Vận dụng định lý Cosin trong tam giác sao cho hiệu quả

Sử dụng định lý cosin một cách thành thạo là yêu cầu bắt buộc với hầu hết các học sinh THPT. Dưới đây chúng ta cùng tổng hợp hệ quả và kinh nghiệm vận dụng chúng.

1, ĐỊNH LÝ COSIN

Trong tam giác ABC với AB = \(c\), BC = \(a\), CA = \(b\). Ta luôn có:

 \(\begin{align}   & {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos A \\  & {{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{c}^{2}}-2ac\cos B \\  & {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\cos C \\ \end{align}\)            

Định lý có một ý nghĩa rất quan trọng:

“Trong một tam giác, ta luôn tính được cạnh thứ ba nếu biết hai cạnh và góc xem giữa.”

Hãy ghi nhớ nhận xét này, nó rất có hữu ích trong thực hành và rất hay dùng.

Từ định lý trên, ta dễ dàng suy ra hệ quả sau:

2, HỆ QUẢ

Hệ quả này có một ý nghĩa quan trọng:

“ Trong một tam giác, ta luôn tính được các góc nếu biết ba cạnh”.

\(\begin{align}   & \cos A=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc} \\  & \cos B=\frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}{2bc} \\  & \cos C=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab} \\ \end{align}\)

Như vậy, nếu định lý cosin cho phép ta tính cạnh thì hệ quả của nó cho phép ta tính góc. Sau đây chúng ta sẽ thấy tầm quan trọng của 2 ý nghĩa trên, qua việc vận dụng chúng vào bài toán khá quen thuộc: “Xây dựng công thức đường trung tuyến tam giác”.

3, VẬN DỤNG

Ví dụ: Cho tam giác ABC, có AB =\(c\) , BC =\(a\), CA = \(b\), MA =\({{m}_{a}}\)(M là trung điểm của BC). Tính độ dài đường trung tuyến AM theo \(a,b,c\).

  • Hướng biến đổi thứ nhất

Xét tam giác ABC: \(\cos C=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}\)

Xét tam giác AMC: \(\cos C=\frac{{{(\frac{a}{2})}^{2}}+{{b}^{2}}-{{m}_{a}}^{2}}{ab}\)Từ hai điều trên ta suy ra:

\(\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}=\frac{{{(\frac{a}{2})}^{2}}+{{b}^{2}}-{{m}_{a}}^{2}}{ab}                                <=>{{m}_{a}}^{2}=\frac{2({{b}^{2}}+{{c}^{2}})-{{a}^{2}}}{4}\)

  • Hướng biến đổi thứ hai

Vì ta cần tính AM nên ta xem xét nó trong tam giác AMC, ta có:

\({{m}_{a}}^{2}={{(\frac{a}{2})}^{2}}+{{b}^{2}}-2.\frac{a}{2}.b.\cos C\)

\(<=>{{m}_{a}}^{2}=\frac{{{a}^{2}}}{4}+{{b}^{2}}-ab.\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}\)

 \(<=>{{m}_{a}}^{2}=\frac{2({{b}^{2}}+{{c}^{2}})-{{a}^{2}}}{4}\)

Kết luận: Ta đã xây dựng được công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác theo ba cạnh, là nhờ dựa vào hai luận điểm cơ bản “Muốn tính một cạnh thì cần biết hai cạnh còn lại và góc xen giữa”, “Muốn tính một góc thì cần biết ba cạnh”. Đó cũng chính là hai ý nghĩa quan trọng của Định lý Cosin và hệ quả của nó.