Mách nhỏ kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số lượng giác 11 trong tích tắc

Bài viết này mách nhỏ một số hướng tư duy thường gặp khi giải quyết các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số lượng giác 11.

1. Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn:

\(\left\{ \begin{matrix} -1\le \sin x\le 1 \\ -1\le \cos x\le 1 \\ \end{matrix}=>\left\{ \begin{matrix} 0\le {{\sin }^{2}}x\le 1 \\ 0\le {{\cos }^{2}}x\le 1 \\ \end{matrix} \right. \right. \)

2. Bảng biến thiên của hàm số lượng giác.

3. Kĩ thuật sử dụng máy tính cầm tay.

 

I. Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác:
Ví dụ 1: 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(y=2020 \cos \left(8 x+\frac{10 \pi}{2019}\right)+2021\)

Lời giải

Ta có \(-1 \leq \cos \left(8 x+\frac{10 \pi}{2019}\right) \leq 1, \forall x \in \mathbb{R}\)
Nên

\(\begin{align}   & -2020\le 2020\cos \left( 8x+\frac{10\pi }{2019} \right)\le 2020 \\  & \Leftrightarrow 1\le 2020\cos \left( 8x+\frac{10\pi }{2019} \right)+2021\le 4041 \\ \end{align}\)

Vậy \(\min y=1\) đạt được khi \(\cos \left(8 x+\frac{10 \pi}{2019}\right)=-1\).

          \(\max y=4041\) đạt được khi \(\cos \left(8 x+\frac{10 \pi}{2019}\right)=1\) 

Ví dụ 2:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\cos x+\sqrt{2-{{\cos }^{2}}x}\).

Lời giải:

Ta có \[-1\le \cos x\le 1\] nên \[0\le {{\cos }^{2}}x\le 1\]. Suy ra \[-1\le -{{\cos }^{2}}x\le 0<=>1\le 2-{{\cos }^{2}}x\le 2\]

Suy ra \[1\le \sqrt{2-{{\cos }^{2}}x}\], dấu “=” xảy ra  <=>\(\cos x=\pm 1\)

\[-1\le \cos x\]\[1\le \sqrt{2-{{\cos }^{2}}x}\] nên \(0\le \cos x+\sqrt{2-{{\cos }^{2}}x}\).

Vậy \({{y}_{\min }}=0\), đạt được khi \(\cos x=-1<=>x=\pi +k2\pi \,\,(k\in \mathbb{Z})\).

II. Lập bảng biến thiên của hàm số lượng giác

Ví dụ 3:

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của của hàm số \(y={{\cos }^{2}}x-\cos x+2\).

Lời giải:

Đặt \(\cos x=t\,\,(-1\le t\le 1)\)

Xét hàm số bậc 2 \(f(t)={{t}^{2}}-t+2\) trên \([-1,1]\). Ta có \(-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}\in [-1,1]\)

Ta lập bảng biến thiên

Kết luận, giá trị lớn nhất của hàm số là \(4\) khi \(\cos x=-1\)

                   giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\frac{7}{4}\) khi \(\cos x=\frac{1}{2}.\)

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y={{\sin }^{2}}x-4\sin x+2\)

Lời giải:

Đặt \(\sin x=t\,\,(-1\le t\le 1)\)

Xét hàm số bậc 2 \(f(t)={{t}^{2}}-4t+2\) trên \([-1,1]\). Ta có \(-\frac{b}{2a}=2\notin [-1,1]\)

Ta lập bảng biến thiên

Kết luận, giá trị lớn nhất của hàm số là 7  khi \(\sin x=-1\)

               giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1  khi \(\sin x=1\).

III. Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình \(a\sin x+b\cos x=c\)

Ví dụ 5:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{\sin x+2\cos x+3}{2+\cos x}\)

A. \(\min y=-\frac{2}{3},\max y=2\)   

B. \(\min y=\frac{2}{3},\max y=2\)

C. \(\min y=\frac{1}{2},\max y=\frac{3}{2}\)                                        

D. \(\min y=-\frac{1}{2},\max y=\frac{3}{2}\)

Lời giải:

Cách 1: Ta có \(\cos x+2>0, \forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{align}   & y=\frac{\sin x+2\cos x+3}{2+\cos x} \\  & \Leftrightarrow \sin x+2\cos x+3=2y+y\cos x \\  & \Leftrightarrow \sin x+(2-y)\cos x+3-2y=0 \\ \end{align}\)

Để phương trình có nghiệm thì
\(\begin{align}   & {{1}^{2}}+{{(2-y)}^{2}}\ge {{(3-2y)}^{2}} \\  & \Leftrightarrow 4{{y}^{2}}-12y+9-{{y}^{2}}+4y-4-1\le 0 \\  & \Leftrightarrow 3{{y}^{2}}-8y+4\le 0 \\  & \Leftrightarrow \frac{2}{3}\le y\le 2 \\ \end{align}\).

Cách 2 : Sử dụng máy tính cầm tay.

Ta sử dụng SHIFT SOLVE: \(\frac{\sin x+2 \cos x+3}{2+\cos x}=2\) thì phương trình có nghiệm.

Do 2 là số lớn nhất trong các phương án \(\mathrm{A} ; \mathrm{B} ; \mathrm{C} ; \mathrm{D}\) nên ta không cần thừ trường hợp \(\max =\frac{3}{2}\)

Lúc này chi còn \(A\)  và \(B \). Thử với min \(\mathrm{y}=-\frac{2}{3}\) thì không có nghiệm.

Vậy, đáp án sẽ là B.

Ví dụ 6:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số\( y=\frac{m\sin x+1}{\cos x+2}\) nhỏ hơn 2 .

A. 3                                  B. 5                                  C. 4                                   D. 6

Lời giải:

Ta có:

\(\begin{align}   & y=\frac{m\sin x+1}{\cos x+2} \\  & <=>y\cos x+2y=m\sin x+1 \\  & <=>m\sin x-y\cos x=2y-1\,\,(*) \\ \end{align}\)

(*)  có nghiệm khi và chỉ khi \({{m}^{2}}+{{y}^{2}}\ge {{(2y-1)}^{2}}\)

\(<=>3{{y}^{2}}-4y+1-{{m}^{2}}\le 0\)
\(\begin{align}   & <=>\frac{2-\sqrt{1+3{{m}^{2}}}}{3}\le y\le \frac{2+\sqrt{1+3{{m}^{2}}}}{3} \\  & =>{{y}_{\max }}=\frac{2+\sqrt{1+3{{m}^{2}}}}{3}<2 \\  & <=>\sqrt{1+3{{m}^{2}}}<4 \\  & <=>{{m}^{2}}<5 \\ \end{align}\)

Do \(m\) nguyên nên \(m\in \left\{ -2,-1,0,1,\left. 2 \right\} \right.\). Vậy chọn đáp án B.