Bài 1. Đại cương về phương trình

BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

A. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH

1. Phương trình một ẩn

Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng

f(x) = g(x) (1)

trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f(x) là vế trái, g(x) là vế phải của phương trình (1).

Nếu có số thực x0 sao cho f(xo) = g(xo) là mệnh đề đúng thì xo được gọi là một nghiệm của phương trình (1).

Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).

Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).

2. Điều kiện của một phương trình

Khi giải phương trình (1), ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).

3. Phương trình nhiều ẩn

Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn

3x + 2y = x2 – 2xy + 8, (2)

4x2 – xy + 2z = 3z2 + 2xz + y2 ( 3)

Phương trình (2) là phương trình hai ẩn (x và y), còn (3) là phương trình ba ẩn (x, y và z).

Khi x = 2, y = 1 thì hai vế của phương trình (2) có giá trị bằng nhau, ta nói cặp (x; y) = (2; 1) là một nghiệm của phương trình (2).

Tương tự, bộ ba số (x; y; z) = (–1; 1; 2) là một nghiệm của phương trình (3).

4. Phương trình chứa tham số

Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.

B. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

1. Phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

2. Phép biến đổi tương đương

Định lí

Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương

a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.

3. Phương trình hệ quả

Nếu mọi nghiệm của phương trình f(x) = g(x) đều là nghiệm của phương trình f1(x) = g1(x) thì phương trình f1(x) = g1(x) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = g(x)

Ta viết

f(x) = g(x) => f1(x) = g1(x).

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm tập xác định của phương trình

Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f(x), g(x) cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài).

- Điều kiện để biểu thức

+ \[ \sqrt{(f(x))} \] xác định là f(x) ≥ 0

+ \[\frac{1}{f(x)}\]xác định là f(x) ≠ 0

+ \[\frac{1}{\sqrt{f(x)}}\]xác định là f(x) > 0

Dạng 2: Giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương

+ Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho.

+ Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.

+ Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.

Bình phương hai vế của phương trình (hai vế luôn cùng dấu) ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.

Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc nhất

Dạng 4: Giải và biện luận phương trình bậc hai

Giải và biện luận phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0

Bước 1. Biến đổi phương trình về đúng dạng ax2 + bx + c = 0

Bước 2. Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét 2 trường hợp:

- Trường hợp 1: a = 0, ta giải và biện luận ax + b = 0.

- Trường hợp 2: a ≠ 0. Ta lập Δ = b2 - 4ac. Khi đó:

+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt \[ {{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a} \] 

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có 1 nghiệm (kép): x = -b/2a

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Bước 3. Kết luận.

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1 (trang 57 SGK Đại số 10):

Lời giải:

Phương trình 3x = 2 (1) có nghiệm x = 2/3

Phương trình 2x = 3 (2) có nghiệm x = 3/2

Cộng các vế tương ứng của hai phương trình (1) và (2) ta được phương trình

3x + 2x = 2 + 3 hay 5x = 5 (3) có nghiệm x = 1.

a) Phương trình (3) không tương đương với phương trình nào trong các phương trình (1) và (2) vì không có cùng tập nghiệm.

b) Phương trình (3) không phải phương trình hệ quả của phương trình nào trong các phương trình (1) và (2) vì nghiệm của (1) và (2) đều không phải nghiệm của (3).

Bài 2 (trang 57 SGK Đại số 10):

Lời giải:

Phương trình 4x = 5 (1) có nghiệm x = 5/4

Phương trình 3x = 4 (2) có nghiệm x = 4/3

Nhân các vế tương ứng của hai phương trình đã cho ta được phương trình

4x.3x = 5.4 hay 12x2 = 20 (3) có hai nghiệm \[ x=\sqrt{\frac{5}{3}} \] và \[ x=\sqrt{\frac{5}{3}} \] 

a) Phương trình (3) không tương đương với phương trình nào trong hai phương trình (1) và (2) vì không có cùng tập nghiệm.

b) Phương trình (3) không phải phương trình hệ quả của phương trình nào trong các phương trình (1) và (2) vì nghiệm của (1) và (2) đều không phải nghiệm của (3).

Bài 3 (trang 57 SGK Đại số 10):

Lời giải:

a) \[ \sqrt{3-x}+x=\sqrt{3-x}+1 \] 

Tập xác định: D = (-∞ ;3]

Phương trình ⇔ x = 1 (trừ cả hai vế của phương trình cho \[ \sqrt{3-x} \] ).

x = 1 thuộc tập xác định.

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

b) \[ x+\sqrt{x-2}=\sqrt{2-x}+2 \] 

Điều kiện xác định \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x-2\ge 0  \\    2-x\ge 0  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    x\ge 2  \\    x\le 2  \\ \end{array}\Leftrightarrow x=2 \right. \right. \)

Với \[ \text{x}=2,\text{VT}=\text{x}+\sqrt{\text{x}-2}=2;\,\,\text{VP}=\sqrt{2-\text{x}}+2=2 \] 

Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình.

c) \[ \frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{x-1}}=\frac{9}{\sqrt{x-1}} \] 

Điều kiện xác định : x > 1.

Phương trình ⇔ x2 = 9 (Nhân cả hai vế với \[ \sqrt{x-1}\ne 0 \] )

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   x=3  \\    x=-3  \\ \end{array} \right. \)

So sánh với điều kiện xác định thấy x = 3 thỏa mãn.

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

d) \[ {{x}^{2}}-\sqrt{1-x}=\sqrt{x-2}+3 \] 

Điều kiện xác định : \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   1-x\ge 0  \\    x-2\ge 0  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    x\le 1  \\    x\ge 2  \\ \end{array} \right. \right. \)

Vậy phương trình có tập xác định D = ∅ nên phương trình vô nghiệm.

Bài 4 (trang 57 SGK Đại số 10):

Lời giải:

a) \[ x+1+\frac{2}{x+3}=\frac{x+5}{x+3} \] 

Điều kiện xác định: x ≠ -3.

Phương trình

\[ \Leftrightarrow x+1=\frac{x+5}{x+3}-\frac{2}{x+3}\Leftrightarrow x+1=\frac{x+3}{x+3}\Leftrightarrow x+1=1\Leftrightarrow \text{x}=0 \] (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.

b) \[ 2x+\frac{3}{x-1}=\frac{3x}{x-1} \] 

Điều kiện xác định: x ≠ 1.

Phương trình

\[ \Leftrightarrow 2\text{x}=\frac{3\text{x}}{\text{x}-1}-\frac{3}{\text{x}-1}\Leftrightarrow 2x=\frac{3x-3}{x-1}\Leftrightarrow 2x=\frac{3\cdot (x-1)}{x-1}\Leftrightarrow 2x=3\Leftrightarrow \text{x}=\frac{3}{2} \] 

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3/2.

c) \[ \frac{{{x}^{2}}-4x-2}{\sqrt{x-2}}=\sqrt{x-2} \] 

Điều kiện xác định : x > 2.

Phương trình \(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-2=x-2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x=0\Leftrightarrow x(x-5)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   \text{x}=0  \\    \text{x}=5  \\ \end{array} \right. \)

So sánh với điều kiện xác định thấy x = 5 thỏa mãn.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5.

d) \[ \frac{2{{x}^{2}}-x-3}{\sqrt{2x-3}}=\sqrt{2x-3} \] 

Điều kiện xác định: x > 3/2.

Phương trình \(\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-x-3=2x-3\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3x=0\Leftrightarrow x(2x-3)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   \text{x}=0  \\    2\text{x}-3=0  \\ \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}    \text{x}=0  \\    \text{x}=\frac{3}{2}  \\ \end{array} \right. \right. \)

So sánh với điều kiện xác định thấy không có giá trị nào thỏa mãn.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa đại cương về phương trình toán học 10, toán 10 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất