SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LỚP 10

Bất phương trình chứa căn, bất phương trình chứa tham số,...là một trong những dạng bài dễ gây mất điểm đáng tiếc. Bài viết dưới đây tổng hợp những lỗi sai cơ bản và cách khắc phục mà các em học sinh cần ghi nhớ trong quá trình giải dạng toán này.

1. Bất phương trình chứa căn

Học sinh thường không xem xét kĩ bài toán dẫn đến thiếu trường hợp, hoặc sử dụng các phép biến đổi không chính xác.

Ví dụ: Giải bất phương trình \(\sqrt{2{{x}^{2}}-6x+1}-x+2>0\)

Lỗi sai thường gặp:

Điều kiện: \(2{{x}^{2}}-6x+1\ge 0<=>\left[ \begin{matrix}    x\le \frac{3-\sqrt{7}}{2}  \\    x\ge \frac{3+\sqrt{7}}{2}  \\ \end{matrix} \right.\)(1) tương đương \(\sqrt{2{{x}^{2}}-6x+1}>x-2 \)   <=> \(\left\{ \begin{matrix}    x-2\ge 0  \\    2{{x}^{2}}-6x+1>{{(x-2)}^{2}}  \\ \end{matrix} \right.\)  <=> \(\left\{ \begin{matrix}    x\ge 2  \\    {{x}^{2}}-2x-3>0  \\ \end{matrix}<=>\left\{ \begin{matrix}    x\ge 2  \\    \left[ \begin{matrix}    x>3<=>x\,>3  \\    x<-1\,(L)  \\ \end{matrix} \right.  \\ \end{matrix} \right. \right.\)

 Vậy \(x>3\) là nghiệm của bất phương trình.

 Hướng khắc phục:

 Phép biến đổi trên đã xét thiếu trường hợp \(x-2<0\). Học sinh cần nhớ biểu thức

 tương đương khi giải bất phương trình:\(\sqrt{f(x)}\ge g(x)<=>\left\{ \begin{matrix}    f(x)\ge 0  \\    \left[ \begin{matrix}    g(x)<0  \\    \left\{ \begin{matrix}    g(x)\ge 0  \\    f(x)\ge g{{(x)}^{2}}  \\ \end{matrix} \right.  \\ \end{matrix} \right.  \\ \end{matrix} \right.\)

Lời giải đúng:

Giải bất phương trình \(\sqrt{2{{x}^{2}}-6x+1}-x+2>0\) 

Điều kiện: \(2{{x}^{2}}-6x+1\ge 0<=>\left[ \begin{matrix}    x\le \frac{3-\sqrt{7}}{2}  \\    x\ge \frac{3+\sqrt{7}}{2}  \\ \end{matrix} \right.\)

 \(\sqrt{2{{x}^{2}}-6x+1}-x+2>0\) <=>  \(\sqrt{2{{x}^{2}}-6x+1}>x-2\) (1)

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: 

Vì theo TXD thì vế trái lớn hơn hoặc bằng không, ta xét vế phải \( x-2<0<=>x<2=>x\le \frac{3-\sqrt{7}}{2}\,\,(do\,TXD) \\\) 

Trường hợp 2: (1) trở thành

 \(\begin{align} & <=>\left\{ \begin{matrix} x-2\ge 0 \\ 2{{x}^{2}}-6x+1>{{(x-2)}^{2}} \\ \end{matrix} \right. \\ & <=>\left\{ \begin{matrix} x\ge 2 \\ {{x}^{2}}-2x-3>0 \\ \end{matrix} \right. \\ & <=>\left\{ \begin{matrix} x\ge 2 \\ \left[ \begin{matrix} x>3<=>x>3 \\ x<-1(L) \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right. \\ \end{align} \)

   

Vậy bất phương trình có nghiệm là \(x\in (-\infty ,\frac{3-\sqrt{7}}{2}]\cup (3,+\infty ).\)

 

2. Bất phương trình chứa tham số

Các sai lầm thường xuất hiện do học sinh vội vàng áp dụng định lý khi chưa chú ý đến giả thiết bài toán hoặc là lạm dụng suy diễn mệnh đề không đúng hoặc xét thiếu trường hợp biện luận.

Ví dụ: Tìm m để biểu thức \(P(x)=\sqrt{(m-1){{x}^{2}}-2(m-1)x+3m+3}\) có nghĩa với mọi \(\,\,\forall x\in \mathbb{R}\).

Sai lầm thường gặp:

Biểu thức có nghĩa với mọi \(x\)  tương đương với \((m-1){{x}^{2}}-2(m-1)x+3m+3\ge 0\,\,\forall x\in \mathbb{R}\)

\(\begin{align} & <=>\left\{ \begin{matrix} {\Delta }'\le 0 \\ a>0 \\ \end{matrix} \right. \\ & <=>\left\{ \begin{matrix} {{(m-1)}^{2}}-(m-1)(3m+3)\le 0 \\ m-1>0 \\ \end{matrix} \right. \\ & <=>\left\{ \begin{matrix} 2{{m}^{2}}+2m-4\le 0 \\ m>1 \\ \end{matrix} \right. \\ & <=>\left\{ \begin{matrix} \left[ \begin{matrix} m\ge 1 \\ m\le -2 \\ \end{matrix} \right. \\ m>1 \\ \end{matrix}<=>m>1 \right. \\ & \\ \end{align} \)

Hướng khắc phục:

Dễ thấy rằng với \(m=1 , f(x)=6>0\,\,\forall x\in \mathbb{R}\). Lời giải trên đã thiếu trường hợp, do đó cần nhắc lại cho học sinh rằng:

Lời giải đúng:

Biểu thức có nghĩa \(\,\,\forall x\in \mathbb{R}\)  tương đương với

\((m-1){{x}^{2}}-2(m-1)x+3m+3\ge 0\,\,\,\,\forall x\in \mathbb{R}\)

Trường hợp 1: \(m-1=0<=>m=1.\)

Khi đó \(f(x)=6>0\,\,\forall x\in \mathbb{R}\)

Trường hợp 2: \(m-1\ne 0<=>m\ne 1.\)

 

\(f(x)\ge 0\,\,\forall x\in \mathbb{R}\)

\(<=>(m-1){{x}^{2}}-2(m-1)x+3m+3\ge 0\,\,\forall x\in \mathbb{R}\)

\(\begin{align} & <=>\,\left\{ \begin{matrix} \Delta '\le 0 \\ a>0 \\ \end{matrix} \right. \\ & <=>\left\{ \begin{matrix} {{(m-1)}^{2}}-(m-1)(3m+3)\le 0 \\ m-1>0 \\ \end{matrix} \right. \\ & <=>\left\{ \begin{matrix} 2{{m}^{2}}+2m-4\le 0 \\ m>1 \\ \end{matrix} \right. \\ & <=>\left\{ \begin{matrix} \left[ \begin{matrix} m\ge 1 \\ m\le -2 \\ \end{matrix} \right. \\ m>1 \\ \end{matrix}<=>m>1 \right. \\ \end{align} \)

Vậy giá trị cần tìm là \(m\ge 1\).