Mẹo giải nhanh bài toán chia đa thức bằng Lược đồ Hoocne

Lược đồ Hooc-ne có lẽ là từ khóa quen thuộc với học sinh lớp 8. Thay vì phải mất rất nhiều thời gian giải bài toán Chia đa thức bằng phương pháp thông thường mà độ chính xác lại không cao. Các bạn học sinh hoàn toàn có thể sử dụng Lược đồ Hooc-ne để giải toán nhanh và chuẩn xác.

1, Lược đồ Hooc-ne là gì?

Lược đồ Horner hay còn gọi là phương pháp Horner, được đặt tên theo nhà toán học người Anh William George Horner. Lược đồ Hooc-ne thường được sử dụng trong thuật toán biến đổi đa thức và áp dụng trong phương pháp để tính xấp xỉ nghiệm đa thức.

Trong phạm vi chương trình học lớp 8, các bạn học sinh được tiếp cận Lược đồ Horner trong bài toán tiêu biểu của toán Trung học cơ sở đó là bài toán Chia đa thức. Học sinh vẫn có thể giải bài toán này bằng cách làm tổng quát trong sách giáo khoa toán 8, tuy nhiên khá dài dòng và mất nhiều thời gian. Để khắc phục điều này đặc biệt là tiết kiệm được nhiều thời gian trong phòng thi, Lược đồ Horner như một giải pháp tối ưu cho các bạn học sinh khi gặp những dạng bài về Chia đa thức.

Lược đồ Hooc-ne được sử dụng trong các bài chia đa thức bậc cao cho đa thức \((x-a)\), phân tích đa thức bậc cao thành các nhân tử,...

2, Công dụng của Lược đồ Hooc-ne?

Lược đồ Hooc-ne giúp các em học sinh giải quyết cực kì nhanh chóng và chính xác các bài toán chia đa thức, phân tích đa thức thành các nhân tử, giải phương trình bậc 3, bậc 4 (sau khi đã nhẩm thành công một nghiệm \(\alpha\) ) và Chia một đa thức bậc cao cho một đa thức \((x-\alpha )\).

3, Vận dụng Lược đồ Hooc-ne trong bài toán chia đa thức

Cho đa thức \(f(x)={{a}_{0}}{{x}^{n}}+{{a}_{1}}{{x}^{n-1}}+{{a}_{2}}{{x}^{n-2}}+...+{{a}_{n-1}}{{x}^{1}}+{{a}_{n}}\). Thực hiện \(f(x)\)chia cho đa thức \((x-\alpha)\).

Ta đặt \( g(x)=f(x):(x-\alpha )\). Khi đó \(g(x)={{b}_{0}}{{x}^{n-1}}+{{b}_{1}}{{x}^{n-2}}+...+{{b}_{n-1}}{{x}^{1}}\) được xác định nhờ bảng sau

Hệ số \(f(x)\)

 

\({{a}_{0}}\)

\({{a}_{1}}\)

...

\({{a}_{n-1}}\)

\({{a}_{n}}\)

Hệ số \(g(x)\)

\(\alpha\)

\({{b}_{0}}={{a}_{0}}\)

\({{b}_{1}}={{b}_{0}}\alpha +{{a}_{1}}\)

 

\({{b}_{n-1}}={{b}_{n-2}}\alpha +{{a}_{n-1}}\)

\(r={{b}_{n-1}}\alpha +{{a}_{n}}\)

 

Ý nghĩa: Hàng trên chứa hệ số của đa thức f(x), hàng dưới chứa hệ số tìm được của đa thức g(x).

Bước 1: Sắp xếp hệ số \(f(x)\) theo thứ tự bậc giảm dần.

              Đặt\( \alpha\)  vào vị trí đầu tiên của hàng 2.

              Nếu hệ số nào bằng 0 thì ta vẫn ghi vào bảng.

Bước 2: Hạ hệ số \({{a}_{0}}\) ở hàng trên xuống hàng dưới thẳng hàng. Đây chính là hệ số đầu tiên của \(g(x)\), tức \({{b}_{0}}={{a}_{0}}\).

Bước 3: Lấy số \(\alpha \) nhân ngang với hệ số vừa tìm được ở hàng 2 rồi cộng chéo với hệ số hàng 1. Ta có:\( {{b}_{1}}=\alpha {{b}_{0}}+{{a}_{1}}\)

Bước 4: Cứ làm như vậy cho đến ô cuối cùng, ta sẽ có kết quả:

\(f(x)=(x-\alpha )g(x)+r\)

Chú ý: Nếu \(r=0\) thì đa thức chia hết => \(x=\alpha \) là một nghiệm của \(f(x)\).

           Nếu \(r\ne 0\) thì phép chia đa thức có dư.

 

Ví dụ 1: Thực hiện phép chia \({{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+7x-3\) cho \((x-3)\).

Ta sử dụng lược đồ Hooc-ne

 

\({{a}_{0}}=1\)

\({{a}_{1}}=-5\)

\({{a}_{2}}=7\)

\({{a}_{3}}=-3\)

\(\alpha =3\)

\({{b}_{0}}={{a}_{0}}=1\)

\({{b}_{1}}=1.3-5=-2\)

\({{b}_{2}}=-2.3+7=1\)

\({{b}_{3}}=1.3-3=0\)

 

Vậy, ta có: \({{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+7x-3:(x-3)={{x}^{2}}-2x+1\)

 

Quy tắc nhớ: Đầu rơi, nhân ngang, cộng chéo

Ví dụ 2: Không dùng máy tính, giải phương trình sau:\(3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-4x-1=0\)  (1)

Nhận xét: Vì tổng các hệ số \(3+2-4-1=0\) nên phương trình sẽ có một nghiệm \(x=1\). Thử thay \(x=1\) vào (1) ta thấy \( 0=0\) thỏa mãn.

Sau khi nhẩm nghiệm, ta chia đa thức cho \((x-1)\). Dùng lược đồ Hooc-ne như sau:

 

\({{a}_{0}}=3\)

\({{a}_{1}}=2\) \({{a}_{2}}=-4\)

\({{a}_{3}}=-1\)

\(\alpha =1\)

\({{b}_{0}}={{a}_{0}}=3\)

\({{b}_{1}}=3.1+2=5\)

\({{b}_{2}}=5.1-4=1\)

\({{b}_{3}}=1.1-1=0\)


Vậy, ta có: \((3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-4x-1)=(3{{x}^{2}}+5x+1)(x-1)\)

\(<=>3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-4x-1=0\)

\(<=>(3{{x}^{2}}+5x+1)(x-1)=0\)

\(<=> \left[ \begin{matrix} x=1 \\ 3{{x}^{2}}+5x+1=0\,\, \\ \end{matrix} \right. \)

\(<=> \left[ \begin{matrix} x=1 \\ x=\frac{-5+\sqrt{13}}{6} \\ x=\frac{-5-\sqrt{13}}{6} \\ \end{matrix} \right. \)

Vậy ta kết luận phương trình có ba nghiệm như trên.

Lưu ý trong việc sử dụng lược đồ Hooc-ne, nếu làm đúng thì số cuối cùng của hàng thứ 2 phải là số 0, nếu số khác 0 thì học sinh đã thực hiện sai sót, cần kiểm tra lại.