Điểm mặt 3 bài toán điển hình khi viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn

 

Cho đường tròn \((C)\):\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}\). \((C)\) có tâm\( I(a ; b)\) và bán kính \( R\). Ta xét các bài toán sau:

 

I. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc

Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn \((C)\) tại điểm \(M\left(x_{0} ; y_{0}\right) \in(C)\).

Phương pháp:

Gọi \(\Delta \)là tiếp tuyến với đường tròn \((C)\). Vì \(\Delta\) tiếp xúc với \((C)\) tại \(M=>\Delta\)  đi qua \(M\) và nhận \(\overrightarrow{I M}\left(x_{0}-a ; y_{0}-b\right)\) làm vectơ pháp tuyến => phương trình \(\Delta\) có dạng:

\(\left( {{x}_{0}}-a \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+\left( {{y}_{0}}-a \right)\left( y-{{y}_{0}} \right)=0\,\,\,\,\)(1)

Chú ý:

+ Phương trình (1) có thể biến đổi về dạng sau: \(\left( {{x}_{0}}-a \right)(x-a)+\left( {{y}_{0}}-a \right)(y-b)={{R}^{2}}\)(1a)

+ Nếu phương trình đường tròn cho ở dạng: \(x^{2}+y^{2}-2 a x-2 b y+c=0\) thì tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \(M\left(x_{0}, y_{0}\right)\) có dạng: \(x x_{0}+y y_{0}-\left(x+x_{0}\right) a-\left(y+y_{0}\right) b+c=0\) (1b)

(Phương trình này được suy ra trực tiếp từ (1a)).

 

II. Viết phương trình tiếp tuyến từ một điểm \(M({{x}_{0}},{{y}_{0}})\) nằm ngoài đường tròn

Phương pháp:

+ Đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(M\) có phương trình: \(a\left(x-x_{0}\right)+b\left(y-y_{0}\right)=0\), trong đó \(a^{2}+b^{2} \neq 0\).

+\(\Delta\) là tiếp tuyến với đường tròn \((C)<=>d(I;\Delta )=R\,\,\,\,(*)\).

+ Từ điều kiện (*), tìm mối liên hệ giữa \(a\)\(b\):

\(a\) và \(b\) không đồng thời bằng 0 nên có thể chọn \(a\) một giá trị thích hợp rồi suy ra \(b\).

Cuối cùng ta được phương trình tiếp tuyến sau khi biết \(a,b\) sau khi thay vào \(a\left(x-x_{0}\right)+b\left(y-y_{0}\right)=0\).

 

III. Viết phương trình tiếp tuyến biết trước hệ số góc

Phương pháp:

+ Phương trình đường thẳng \(\Delta\) có hệ số góc \(k\) có dạng: \(y=k x+m\).

+ \(\Delta\) tiếp xúc với \((C) \Leftrightarrow d(I ; \Delta)=R\). Giải điều kiện này ta sẽ tìm được \(m\).

Chú ý:

+ Nếu tiếp tuyến \(\Delta\) song song với đường thẳng: \(a x+b y+c=0\) thì phương trình \(\Delta\) sẽ có dạng: \(ax+by+c'=0\left( c'\ne c \right)\).

+ Nếu tiếp tuyến  \(\Delta\)vuông góc với đường thẳng: \(a x+b y+c=0\) thì phương trình \(\Delta\) sẽ có dạng: \(-bx+ay+c'=0\left( c'\ne c \right)\).

 

VÍ DỤ MINH HỌA

Cho đường tròn có phương trình là: \(x^{2}+y^{2}+4 x+4 y-17=0\). Viết phương trình

tiếp tuyến d của đường tròn trong các trường hợp sau:

a. Điểm tiếp xúc là \(M(2 ; 1)\).

b. d đi qua \(A(3 ; 6)\).

c. d song song với đường thẳng \(3 x-4 y-2008=0\).

Lời giải:

Đường tròn này có tâm \(I(-2 ;-2)\), bán kính \(R=5\).

a. Đây là bài toán I

Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại \(M(2 ; 1)\) là:

\(2 x+1 . y+2(x+2)+2(y+1)-17=0\)

\(<=>4x+3y-11=0\)

b. Đây là bài toán II

Phương trình đường thẳng đi qua \(A\) có vectơ pháp tuyến là \((a ; b)\) có dạng:

\(a(x-2)+b(y-6)=0\) 

Đường thẳng này là tiếp tuyến của đường tròn \(<=>d(I,d)=R <=>\frac{|a(-2-3)+b(-2-6)|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=5\)

\(<=>{{(5a+8b)}^{2}}=25\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\)

\(<=>39{{b}^{2}}+80ab=0\)

+ TH1: \(b=0\)

   Vì \(a \neq 0\) chọn \(a=1\)

   Phương trình tiếp tuyến có dạng: \(x=2\).

+ TH2: \(b \neq 0 \Rightarrow a=\frac{-39}{80} b\)
   Chọn \(a=-39, b=80\)

   Phương trình tiếp tuyến có dạng:\(-39 x+80 y-402=0\)

   Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn đầu bài.

c. Đây là bài toán III

Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng \(3 x-4 y-2008=0\) có dạng: \(3 x-4 y+c=0\).

Đường thẳng này là tiếp tuyến với đường tròn\(<=>d\left( I;{{d}_{3}} \right)=R\)

\(<=>\frac{|3\cdot (-2)-4(-2)+c|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=5\)

\(<=>|2+c|=25\)

\(=>c=23 \)hoặc \(c=-27\)

Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn là: \(3 x-4 y+23=0 \) hoặc \(3 x-4 y-27=0\).