộc đường thẳng y = ax + b ⇒ 3 = 4.a + b (1)
+ B (2; –1) thuộc đường thẳng y = ax + b ⇒ –1 = 2.a + b (2)
Lấy (1) trừ (2) ta được: 3 – (–1) = (4a + b) – (2a + b)
⇒ 4 = 2a ⇒ a = 2 ⇒ b = –5.
Vậy đường thẳng đi qua hai điểm A(4;3), B(2 ; –1) là y = 2x – 5.
b)
+ Đường thẳng song song với Ox có dạng y = b.
+ Đường thẳng đi qua điểm A(1 ; –1) nên b = – 1.
Vậy đường thẳng cần tìm là y = –1.
Bài 4 (trang 42 SGK Đại số 10):
a) Đồ thị hàm số là hợp của hai phần đồ thị
+ Phần thứ nhất là nửa đường thẳng y = 2x giữ phần bên phải trục tung.
+ Phần thứ hai là nửa đường thẳng y = –1/2. x giữ phần bên trái trục tung.
b) Đồ thị hàm số là hợp của hai phần:
+ Phần thứ nhất là nửa đường thẳng x + 1 giữ lại các điểm có hoành độ ≥ 1.
+ Phần thứ hai là nửa đường thẳng –2x + 4 giữ lại các điểm có hoành độ < 1.
