BÀI 1: MỆNH ĐỀ
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Mệnh đề
Mỗi mệnh đề phải đúng hoặc sai.
Mỗi mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.
2. Phủ định của một mệnh đề
Kí hiệu mệnh phủ định của mệnh đề P là \[ \overline{P} \] ta có
- \[ \overline{P} \] đúng khi P sai.
- \[ \overline{P} \] sai khi P đúng.
3. Mệnh đề kéo theo
Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo, và kí hiệu là P => Q.
Mệnh đề P => Q còn được phát biểu là “P kéo theo Q” hoặc “Từ P suy ra Q”.
Mệnh đề P => Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.
Như vậy, ta chỉ xét tính đúng sai của mệnh đề P => Q khi P đúng. Khi đó, nếu Q đúng thì P => Q đúng, nếu Q sai thì P => Q sai.
Các định lí, toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng P => Q.
Khi đó ta nói P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hoặc P là điều kiện đủ để có Q hoặc Q là điều kiện cần để có P.
4. Mệnh đề đảo, hai mệnh đề tương đương
Mệnh đề Q => P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P => Q
Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.
Nếu cả hai mệnh đề P => Q và Q => P đều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương.
5. Kí hiệu ∀ và ∃
Ví dụ: Câu “Bình phương của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng 0” là một mệnh đề. Có thể viết mệnh đề này như sau
\[\forall x\in R:{{x}^{2}}\ge 0\]
hay \[{{x}^{2}}\ge 0,\forall x\in R\].
Kí hiệu ∀ đọc là “với mọi”.
Ví dụ: Câu “Có một số nguyên nhỏ hơn 0” là một mệnh đề
Có thể viết mệnh đề này như sau
\[\exists n\in Z:n<0\].
Kí hiệu ∃ đọc là “có một” (tồn tại một) hay “có ít nhất một” (tồn tại ít nhất một).
Phủ định của mệnh đề
\[\forall x\in X,P\left( x \right)\]
là mệnh đề \[ \exists x\in X,\overline{P(x)} \]
Phủ định của mệnh đề \[\exists x\in X,P\left( x \right)\]
là mệnh đề \[ \forall x\in X,\overline{P(x)} \]
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Xác định tính đúng sai của mệnh đề
Phương pháp giải
+ Mệnh đề: xác định giá trị (Đ) hoặc (S) của mệnh đề đó.
+ Mệnh đề chứa biến p(x): Tìm tập hợp D của các biến x để p(x) (Đ) hoặc (S).
Dạng 2: Phát biểu mệnh đề điều kiện cần và đủ
Phương pháp giải
Mệnh đề: P ⇒ Q
Khi đó: P là giả thiết, Q là kết luận.
Hoặc P là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q là điều kiện cần để có P.
Dạng 3: Phủ định mệnh đề
Phương pháp giải
Mệnh đề phủ định của P là "Không phải P".
Mệnh đề phủ định của "∀x ∈ X,P(x)" là: \[ ''\exists x\in X,\,\overline{P(x)}'' \]
Mệnh đề phủ định của "∃x ∈ X,P(x)" là \[ ''\forall x\in X,\overline{P(x)}'' \] .
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1 (trang 9 SGK Đại số 10):
Lời giải:
a) 3 + 2 = 7 là mệnh đề và là mệnh đề sai
Vì 3 + 2 = 5 ≠ 7
b) 4 + x = 3 là mệnh đề chứa biến
Vì với mỗi giá trị của x ta được một mệnh đề.
c) x + y > 1 là mệnh đề chứa biến
Vì với mỗi cặp giá trị của x, y ta được một mệnh đề.
d) \[2\sqrt{5}<0\]là mệnh đề và là mệnh đề đúng
Vì \[2=\sqrt{4}<\sqrt{5}\]
Bài 2 (trang 9 SGK Đại số 10):
Lời giải:
a) Mệnh đề “1794 chia hết cho 3” đúng vì 1794 : 3 = 598
Mệnh đề phủ định: "1794 không chia hết cho 3"
b) Mệnh đề “ \[ \sqrt{2} \] là số hữu tỉ’’ sai vì \[ \sqrt{2} \] là số vô tỉ
Mệnh đề phủ định: " \[ \sqrt{2} \] không phải là một số hữu tỉ"
c) Mệnh đề π < 3, 15 đúng vì π = 3,141592654…
Mệnh đề phủ định: "π ≥ 3, 15"
d) Mệnh đề ‘’|–125| ≤ 0’’ sai vì |–125| = 125 > 0
Mệnh đề phủ định: "|–125| > 0".
Bài 3 (trang 9 SGK Đại số 10):
Lời giải:
| Mệnh đề | Mệnh đề đảo | Phát biểu bằng khái niệm “ điều kiện đủ” | Phát biểu bằng khái niệm “điều kiện cần” |
| Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c. | Nếu a + b chia hết cho c thì cả a và b đều chia hết cho c. | a và b chia hết cho c là điều kiện đủ để a + b chia hết cho c. | a + b chia hết cho c là điều kiện cần để a và b chia hết cho c. |
| Các số nguyên có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5. | Các số nguyên chia hết cho 5 thì có tận cùng bằng 0. | Một số nguyên tận cùng bằng 0 là điều kiện đủ để số đó chia hết cho 5. | Các số nguyên chia hết cho 5 là điều kiện cần để số đó có tận cùng bằng 0. |
| Tam giác cân có hai đường trung tuyến bằng nhau | Tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau là tam giác cân. | Tam giác cân là điều kiện đủ để tam giác đó có hai đường trung tuyến bằng nhau. | "Hai trung tuyến của một tam giác bằng nhau là điều kiện cần để tam giác đó cân. |
| Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau | Hai tam giác có diện tích bằng nhau là hai tam giác bằng nhau. | Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác đó có diện tích bằng nhau. | Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác đó bằng nhau. |
Bài 4 (trang 9 SGK Đại số 10):
Lời giải:
a) Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 9 là tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.
b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là điều kiện cần và đủ để nó là một hình thoi.
c) Để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần và đủ là biệt thức của nó dương.
Bài 5 (trang 10 SGK Đại số 10):
Lời giải:
a) ∀ x ∈ R: x.1 = x
b) ∃ a ∈ R: a + a = 0
c) ∀ x ∈ R: x + (-x) = 0
Bài 6 (trang 10 SGK Đại số 10):
Lời giải:
a) Bình phương của mọi số thực đều dương.
– Mệnh đề này sai vì nếu x = 0 thì x2 = 0.
Sửa cho đúng: ∀ x ∈ R : x2 ≥ 0.
b) Tồn tại số tự nhiên mà bình phương của nó bằng chính nó.
– Mệnh đề này đúng. Ví dụ: n = 0; n = 1.
c) Mọi số tự nhiên đều nhỏ hơn hoặc bằng hai lần của nó.
– Mệnh đề này đúng.
d) Tồn tại số thực nhỏ hơn nghịch đảo của chính nó.
– Mệnh đề này đúng. Ví dụ 0,5 < 1/ 0,5.
Bài 7 (trang 10 SGK Đại số 10):
Lời giải:
a) A: “∀ n ∈ N: n chia hết cho n”
\[ \overline{A} \] : “∃ n ∈ N: n không chia hết cho n”.
\[ \overline{A} \] đúng vì với n = 0 thì n không chia hết cho n.
b) B: “∃ x ∈ Q : x2 = 2”.
\[ \overline{B} \] : “∀ x ∈ Q : x2 ≠ 2”
\[ \overline{B} \] đúng.
c) C: “∀ x ∈ R : x < x + 1”.
\[ \overline{C} \] : “∃ x ∈ R: x ≥ x + 1”.
\[ \overline{C} \] sai vì x + 1 luôn lớn hơn x.
d) D: “∃ x ∈ R: 3x = x2 + 1”
\[ \overline{D} \] : “∀ x ∈ R ; 3x ≠ x2 + 1”
\[ \overline{D} \] sai vì với \[ x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2} \]
\[ \overline{D} \] thỏa mãn: \[ 3\cdot \frac{3+\sqrt{5}}{2}={{\left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}+1 \] và \[ 3\cdot \frac{3-\sqrt{5}}{2}={{\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}+1 \]
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 10 bài 1 Mệnh đề do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ