Nắm trọn phương pháp giải các dạng bài xét tính liên tục của hàm số

XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Giả sử hàm số \(f(x)\) xác định trên khoảng\( (a ; b)\)\(x_{0} \in(a ; b)\). Hàm số \(y=f(x)\) gọi là liên tục tại điểm \(x_{0}\)nếu \( \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right)\).

Hàm số không liên tục tại điểm \(x_{0}\) gọi là gián đoạn tại \(x_{0}\).

2. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn

Giả sử hàm số\( f(x)\) liên tục trên khoảng \((a ; b)\). Ta nói rằng hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên khoảng \((a ; b)\) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

- Hàm số \(y=f(x)\) gọi là liên tục trên đoạn \([a ; b]\) nếu nó liên tục trên khoảng \((a ; b)\)\(\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(a),\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(b)\text{ }\).

Nhận xét:

- Nếu hai hàm \(f(x)\)\(g(x)\) liên tục tại điểm \(x_{0}\) thì các hàm số \(f(x)\pm g(x),f(x).g(x)\),\(c.f(x)\)(với \(c\) là hằng số) đều liên tục tại điểm \(x_{0}\)\(\)

- Hàm số đa thức liên tục trên \(\mathbb{R}\). Hàm số phân thức và lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

B. DẠNG TOÁN VỀ XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

1. Xét tính liên tục của hàm số trên tại một điểm

Phương pháp giải: Hàm số liên tục tại điểm hoặc \(x=x_{0}\)khi \(f\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)\) hoặc \(f\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)\).

Ví dụ 1:

Xét tính liên tục của hàm số \(\)

\(f(x)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{{{x}^{2}}-3x+2}{x-2}\text{ khi }x\ne 2\text{ } & {} \\ 4x-7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{khi }x=2 & {} \\ \end{array} \right. \) tại \({{x}_{0}}=2\)

Lời giải:

Ta có \(f\left(x_{0}\right)=f(2)=4.2-7=1\)

\(\lim _{x \rightarrow 2} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-3 x+2}{x-2}\)

\(=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(x-2)(x-1)}{x-2}=1\)

Suy ra \(f(2)=\lim _{x \rightarrow 2} f(x)\) nên hàm số \(f(x)\) liên tục tại điểm \(x_{0}=2\).

 

Ví dụ 2:

Xét tính liên tục của hàm số

\(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}-9}{\sqrt{x+1}-2} & \text { khi } x>3 \\ 2 x+12 & \text { khi } x \leq 3\end{array}\right.\)tại điểm \(x_{0}=3\)

Lời giải:

Ta có \(f\left(x_{0}\right)=f(3)=18\)

\[=\lim _{x \rightarrow 3^{+}}(x+3)(\sqrt{x+1}+2)=24\]

Suy ra \(f(3)=\lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x)\) nên hàm số $f(x)$ không liên tục tại điểm \(x_{0}=3\).

 

Ví dụ 3:Tìm \(m\)  để hàm số \(f(x)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}    \frac{{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+7x-3}{{{x}^{2}}-1} & \text{ khi }x\ne 1  \\    2m+1 & \text{ khi }x=1\text{  }  \\ \end{array} \right.\)liên tục tại điểm \({{x}_{0}}=1\).

Ta có \(f\left(x_{0}\right)=f(1)=2 m+1\)

\(\begin{align}   & \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+7x-3}{{{x}^{2}}-1} \\  & \underset{x\to 1}{\mathop{=\lim }}\,\frac{{{(x-1)}^{2}}(x-3)}{(x-1)(x+1)}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-1)(x+3)}{x+1}=0 \\ \end{align}\)

Hàm số \(f(x)\) liên tục tại điểm \(x_{0}=1 \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=f(1) \Leftrightarrow 2 m+1=0 \Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}\).

 

2. Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định

Phương pháp giải: Hàm số liên tục tại điểm \(x=x_{0}\) khi \(f\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)\) hoặc \(f\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)\).

Ví dụ 1:

Xét tính liên tục của hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2 x^{3}+x+3}{x^{3}+1} & \text { khi } x \neq-1 \\ \frac{7}{3} & \text { khi } x=-1\end{array}\right.\)  trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải:

+ Tập xác định của hàm số là \(D=\mathbb{R}\)

+ Xét \(x \neq-1\) thì \(f(x)=\frac{2 x^{3}+x+3}{x^{3}+1}\) là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng \((-\infty ;-1)\)và \((-1 ;+\infty)\) mà nó xác định.

+ Xét tính liên tục của hàm số \(f(x)\) tại \(x=-1\). Ta có

 \(\begin{align}   & \underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{3}}+x+3}{{{x}^{3}}+1}=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+1)\left( 2{{x}^{2}}-2x+3 \right)}{(x+1)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)} \\  & =\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}-2x+3}{{{x}^{2}}-x+1}=\frac{7}{3} \\ \end{align}\).

\(f(-1)=\frac{7}{3}\)

Suy ra \(\lim _{x \rightarrow-1} f(x)=f(-1)\) nên hàm số đã cho liên tục tại \(x_{0}=-1\).

+ Vậy hàm số đã cho liên tục trên \(\mathbb{R}.\)

 

Ví dụ 2:

Xét tính liên tục của hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}-4 x+3}{x-1} & \text { khi } x>1 \\ -\sqrt{5-x} & \text { khi } x \leq 1\end{array}\right.\)  trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải:

+ Tập xác định của hàm số là \(D=\mathbb{R}\).

+ Với mọi \(x_{0} \in(1 ;+\infty), \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{x^{2}-4 x+3}{x-1}=f\left(x_{0}\right)\). Suy ra hàm số đã cho liên tục trên khoảng \((1 ;+\infty)\).

+ Với mọi \(x_{0} \in(-\infty ; 1)\), ta có \(\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}}(-\sqrt{5-x})=-\sqrt{5-x_{0}}=f\left(x_{0}\right)\) Suy ra hàm số đã cho liên tục trên khoảng \((-\infty ; 1)\).

+ Xét tính liên tục của hàm số tại \(x=1\)

\(f(1)=-\sqrt{5-1}=2\)

\(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}}(-\sqrt{-5-x})=-2\)

\(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{(x-1)(x-3)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}(x-3)=-2\)

Suy ra \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=f(1)\) nên hàm số đã cho liên tục tại \(x=1\).

Vậy hàm số đã cho liên tục trên \(\mathbb{R}\).

 

Ví dụ 3:

Tìm \(a\) để \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2 x^{2}-x-3}{x^{3}+x^{2}+x+1} & \text { khi } x \neq-1 \\ a^{3} & \text { khi } x=-1\end{array}\right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}.\)

Ta có với \(x \neq 1\) thì \(f(x)=\frac{2 x^{2}-x-3}{x^{3}+x^{2}+x+1}\) là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên từng khoảng mà nó xác định.

Lại có \(f(-1)={{a}^{3}}\)

\( \begin{align}   & \underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}-x-3}{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1} \\  & =\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+1)(2x-3)}{(x+1)\left( {{x}^{2}}+1 \right)}=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-3}{{{x}^{2}}++1}=-\frac{5}{2} \\ \end{align}\)

Khi đó hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\)  thì sẽ liên tục tại \(x=-1\) khi và chỉ khi

\(\lim _{x \rightarrow-1} f(x)=f(-1) \Leftrightarrow a^{3}=-\frac{5}{2}\)

Suy ra \(a=\sqrt[3]{-\frac{5}{2}}\) là giá trị cần tìm.