Vận dụng chức năng thông minh của máy tính Casio tìm các đường tiệm cận của hàm số

 

Phương pháp: Sử dụng chức năng CALC của máy tính Casio.

                      Đồ thị hàm số \(y=f(x)\) nhận đường thẳng \(x={{x}_{0}}\)là tiệm cận đứng nếu \(\underset{x->{{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty\)  hoặc \(\underset{x->{{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty .\)

                      Đồ thị hàm số \(y=f(x)\) nhận đường thẳng \(y={{y}_{0}}\) là tiệm cận ngang nếu \(\underset{x->-\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)={{y}_{0}}\) hoặc \(\underset{x->+\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)={{y}_{0}}.\)

Ví dụ 1: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1-\sqrt{{{x}^{2}}+x+3}}{{{x}^{2}}-5x+6}\)

A. \(\left[ \begin{matrix}    x=-3  \\    x=-2  \\ \end{matrix} \right.\)

B. \(x=-3\)
C.
\(\left[ \begin{matrix}    x=3  \\    x=2  \\ \end{matrix} \right.\)

D. \(x=3\)

Hướng dẫn:

Cách giải tự luận:

Theo đúng định nghĩa đã nhắc lại ở trên, việc tìm các đường tiệm cận ta cần tìm thông qua việc tính giới hạn \(\underset{x->{{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty ,\underset{x->{{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty \), \(\underset{x->-\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)={{y}_{0}},\underset{x->+\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)={{y}_{0}}\). Thật vậy, giới hạn luôn là một phần kiến thức khó đối với học sinh THPT. Đặc biệt là đối tượng học sinh lớp 12 vì giới hạn đã được học trước đó ở lớp 11. Cụ thể với bài toán này, để tìm được giới hạn chứa căn, khả năng cao ta sẽ phải sử dụng liên hợp. Chính điều này sẽ khiến việc tìm tiệm cận của hàm số trở nên dài dòng và phức tạp. Vì vậy, ta cùng đi tìm hiểu cách thao tác bằng máy tính Casio.Để tìm tiệm cận đứng, đầu tiên ta giải phương trình ở mẫu. Tức giải \({{x}^{2}}-5x+6=0<=>\left[ \begin{matrix}    x=3  \\    x=2  \\ \end{matrix} \right.\)

Ta nhập biểu thức \(\frac{2x-1-\sqrt{{{x}^{2}}+x+3}}{{{x}^{2}}-5x+6}\) vào máy tính

Với \(x=3\), ta CALC giá trị \(x=3,0000001\) bằng cách bấm lần lượt “CALC 3,0000001 =”, ta được kết quả

Với giá trị \(x=2\), ta CALC giá trị \(x=2,0000001\) bằng cách bấm lần lượt “CALC 2,0000001 =”, ta được kết quả

Như vậy, với \(x=3\) thì \(\underset{x->{{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty\)   nên \(x=3 \)là một tiệm cận đứng của \(f(x)\).

Với \(x=2\), thì \(\underset{x->{{2}^{+}}}{\mathop{\lim f(x)}}\,\)  kết quả không ra vô cùng nên \(x=2\) không là tiệm cận đúng của \(f(x)\).

Kết luận Chọn B.

Ví dụ 2: Tìm số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{1-{{x}^{2}}}\).

A. 0                   B. 1                        C. 2                        D. 3

Hướng dẫn:

  • Nhập hàm số \(\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{1-{{x}^{2}}}\) vào máy tính

  • Bấm lần lượt “CALC 9999999 =”, máy tính báo kết quả

  • Ta CALC tiếp giá trị -9999999 bằng cách bấm lần lượt “CALC -9999999 =”, máy tính báo kết quả

Như vậy với cả hai trường hợp , kết quả báo lại đều là -1.

Vì vậy ta kết luận \(y=-1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. (Nếu máy tính trả về 2 kết quả hữu hạn thì lấy cả hai, trả về giá trị rất lớn hoặc rất bé (vô cực) thì loại).

Chọn đáp án B.