Bí kíp giải nhanh hình học không gian

Dưới đây là một vài bí kíp giải nhanh 4 dạng bài hình học không gian mà học sinh hay gặp trong quá trình làm toán hình.

Hình học không gian luôn là một bài toán tốn rất nhiều công sức và thời gian của các bạn học sinh. Không giống như đại số sử dụng công thức để tìm ra lời giải thì toán hình không gian đòi hỏi trí tưởng tưởng logic. Thế nhưng, có những bài toán hình chúng ta hoàn toàn có thể đúc rút ra một lối đi chung mà khi gặp dạng bài tập tương tự ta đều có thể áp dụng được mà không cần mất nhiều thời gian suy nghĩ.

Bài toán 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

* Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng đó

- Điểm chung thứ nhất thường dễ thấy.

- Điểm chung thứ hai là giao điểm của hai đường thẳng còn lại, không qua điểm chung thứ nhất.

Ví dụ: Trong mặt phẳng \((\alpha )\) cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối không song song và điểm \(S\notin (\alpha )\). Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD).

Hướng dẫn:

  • Dễ thấy điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là S.
  • Để tìm điểm chung thứ hai, ta kéo dài 2 đường AB và CD cắt nhau tại E. Suy ra E chính là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
  • Nối SE, ta được SE chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Bài toán 2: Tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P).

- Ta tìm giao điểm của a với một đường b nào đó nằm trong (P).

- Khi không thấy đường nào nằm trong (P), ta thực hiện theo các bước sau:

1. Tìm một mặt phẳng (Q) chứa a.

2. Tìm giao tuyến b của (P) và (Q).

3. Gọi \(A=a\cap b\) thì \(A=a\cap (P)\) .

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm trên AC và AD. O là điểm nằm bên trong tam giác BCD. Tìm giao điểm của MN và mặt phẳng (ABO).

Hướng dẫn:

  • Ta thấy mặt phẳng (ACD) chứa MN
  • Ta đi tìm giao tuyến của (ABO) và (ACD):

Điểm chung thức nhất là A.

Kéo dài BO cắt CD tại F, suy ra F là điểm chung thứ hai.

Vậy AF là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABO) và (ACD).

  • Gọi Q là giao điểm của MN và AF. Vậy Q chính là giao điểm của MN và mặt phẳng (ABO).

 

Bài toán 3: Chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy

*Cách 1: Ta chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba.

- Tìm \(A=a\cap b\)

- Tìm hai mặt phẳng (P), (Q), chứa A mà \((P)\cap (Q)=c\)

*Cách 2: Ta chứng minh a, b, c không đồng phẳng và cắt nhau từng đôi một.

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Chứng minh ba đường thẳng CD, IG, HF đồng quy.

Hướng dẫn:

  • Gọi O là giao điểm của HF và IG
  • Ta có: \(HF\subset (ACD)=>O\in (ACD)\)

\(IG\subset (BCD)=>O\in (BCD)\)

Do đó \(O\in (ACD)\cap (BCD)\)

\((ACD)\cap (BCD)=CD \) nên từ đó suy ra CD đi qua O.

Vậy, ba đường thẳng CD, IG, HF đồng quy.

Bài toán 4: Dựng thiết diện của mặt phẳng (P) và một khối đa diện T

Muốn tìm thiết diện của mặt phẳng (P) và khối đa diện T, ta tìm đoạn giao tuyến của (P) với các mặt của T. Để thực hiện điều đó, ta làm theo các bước:

- Từ các điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của T.

- Kéo dài các giao tuyến đã có, tìm giao điểm với các cạnh của mặt này, từ đó làm tương tự ta tìm được các giao tuyến còn lại, cho tới khi các đoạn giao tuyến khép kín ta sẽ có thiết diện cần dựng.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là tứ giác lồi và một điểm M nằm trên cạnh SB. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng (ADM) và hình chóp.

Hướng dẫn:

* Trước hết ta sẽ tìm điểm N là giao điểm của (ADM) và SC.

Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O là giao điểm của AC và BD \(=> SO\subset (SBD)\)

Trong mặt phẳng (SBD), gọi G là giao điểm của SO và DM \(=> G\in SO\subset (SAC)\)

Trong mặt phẳng (SAC), gọi N là giao điểm của AG và SC.

*Ta có:

+ (ADM) cắt (SAB) theo giao tuyến AM.

+ (ADM) cắt (SAD) theo giao tuyến AD.

+ (ADM) cắt (SCD) theo giao tuyến DN.

+ (ADM) cắt (SBC) theo giao tuyến MN.

Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác ADMN.

Trên đây là những mẹo nhỏ trong giải hình học không gian, hy vọng rằng các em sẽ ghi nhớ và áp dụng thành thạo những kiến thức bổ ích này.