Chức năng "thần thánh" của Casio trong giải bài toán tính đơn điệu của hàm số lớp 12

Bài toán tính đơn điệu của hàm số là bài toán quá quen thuộc với tất cả học sinh lớp 12, bằng một chiếc máy tính cầm tay các em đã có thể tìm ra đáp án trong tích tắc nhờ phương pháp dưới đây.

Phương pháp:

  • Cô lập tham số
  • Sử dụng chức năng MODE 7 của máy tính Casio. Quan sát bảng kết quả, khoảng giác trị nào các giá trị tăng thì đồng biến, giảm thì nghịch biến.

Ví dụ 1: Cho hàm số \(y={{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+2mx+3\). Tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến trên khoảng \((0;2)\).

Hướng dẫn:

Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}+2mx+2m\)

Đầu tiên ta cô lập \(m\)
Yêu cầu bài toán

                          \(\begin{align}   & <=>y'\ge 0\,\forall x\in (0;2) \\  & <=>3{{x}^{2}}+2mx+2m\ge 0\,\forall x\in (0;2) \\  & <=>m\ge \frac{-3{{x}^{2}}}{2x+2}\,\forall x\in (0;2) \\ \end{align}\)

Như vậy, \(m\) lớn hơn hoặc bằng giá trị lớn nhất của hàm số\( \frac{-3{{x}^{2}}}{2x+2}\) trên khoảng \((0;2)\)thì đó là kết quả của bài toán.

Cách xử lý tiếp bài toán bằng tự luận:

Để tìm GTLN của một hàm số theo SGK Đại số lớp 12, ta sẽ phải:

Bước 1: Đi tính đạo hàm, giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm ra \({{x}_{0}},{{x}_{1}}\),...

Bước 2: So sánh, lựa chọn \({{x}_{0}},{{x}_{1}}\),...thuộc khoảng  \([a,b]\) ở giả thiết .

Bước 3: Tính \(f(a),f(b),f({{x}_{0}}),f({{x}_{1}})\),... rồi kết luận GTLN.

Ta nhận thấy cách xử lý này khá mất nhiều thời gian và phức tạp. Thay vào đó, ta cùng đi tìm hiểu cách tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng máy tính Casio.

Để tìm giá trị lớn nhất của \(\frac{-3{{x}^{2}}}{2x+2}\) trên khoảng \((0;2)\) ta dùng chức năng MODE 7.

Bấm MODE 7

Nhập hàm số \(\frac{-3{{x}^{2}}}{2x+2} \)  vào máy tính sau đó ấn dấu =

Máy tính hỏi hàm số \(g(x)\), ta bấm tiếp =, máy tính hỏi Start thì bấm 0 =, máy tính hỏi End thì bấm 2 =, máy tính hỏi Step thì bấm (2-0):19 rồi ấn = (vì khoảng cần tìm từ (0;2). Cuối cùng nhận được bảng kết quả như sau:

Kéo xuống và quan sát bảng giá trị, ta thấy \(\frac{-3{{x}^{2}}}{2x+2}\)có giá trị lớn nhất là \(0\).

Vậy ta kết luận \(m\ge 0\).

 

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho hàm số \( y=\frac{\tan x-2}{\tan x-m}\) đồng biến trên khoảng \([0;\frac{\pi }{4}]\).

     A. \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \le 0}\\ {1 \le m < 2} \end{array}} \right.\)             

B. \(m<2  \)            

C. \(1\le m<2  \)               

D. \(m\ge 2\)

 

Hướng dẫn:

Đặt \(\tan x=t\), vì đổi biến nên ta cần tìm miền giá trị của \(t\). Sử dụng MODE 7

Nhập hàm số \(f(x)=\tan x\)

Máy tính hỏi hàm số \(g(x)\) ta ấn =, Start ta bấm 0 =, End ta bấm 45 = (vì ta có đoạn \([0;\frac{\pi }{4}]\)), Step ta bấm (45-0):19 = , kết quả thu được bảng giá trị

Kéo xuống kiểm tra, ta thấy \(0\le \tan x\le 1\). Vậy nên \(t\in (0;1)\).

Bài toán trở thành tìm \(m\) để hàm số \(y=\frac{t-2}{t-m}\) đồng biến trên khoảng \((0;1)\).

Ta có: \(y'=\frac{(t-m)-(t-2)}{{{(t-m)}^{2}}}=\frac{2-m}{{{(t-m)}^{2}}}\).

Yêu cầu bài toán tương đương:

\(y'>0\)

\(<=>\frac{2-m}{{{(t-m)}^{2}}}>0\)

\(<=>2-m>0\)

\(<=>m<2 (1)\)

Kết hợp điều kiện xác định\( t-m\ne 0<=>m\ne t<=>m\notin (0;1)\, (2)\)

Từ (1) và (2) ta được \(\left[ \begin{matrix}    m\le 0  \\    1\le m<2  \\ \end{matrix} \right.\)

Chọn A.