Phương pháp giải nhanh bài toán tương giao của đồ thị hàm số bằng máy tính Casio

 

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}+mx+16\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

A. \(m>12\)                     

B. \(m<-12\)                    

C. \(m<0\)             

D. \(m>0\)

Nhận xét: Để xử lý bài toán trên theo cách tự luận, ta cần giải phương trình hoành độ giao điểm: \({{x}^{3}}+mx+16=0\) và tìm điều kiện của \(m\) để phương trình này có 3 nghiệm phân biệt x. Rõ ràng, đối với học sinh Trung bình thì đây không phải là một bài toán đơn giản, vì học sinh chưa được học điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt. Chính vì vậy, chúng ta cùng đi tìm hiểu cách giải quyết bài toán trên bằng các thao tác với Casio.

Phương pháp: Để tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm ta dùng chức năng lập bảng giá trị MODE 7, giải phương trình MODE 5 hoặc lệnh SOLVE.

Hướng dẫn: Để đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}+mx+16\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình \({{x}^{3}}+mx+16=0\) có 3 nghiệm phân biệt.

+ Thử với \(m=14\), sử dụng lệnh MODE 5 4 (giải phương trình bậc 3)

Quy trình bấm máy “Mode 5 4 1 = 0= 14 = 16 = = = =”, ta thấy kết quả ra 3 nghiệm, trong đó nghiệm \({{x}_{2}},{{x}_{3}}\) là nghiệm phức.

Loại A

+ Thử với \(m=-14\), sử dụng lệnh giải phương trình bậc 3(MODE 5 4)

Quy trình bấm máy: “Mode 5 4 1 = 0 = -14 = 16 = = = =”, ta thu được kết quả

Ta thấy 3 nghiệm thực => Đáp án đúng có thể là B hoặc C. Thử thêm một giá trị \(m=-1\) nữa thì thấy \(m=-1\) không thỏa mãn => Chọn B.

Ví dụ 2: Tập giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({{5.16}^{x}}-{{2.81}^{x}}=m{{.36}^{x}}\) có đúng 1 nghiệm ?

A. \(m>0 \)                                                     

B. \(\left[ \begin{matrix}    m\ge \sqrt{2}  \\    m\le -\sqrt{2}  \\ \end{matrix} \right.\)

C. Với mọi \(m\)                                             

     D. Không tồn tại \(m\)

Hướng dẫn:

Ta có \({{5.16}^{x}}-{{2.81}^{x}}=m{{.36}^{x}}<=>m=\frac{{{5.16}^{x}}-{{2.81}^{x}}}{{{36}^{x}}}\)

Đặt \(f(x)=\frac{{{5.16}^{x}}-{{2.81}^{x}}}{{{36}^{x}}}\). Khi đó phương trình ban đầu tương đương \(f(x)=m\).

Sử dụng MODE 7 để khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) với thiết lập Start -9, End 10, Step 1.

Bấm MODE 7, sau đó nhập hàm số \(f(x)\)

Tiếp tục bấm “= -9 = 10 = 1 =”, ta thu được kết quả:

Quan sát giá trị cột thứ \(2(f(x))\), ta thấy chúng luôn giảm, có nghĩa là \(f(x)\) luôn nghịch biến. Điều này có nghĩa là đường thẳng \(y=m\) luôn cắt đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại 1 điểm => Chọn C.