Tuyệt chiêu nhẩm nghiệm nguyên của các phương trình bậc cao đặc biệt

Phương trình bậc cao là một bài toán "khó nhằn" với nhiều học sinh, việc tính nhẩm được nghiệm nguyên của phương trình sẽ giúp các em rút ngắn được thời gian giải phương trình và tìm ra các nghiệm còn lại. Cùng tìm hiểu cách nhẩm nghiệm phương trình bậc cao qua các dạng bài dưới đây nhé.

1. LOẠI 1: TỔNG CÁC HỆ SỐ BẰNG 0

Ở lớp 9, học sinh đã được học phương pháp nhẩm nhanh nghiệm của phương trình bậc 2 $$a{{x}^{2}}+bx+c=0$$ với trường hợp $$a+b+c=0$$. Khi đó, phương trình sẽ có một nghiệm $$x=1$$.

Mở rộng ra với các phương trình bậc cao hơn, ta cũng có tính chất này.

Ví dụ: Giải phương trình: $${{x}^{4}}-{{x}^{2}}-2x+2=0$$ (1)

Nhận xét: tổng các hệ số $$1-1-2+2=0$$ nên ta suy ra phương trình có một nghiệm $$x=1$$. Thật vậy, ta thay $$x=1$$ vào phương trình thì thấy thõa mãn $$0=0$$.

Sử dụng lược đồ Hoocne hoặc phép chia đa thức, ta có:

 \(\begin{align}   & (1)<=>(x-1)({{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2)=0 \\  & \,\,\,\,\,\,<=>\left[ \begin{matrix}    x=1  \\    {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2=0(2)  \\ \end{matrix} \right. \\ \end{align}\)

 

Giải (2):

Ta lại thấy tổng các hệ số $$1+1-2=0$$ thế nên (2) có nghiệm bằng $$1$$. Ta thử thay $$x=1$$ vào (2) thì thấy thõa mãn $$0=0$$. Vì vậy, ta có:

\(\begin{align} & (2)<=>(x-1)({{x}^{2}}+2x+2)=0 \\ & \,\,\,\,\,\,\,<=>\left[ \begin{matrix} x=1 \\ {{x}^{2}}+2x+2=0\,\,(3) \\ \end{matrix} \right. \\ \end{align} \) 

 

Giải (3) ta thấy (3) vô nghiệm.

Kết luận, phương trình có nghiệm duy nhất $$x=1$$.

 

2. LOẠI 2: TỔNG CÁC HỆ SỐ BẬC CHẴN BẰNG TỔNG CÁC HỆ SỐ BẬC LẺ

Ở lớp 9, học sinh đã được học phương pháp nhẩm nhanh nghiệm của phương trình bậc hai: $$a{{x}^{2}}+bx+c=0$$ với trường hợp $$a-b+c=0$$. Khi đó, phương trình sẽ có một nghiệm $$x=-1$$.

Mở rộng ra với các phương trình bậc cao hơn, ta cũng có tính chất này. Đó là tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ.

Ví dụ: Giải phương trình $$2{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4x-5=0$$ (1)

Nhận xét: Tổng các hệ số chẵn bằng tổng các hệ số lẻ $$2+3-5=4-4$$ vậy nên ta có một nghiệm $$x=1$$. Thử lại vào phương trình (1) ta thấy $$0=0$$ thỏa mãn.

\(\begin{align} & (1)<=>(x+1)(2{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+x-5)=0 \\ & \,\,\,\,\,\,<=>\left[ \begin{matrix} x=-1\,\, \\ 2{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+9x+5=0\,\,(2) \\ \end{matrix} \right. \\ \end{align} \)

 

Giải (2)

\(\begin{align} & (2)<=>(x-1)(2{{x}^{2}}+4x+5)=0 \\ & \,\,\,\,\,\,\,<=>\left[ \begin{matrix} x=1 \\ 2{{x}^{2}}+4x+5=0\,\,(3) \\ \end{matrix} \right. \\ \end{align} \)

Vì (3) vô nghiệm nên kết luận phương trình có hai nghiệm $$x=1$$$$x=-1$$.