BÀI 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khái niệm vectơ
Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểu đầu, điểm B là điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng.
Định nghĩa. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là $$ \overrightarrow{AB} $$ và đọc là “ vectơ AB.
Vectơ còn được kí hiệu là $$ \vec{a},\vec{b},\vec{x},\vec{y},\ldots $$ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó.
2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng
Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.
Định nghĩa. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
3. Hai vectơ bằng nhau
Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của $$ \overrightarrow{AB} $$ được kí hiệu là $$ |\overrightarrow{AB}| $$ , như vậy $$ |\overrightarrow{AB}|=AB $$ .
Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.
Hai vectơ $$ \vec{a} $$ và $$ \vec{b} $$ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu $$ \vec{a}=\vec{b} $$
4. Vectơ – không
Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều là A. Vectơ này được kí hiệu là $$ \overrightarrow{AA} $$ và được gọi là vectơ – không.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Bài tập về hai véc tơ cùng phương, cùng hướng
+ Để chứng minh hai vecto cùng phương, ta chứng minh giá của hai vecto đó song song hoặc trùng nhau. ( quan hệ từ vuông góc đến song song, cùng song song với 1 đường thẳng thứ ba, định lí Talet, tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, các góc vị trí so le trong – đồng vị bằng nhau ....)
+ Để chứng minh hai vecto cùng hướng, ta chứng minh hai vecto đó cùng phương và xét hướng của hai vecto đó.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1 (trang 7 SGK Hình học 10):
Lời giải
a) Gọi Δ1, Δ2, Δ3 lần lượt là giá của ba vectơ \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)
+ Vectơ a cùng phương với vectơ c ⇒ Δ1 //≡ Δ3
+ Vectơ b cùng phương với vectơ c ⇒ Δ2 //≡ Δ3
⇒ Δ1 //≡ Δ2
⇒ Vectơ \(\vec{a}\) cùng phương với \(\vec{b}\) (theo định nghĩa).
b) \(\vec{a}\) , $$ \vec{b} $$ cùng ngược hướng với \(\vec{c}\)
⇒ \(\vec{a}\) , $$ \vec{b} $$ đều cùng phương với $$ \text{\vec{c}} $$
⇒ \(\vec{a}\) và $$ \vec{b} $$ cùng phương.
⇒ \(\vec{a}\) và $$ \vec{b} $$ chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
Mà \(\vec{a}\) và $$ \vec{b} $$ đều ngược hướng với \(\vec{c}\) nên \(\vec{a}\) và $$ \vec{b} $$ cùng hướng.
Bài 2 (trang 7 SGK Hình học 10):
Lời giải
– Các vectơ cùng phương:
\(\vec{a}\) và $$ \vec{b} $$ cùng phương
\(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) cùng phương
\(\vec{x}\) , \(\vec{y}\) , \(\vec{w}\) , \(\vec{z}\) cùng phương.
– Các vectơ cùng hướng:
\(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) cùng hướng
\(\vec{x}\) , \(\vec{y}\) và \(\vec{z} \) cùng hướng
– Các vectơ ngược hướng:
$$ \vec{u} $$ và $$ \overrightarrow{\text{v }\!\!~\!\!\text{ }} $$ ngược hướng
\(\vec{w}\) ngược hướng với các vec tơ \(\vec{x}\) , \(\vec{y}\) và \(\vec{z}\)
– Các vectơ bằng nhau: \(\vec{x}\) và \(\vec{y}\)
Bài 3 (trang 7 SGK Hình học 10)
Lời giải:
+ Nếu $$ \overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{DC}} $$
$$ \Rightarrow \overrightarrow{\text{AB}} $$ cùng hướng với $$ \overrightarrow{\text{DC}} $$
Và $$ \left| \overrightarrow{\text{AB}} \right|=\left| \overrightarrow{\text{DC}} \right| $$
$$ \Rightarrow \text{AB}//\text{DC} $$ và $$ \text{AB}=\text{DC} $$
$$ \Rightarrow \text{ABCD} $$ là hình bình hành
+ Nếu ABCD là hình bình hành
$$ \Rightarrow \text{AB}//\text{CD} $$
$$ \Rightarrow \overrightarrow{\text{AB}} $$ và $$ \overrightarrow{\text{DC}} $$ cùng phương
Nhìn hình vẽ thấy
$$ \overrightarrow{\text{AB}} $$ và $$ \overrightarrow{\text{DC}} $$ cùng hướng
Lại AB = CD $$ \Rightarrow \text{AB}=\text{CD} $$
Bài 4 (trang 7 SGK Hình học 10):
Lời giải
a) Các vectơ khác vectơ $$ \vec{0} $$ và cùng phương với vectơ $$ \overrightarrow{\text{OA}} $$ là:
$$ \overrightarrow{\text{CB}},\overrightarrow{\text{BC}},\overrightarrow{\text{EF}},\overrightarrow{\text{FE}},\overrightarrow{\text{OD}},\overrightarrow{\text{DO}},\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{DA}},\overrightarrow{\text{AO}} $$
b) Các vectơ bằng vector $$ \overrightarrow{AB} $$ là:
$$ \overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{FO}}=\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{ED}} $$