Tìm GTLN,GTNN bằng phương pháp thế biến "thần thánh"

 

Phương pháp chung:

+ Rút 1 biến biểu diễn theo biến kia. Xác định miền giá trị của biến được rút.

+ Thay biến được rút vào biểu thức giả thiết. Khảo sát và đưa ra kết luận.

 

Ví dụ 1:

Cho \(x,y\) là các số thực thỏa mãn điều kiện \(y \leq 0, x^{2}+x-y-12=0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biều thức \(P=x y+x+2 y+17\).

Lời giải:

Từ giả thiết ta có: \(y=x^{2}+x-12 \leq 0 \Leftrightarrow x \in[-4 ; 3]\). Khi đó: \(P=x\left(x^{2}+x-12\right)+x+\left(x^{2}+x-12\right)+17=x^{3}+3 x^{2}-9 x-7\).

Xét hàm số \(f(x)=x^{3}+3 x^{2}-9 x-7, x \in[-4 ; 3]\).

Ta có: \(f'(x)=3{{x}^{2}}+6x-9=0\)

\(<=>\left[ \begin{array}{*{35}{l}} x=1 \\ x=-3 \\ \end{array} \right. \)

Ta có: \(f(-4)=13, f(3)=20, f(1)=-12, f(-3)=20\).

Suy ra: \({{\max }_{[-4;3]}}f(x)=f(-3)=f(3)=20\)

\(\max _{[-4 ; 3]} f(x)=f(-3)=f(3)=20, \min _{[-4 ; 3]} f(x)=f(1)=-12\)

Vậy giá trị nhò nhất của \(\mathrm{P}\) bằng \(-12\) đạt được tại \((x ; y)=(1 ;-10)\).

 

Ví dụ 2:

Cho \(a,\,b\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(a+b=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biều thức \(P=3 \sqrt{1+2 a^{2}}+2 \sqrt{40+9 b^{2}}\).

Lời giải:

Từ giả thiết ta có: \(a=1-b>0 \Rightarrow b \in(0 ; 1)\).

Khi đó: \(P=3 \sqrt{1+2(1-b)^{2}}+2 \sqrt{40+9 b^{2}}\)

Xét hàm số \(f(b)=3 \sqrt{1+2(1-b)^{2}}+2 \sqrt{40+9 b^{2}}, b \in(0 ; 1)\), ta có:

\(f'(b)=\frac{6(b-1)}{\sqrt{2{{b}^{2}}-4b+3}}+\frac{18b}{\sqrt{9{{b}^{2}}+40}}=0\)

\(\Leftrightarrow (1-b)\sqrt{9{{b}^{2}}+40}=3b\sqrt{2{{b}^{2}}-4b+3}\)

\(\Leftrightarrow {{(1-b)}^{2}}\left( 9{{b}^{2}}+40 \right)=9{{b}^{2}}\left( 2{{b}^{2}}-4b+3 \right)\)

\(\Leftrightarrow (b+2)(3b-2)\left( 3{{b}^{2}}-10b+10 \right)=0\)

\(\Leftrightarrow(1-b)^{2}\left(9 b^{2}+40\right)=9 b^{2}\left(2 b^{2}-4 b+3\right) \Leftrightarrow(b+2)(3 b-2)\left(3 b^{2}-10 b+10\right)=0 \Rightarrow b=\frac{2}{3}\)

Xét \(f'(b)\) qua điểm \(\frac{2}{3}\) thấy \(f'(b)\) đổi dấu từ âm sang dương nên suy ra \({{b}_{0}}=\frac{2}{3}\) chính là điểm cực tiểu.

Từ đó suy ra: \(P=f(b) \geq f\left(\frac{2}{3}\right)=5 \sqrt{11}\).

 Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\mathrm{P}\) bằng \(5 \sqrt{11}\) đạt được tại \((a ; b)=\left(\frac{1}{3} ; \frac{2}{3}\right)\).

Ví dụ 3:

(HSG Quốc gia 1998) Cho \(x,y\) là các số thực thỏa mãn điều kiện \(2 x-y=2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}+\sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}\).

Lời giải:

Từ già thiết ta có: \(y=2 x-2\). Thay vào biểu thức\( P\) ta có:

Khi đó: \(P=\sqrt{5 x^{2}-4 x+1}+\sqrt{5 x^{2}-20 x+25}\)

Xét hàm số \(f(x)=\sqrt{5 x^{2}-4 x+1}+\sqrt{5 x^{2}-20 x+25}\), ta có:

\(f'(x)=\frac{5x-2}{\sqrt{5{{x}^{2}}-4x+1}}+\frac{5x-10}{\sqrt{5{{x}^{2}}-20x+25}}\)

\(f'(x)=0\Leftrightarrow (5x-2)\sqrt{5{{x}^{2}}-20x+25}=(10-5x)\sqrt{5{{x}^{2}}-4x+1}\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    (5x-2)(10-5x)\ge 0  \\    {{(5x-2)}^{2}}\left( 5{{x}^{2}}-20x+25 \right)={{(10-5x)}^{2}}\left( 5{{x}^{2}}-4x+1 \right)  \\ \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    x\in \left[ \frac{2}{5};2 \right]  \\    24{{x}^{2}}-16x=0  \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x=\frac{2}{3}\)

Xét \(f'(x)\) qua điểm \(x=\frac{2}{3}\) thì thấy nó đổi dấu từ âm sang dương.

Từ đó suy ra \({{x}_{0}}=\frac{2}{3}\) chính là điểm cực tiểu nên \(P=f(x) \geq f\left(\frac{2}{3}\right)=2 \sqrt{5}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\mathrm{P}\) bằng \(2 \sqrt{5}\) đạt được tại \((x ; y)=\left(\frac{2}{3} ;-\frac{2}{3}\right)\).

Ví dụ 4:

Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(x^{2}-x y+3=0 \) và \( 2 x+3 y \leq 14\). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=3 x^{2} y-x y^{2}-2 x\left(x^{2}-1\right)\).

Lời giải:

Từ già thiết suy ra:

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=\frac{{{x}^{2}}+3}{x} \\ 2x+3\cdot \frac{{{x}^{2}}+3}{x}\le 14 \\ \end{array} \right. \)

\(<=>\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=\frac{{{x}^{2}}+3}{x} \\ x\in \left[ 1;\frac{9}{5} \right] \\ \end{array} \right. \)

Khi đó: \(P=3 x^{2}\left(\frac{x^{2}+3}{x}\right)-x\left(\frac{x^{2}+3}{x}\right)^{2}-2 x\left(x^{2}-1\right)=5 x-\frac{9}{x}\).

Xét hàm số \(f(x)=5 x-\frac{9}{x}, x \in\left[1 ; \frac{9}{5}\right]\).

Ta có: \(f'(x)=5+\frac{9}{{{x}^{2}}}>0\,\,\forall x\in \left( 1;\frac{9}{5} \right)\). Do đó hàm số đồng biến trên \(\left[1 ; \frac{9}{5}\right]\)

Suy ra: \(\max \underset{x\in \left[ 1,\frac{9}{5} \right]}{\mathop{f(x)}}\,=f\left( \frac{9}{5} \right)=4,\,\min \underset{x\in \left[ 1;\frac{9}{5} \right]}{\mathop{f(x)}}\,=f(1)=-4\).

Vậy GTNN của \(\mathrm{P}\)\(-4\) đạt được khi \(x=1, y=4\); GTLN của \(\mathrm{P}\)\(4\) đạt được khi \(x=\frac{9}{5}, y=\frac{52}{15}\).