BÀI 1: BẤT ĐẲNG THỨC
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Tính chất của bất đẳng thức
Như vậy để chứng minh bất đẳng thức a > b ta chỉ cần chứng minh a – b > 0. Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau
2. Bất đẳng thức Cô-si
Định lí
Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng
\[ \sqrt{\text{ab}}\le \frac{\text{a+b}}{2},\quad \forall \text{a},\text{b}\ge 0 \]
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
3. Các hệ quả
Hệ quả 1: Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.
Hệ quả 2: Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y.
Hệ quả 3: Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.
3. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
\[ |\text{x}|\ge 0,|\text{x}|\ge \text{x},|\text{x}|\ge -\text{x} \]
\[ |\text{x}|\le \text{a}\Leftrightarrow -\text{a}\le \text{x}\le \text{a} \] với a không âm.
\[ |\text{x}|\ge \text{a}\Leftrightarrow \text{x}\le -\text{a} \] hoặc \[ x\ge a \] .
\[ |\text{a}|-|\text{b}|\le |\text{a}+\text{b}|\le |\text{a}|+|\text{b}| \]
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức:
+ Phương pháp biến đổi tương đương
+ Phương pháp sử dụng các tính chất của tỉ số, tính chất giá trị tuyệt đối và tính
chất của tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức.
+ Phương pháp phản chứng
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1 (trang 79 SGK Đại Số 10):
Lời giải
a) Ta có: 8 > 4 nên để 8x > 4x thì x > 0
Do đó, chỉ đúng khi x > 0 (hay nói cách khác nếu x < 0 thì a sai)
b) Ta có: 4 < 8 nên để 4x > 8x thì x < 0 .
Do đó, khẳng định chỉ đúng khi x < 0
c) chỉ đúng khi x ≠ 0
d) Ta có: 8 > 4 nên với mọi x thì 8+ x > 4+ x ( tính chất cộng hai vế của BĐT với 1 số)
Do đó, khẳng định đúng với mọi x.
Vậy khẳng định d là đúng với mọi giá trị của x.
Bài 2 (trang 79 SGK Đại Số 10):
Lời giải
Với mọi x ≠ 0 ta luôn có: - 1 < 0 < 1. Do đó,
\[ \frac{5}{x}-1<\frac{5}{x}<\frac{5}{x}+1 \] hay C < A < B.
Lại có x > 5 ⇒ x2 > 52 (Bình phương hai vế)
\[ \Rightarrow \frac{{{x}^{2}}}{5x}>\frac{{{5}^{2}}}{5x} \] (Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với \[\frac{1}{5x}>0\])
\[ \Rightarrow \frac{x}{5}>\frac{5}{x} \] hay D >A.
Vậy ta có C < A < B và C < A < D nên trong bốn số trên, C là số nhỏ nhất.
Bài 3 (trang 79 SGK Đại Số 10):
Lời giải
a) Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
⇒ a + c > b và a + b > c (Bất đẳng thức tam giác)
⇒ a + c – b > 0 và a + b – c > 0
Ta có: (b – c)2 < a2
⇔ a2 – (b – c)2 > 0
⇔ (a – (b – c))(a + (b – c)) > 0
⇔ (a – b + c).(a + b – c) > 0 (Luôn đúng vì a + c – b > 0 và a + b – c > 0).
Vậy ta có (b – c)2 < a2 (1) (đpcm)
b) Chứng minh tương tự phần a) ta có :
( a – b)2 < c2 (2)
(c – a)2 < b2 (3)
Cộng ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có:
(b – c)2 + (c – a)2 + (a – b)2 < a2 + b2 + c2
⇒ b2 – 2bc + c2 + c2 – 2ca + a2 + a2 – 2ab + b2 < a2 + b2 + c2
⇒ 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca) < a2 + b2 + c2
⇒ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (đpcm).
Bài 4 (trang 79 SGK Đại Số 10):
Lời giải
Với x ≥ 0; y ≥ 0 thì x + y ≥ 0
Ta có: x3 + y3 ≥ x2y + xy2
⇔ (x3 + y3) – (x2y + xy2) ≥ 0
⇔ (x + y)(x2 – xy + y2) – xy(x + y) ≥ 0
⇔ (x + y)(x2 – xy + y2 – xy) ≥ 0
⇔ (x + y)(x2 – 2xy + y2) ≥ 0
⇔ (x + y)(x – y)2 ≥ 0 (Luôn đúng vì x + y ≥ 0 ; (x – y)2 ≥ 0)
Dấu « = » xảy ra khi (x – y)2 = 0 ⇔ x = y.
Bài 5 (trang 79 SGK Đại Số 10):
Lời giải
Đặt \[ t=\sqrt{x} \] (điều kiện t ≥ 0), khi đó
\[ {{x}^{4}}-\sqrt{{{x}^{5}}}+x-\sqrt{x}+1={{(\sqrt{x})}^{8}}-{{(\sqrt{x})}^{5}}+{{(\sqrt{x})}^{2}}-\sqrt{x}+1 \]
\[ ={{t}^{3}}-{{t}^{5}}+{{t}^{2}}-t+1 \]
Ta cần chứng minh : t8 – t5 + t2 – t + 1 > 0
2.(t8 – t5 + t2 – t + 1) = t8 + t8 – 2t5 + t2 + t2 – 2t + 1 + 1
= t8 + (t4 – t)2 + (t – 1)2 + 1.
≥ 0 + 0 + 0 + 1 = 1.
(Vì t8 ≥ 0 ; (t4 – t)2 ≥ 0; (t – 1)2 ≥ 0)
⇒ t8 – t5 + t2 – t + 1 ≥ 1/2 > 0 hay \[ {{x}^{4}}-\sqrt{{{x}^{5}}}+x-\sqrt{x}+1>0,\forall x\ge 0 \] (đpcm)
Bài 6 (trang 79 SGK Đại Số 10):
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Lời giải
Gọi tiếp điểm của AB và đường tròn tâm O, bán kính 1 là M, ta có: OM ⊥ AB.
ΔOAB vuông tại O, có OM là đường cao nên MA.MB = MO2 = 1 (hằng số)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
\[ \text{MA}+\text{MB}\ge 2\sqrt{\text{MA}\cdot \text{MB}}=2.\sqrt{1}=2 \]
Dấu « = » xảy ra khi MA = MB = 1.
Khi đó \(O \mathrm{~A}=\sqrt{\left(\mathrm{MA}^{2}+\mathrm{MO}^{2}\right)}=\sqrt{2} ; \mathrm{OB}=\sqrt{\left(\mathrm{OM}^{2}+\mathrm{MB}^{2}\right)}=\sqrt{2}\)
Mà A, B nằm trên tia Ox và Oy nên
\[ \text{A}(\sqrt{2};0) \] ; \[ \text{B}(0;\sqrt{2}) \]
Vậy tọa độ là \[ \text{A}(\sqrt{2};0) \] và \[ \text{B}(0;\sqrt{2}) \] .
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa bất đẳng thức toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất