Tìm số phức, giải phương trình số phức nhanh gọn bằng các chức năng trên máy tính cầm tay

Ví dụ 1: Phương trình \({{z}^{2}}-(5-i)z+8-i=0\) có nghiệm là:

A. \(z=3+i;z=-3-i \)                                        

B. \(z=1-3i;z=-1+3i\)

C. \(z=3-2i,z=2+i \)                                       

D. \(z=1+i,z=-1-i\)

Hướng dẫn:

Cách giải tự luận:

\(\Delta ={{(5-i)}^{2}}-4(8-i)=-8-6i\)

Ta đi tìm căn bậc hai \(\sqrt{\Delta }\) được \(1-3i\)

\({{z}_{1}}=\frac{(5-i)+(1-3i)}{2}=3-2i,\,{{z}_{2}}=\frac{(5-i)-(1-3i)}{2}=2+i\)

Nhận xét: Để giải được phương trình số phức trên, ta cần tính delta, rồi tính căn bậc hai của delta, từ đó biến đổi suy ra nghiệm \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\). Quá trình này tốn khá nhiều thời gian và kĩ năng xử lý, đặc biệt là trong việc tìm căn bậc 2 của một số phức. Chính vì vậy, ta cùng đi tìm hiểu các thao tác Casio để xử lý bài toán này đơn giản và tiết kiệm thời gian nhất.

Phương pháp:

+ Nếu phương trình cho sẵn nghiệm thì thay từng đáp án.

+ Nếu phương trình bậc 2, bậc 3 chỉ chứa \(z\) với hệ số thực, ta giải như phương trình số thực (nhận cả nghiệm phức).

+ Nếu phương trình chứa cả \(z;\overline{z};\left| z \right|\),...dùng kĩ thuật CALC với \(X=100\), \(Y=0,01\). Sau đó phân tích kết quả.

Quy trình bấm máy:

 

Thử đáp án A  

Kết quả khác 0 nên loại A.

Thử đáp án B, nhập biểu thức

Sau đó thay \(z=1-3i\) bằng cách bấm lần lượt CALC -1 + 3 ENG = và xem kết quả

Kết quả khác 0 nên loại đáp án B.

Thử đáp án C, nhập biểu thức

 

Thay\( z=3-2i\) bằng cách bấm lần lượt CALC 3 -2 ENG = và đợi kết quả

Kết quả ra 0 (thõa mãn). Vậy chọn C.

 

Ví dụ 2: Gọi \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}-z+1=0\). Giá trị của \(\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|\) bằng:

A. 0                            

B. 1                            

C. 2                            

D. 4

Hướng dẫn:

Tính nghiệm của phương trình bậc hai \({{z}^{2}}-z+1=0\) bằng chức năng MODE 5 3.

Quy trình bấm máy   

Vậy ta được hai nghiệm \( {{z}_{1}}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \) và \({{z}_{2}}={{z}_{1}}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i.\)

Để tính tổng hai mô-đun của hai số phức trên, ta có

Quy trình bấm máy: 

Vậy\( \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=2 \) nên ta chọn B.

 

Ví dụ 3: Cho số phức thỏa mãn: \((1+i)z+(2-i)\overline{z}=11+i.\) Tính \(\left| z \right|\).

A. \(\sqrt{2}\)                            

B. \(\sqrt{5}\)                            

C. \(\sqrt{10} \)               

D. \(2\sqrt{2}\)

Hướng dẫn:

Nhập phương trình với \(z=X+Yi;\overline{z}=X-Yi\) với CALC\( X=100\), \(Y=0,01\).

Quy trình bấm máy 

Bấm   

Ta có kết quả vế trái \(299,98-0,01i\)

Phân tích \(299,98=300-0,02=3x-2y\)\(0,01i=yi\).

Đồng nhất vế trái và vế phải cho phần thực và phần ảo bằng nhau

\(\left\{ \begin{matrix}    3x-2y=11  \\    y=-1  \\ \end{matrix} \right.\)

\(=>\left\{ \begin{matrix}    x=3  \\    y=-1  \\ \end{matrix} \right.\)

\(=>z=3-i\)

\(=>\left| z \right|=\sqrt{10}\) nên ta chọn C.